Acasă » Poveste » Cum se rezolvă ecuații folosind teorema lui Vieta în matematică. Rezolvarea orală a ecuațiilor pătratice și teorema lui Vieta Explicația detaliată a teoremei lui Vieta

Cum se rezolvă ecuații folosind teorema lui Vieta în matematică. Rezolvarea orală a ecuațiilor pătratice și teorema lui Vieta Explicația detaliată a teoremei lui Vieta

Când studiați modalități de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi într-un curs de algebră școlară, luați în considerare proprietățile rădăcinilor obținute. Ele sunt acum cunoscute ca teoremele lui Vieta. Exemple de utilizare a acestuia sunt date în acest articol.

Ecuație pătratică

Ecuația de ordinul doi este o egalitate, care este prezentată în fotografia de mai jos.

Aici simbolurile a, b, c sunt niște numere care se numesc coeficienți ai ecuației luate în considerare. Pentru a rezolva o egalitate, trebuie să găsiți valorile x care o fac adevărată.

Rețineți că, deoarece valoarea maximă a puterii la care este ridicat x este de două, atunci și numărul de rădăcini în cazul general este de asemenea două.

Există mai multe moduri de a rezolva acest tip de egalitate. În acest articol, vom lua în considerare una dintre ele, care implică utilizarea așa-numitei teoreme Vieta.

Enunțul teoremei lui Vieta

La sfârșitul secolului al XVI-lea, celebrul matematician Francois Viet (francez) a observat, analizând proprietățile rădăcinilor diferitelor ecuații pătratice, că anumite combinații ale acestora satisfac relații specifice. În special, aceste combinații sunt produsul și suma lor.

Teorema lui Vieta stabilește următoarele: rădăcinile unei ecuații pătratice, însumate, dau raportul dintre coeficienții liniari și pătratici luați cu semnul opus, iar atunci când sunt înmulțiți duc la raportul dintre termenul liber și coeficientul pătratic. .

Dacă forma generală a ecuației este scrisă așa cum este arătată în fotografia din secțiunea anterioară a articolului, atunci matematic această teoremă poate fi scrisă ca două egalități:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Unde r 1 , r 2 este valoarea rădăcinilor ecuației considerate.

Aceste două egalități pot fi folosite pentru a rezolva o serie de probleme matematice foarte diferite. Utilizarea teoremei Vieta în exemple cu o soluție este dată în următoarele secțiuni ale articolului.

În clasa a VIII-a, elevii sunt introduși în ecuațiile pătratice și cum să le rezolve. În același timp, după cum arată experiența, majoritatea studenților folosesc o singură metodă atunci când rezolvă ecuații pătratice complete - formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Pentru studenții cu abilități bune de numărare orală, această metodă este în mod clar irațională. Elevii trebuie adesea să rezolve ecuații patratice în liceu și acolo este pur și simplu păcat să petreci timp calculând discriminantul. În opinia mea, atunci când studiem ecuațiile pătratice, ar trebui să se acorde mai mult timp și atenție aplicării teoremei Vieta (conform programului lui A.G. Mordkovich Algebra-8, sunt planificate doar două ore pentru a studia subiectul „Teorema Vieta. Descompunerea lui un trinom pătrat în factori liniari”).

În majoritatea manualelor de algebră, această teoremă este formulată pentru o ecuație pătratică redusă și spune că dacă ecuația are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Apoi, se formulează o afirmație conversată cu teorema lui Vieta și se oferă o serie de exemple pentru a lucra pe această temă.

Să luăm exemple specifice și să urmărim logica soluției pe ele folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Să presupunem că această ecuație are rădăcini, și anume, și . Apoi, după teorema lui Vieta, egalitățile

Rețineți că produsul rădăcinilor este un număr pozitiv. Deci, rădăcinile ecuației au același semn. Și deoarece suma rădăcinilor este și un număr pozitiv, concluzionăm că ambele rădăcini ale ecuației sunt pozitive. Să revenim la produsul rădăcinilor. Să presupunem că rădăcinile ecuației sunt numere întregi pozitive. Atunci prima egalitate corectă poate fi obținută numai în două moduri (până la ordinea factorilor): sau . Să verificăm pentru perechile de numere propuse fezabilitatea celei de-a doua afirmații a teoremei Vieta: . Astfel, numerele 2 și 3 satisfac ambele egalități și, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației date.

Răspuns: 2; 3.

Evidențiem principalele etape ale raționamentului atunci când rezolvăm ecuația pătratică dată folosind teorema Vieta:

notează afirmația teoremei lui Vieta

(*)

determinați semnele rădăcinilor ecuației (Dacă produsul și suma rădăcinilor sunt pozitive, atunci ambele rădăcini sunt numere pozitive. Dacă produsul rădăcinilor este un număr pozitiv, iar suma rădăcinilor este negativă, atunci ambele rădăcini sunt numere negative.Dacă produsul rădăcinilor este un număr negativ, atunci rădăcinile au semne diferite.În plus, dacă suma rădăcinilor este pozitivă, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr pozitiv, iar dacă suma rădăcinilor este mai mică decât zero, atunci rădăcina cu un modul mai mare este un număr negativ);
selectați perechi de numere întregi al căror produs dă prima egalitate corectă în notația (*);
din perechile de numere găsite, alegeți perechea care, atunci când este înlocuită în a doua egalitate din notația (*), va da egalitatea corectă;
indicați în răspuns rădăcinile găsite ale ecuației.

Să mai dăm câteva exemple.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, după teorema lui Vieta Rețineți că produsul este pozitiv și suma este negativă. Deci ambele rădăcini sunt numere negative. Selectăm perechi de factori care dau produsul lui 10 (-1 și -10; -2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -7. Deci numerele -2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: -2; -5.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația .

Soluţie.

Fie și rădăcinile ecuației date. Apoi, prin teorema lui Vieta Rețineți că produsul este negativ. Deci rădăcinile sunt de semne diferite. Suma rădăcinilor este, de asemenea, un număr negativ. Prin urmare, rădăcina cu cel mai mare modul este negativă. Selectăm perechi de factori care dau produsul -10 (1 și -10; 2 și -5). A doua pereche de numere adună până la -3. Deci numerele 2 și -5 sunt rădăcinile acestei ecuații.

Răspuns: 2; -5.

Rețineți că teorema Vieta poate fi formulată în principiu pentru ecuația pătratică completă: dacă ecuaţia pătratică are rădăcini și , atunci ele satisfac egalitățile , . Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme este destul de problematică, deoarece în ecuația pătratică completă cel puțin una dintre rădăcini (dacă există, desigur) este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este lung și dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Luați în considerare ecuația pătratică completă . Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu primul coeficient Ași scrieți ecuația sub forma . Introducem o nouă variabilă și obținem o ecuație pătratică redusă, ale cărei rădăcini și (dacă există) pot fi găsite folosind teorema Vieta. Atunci rădăcinile ecuației originale vor fi . Rețineți că este foarte ușor să scrieți ecuația redusă auxiliară: al doilea coeficient este păstrat, iar al treilea coeficient este egal cu produsul as. Cu o anumită abilitate, elevii compun imediat o ecuație auxiliară, îi găsesc rădăcinile folosind teorema Vieta și indică rădăcinile ecuației complete date. Să dăm exemple.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația .

Să facem o ecuație auxiliară iar prin teorema lui Vieta îi găsim rădăcinile. Deci rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Exemplul 5. Rezolvați ecuația .

Ecuația auxiliară are forma . După teorema lui Vieta, rădăcinile sale sunt . Găsim rădăcinile ecuației originale .

Răspuns: .

Și încă un caz când aplicarea teoremei lui Vieta vă permite să găsiți verbal rădăcinile unei ecuații pătratice complete. Este ușor să demonstrezi asta numărul 1 este rădăcina ecuației , dacă și numai dacă. A doua rădăcină a ecuației este găsită de teorema Vieta și este egală cu . Inca o afirmatie: astfel încât numărul -1 este rădăcina ecuației necesar si suficient pentru a. Atunci a doua rădăcină a ecuației conform teoremei lui Vieta este egală cu . Afirmații similare pot fi formulate pentru ecuația pătratică redusă.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația.

Rețineți că suma coeficienților ecuației este zero. Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația.

Coeficienții acestei ecuații satisfac proprietatea (într-adevăr, 1-(-999)+(-1000)=0). Deci rădăcinile ecuației .

Răspuns: ..

Exemple de aplicare a teoremei lui Vieta

Sarcina 1. Rezolvați ecuația pătratică dată folosind teorema lui Vieta.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația pătratică completă folosind trecerea la ecuația pătratică redusă auxiliară.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Sarcina 3. Rezolvați o ecuație pătratică folosind proprietatea.

Aproape orice ecuație pătratică \ poate fi convertită în forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă fiecare termen este inițial împărțit la coeficientul \ în fața \ În plus, se poate introduce o nouă notație:

\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]

Datorită acestui fapt, vom avea o ecuație \ numită în matematică ecuație pătratică redusă. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții \ sunt interconectați, ceea ce este confirmat de teorema Vieta.

Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \

Pentru claritate, rezolvăm ecuația de următoarea formă:

Rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. După analizarea datelor inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Numerele 3 și 5 se încadrează în această condiție. Punem semnul minus în fața celui mai mic. număr. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \

Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]

Unde pot rezolva ecuația folosind teorema lui Vieta online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faci este să introduci datele în solutor. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

Între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date de teorema lui Vieta. În acest articol, vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare, considerăm o teoremă inversă cu teorema lui Vieta. După aceea, vom analiza soluțiile celor mai caracteristice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc legătura dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0 de forma , unde D=b 2 −4 a c , relațiile x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom demonstra teorema Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formulele rădăcinilor cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate, și ne vom asigura că sunt egale cu −b /a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor, să o compunem. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem. În numărătorul fracţiei rezultate , după care : . În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice:. Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs se poate scrie ca. Acum înmulțim paranteza cu paranteza din numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței de pătrate, Asa de . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât formula D=b 2 −4 a·c corespunde discriminantului ecuației pătratice, atunci b 2 −4·a·c poate fi înlocuit în ultima fracție în loc de D, obținem . După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, atunci demonstrația teoremei Vieta va lua o formă concisă:
,
.

Rămâne doar de observat că atunci când discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Totuși, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema Vieta. Într-adevăr, pentru D=0 rădăcina ecuației pătratice este , atunci și , și deoarece D=0 , adică b 2 −4·a·c=0 , de unde b 2 =4·a·c , atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai des în raport cu ecuația pătratică redusă (cu cel mai mare coeficient a egal cu 1 ) de forma x 2 +p·x+q=0 . Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Iată formula corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q \u003d 0 este egală cu coeficientul de la x, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este un termen liber, adică x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

A doua formulare a teoremei Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, afirmația inversă la teorema lui Vieta este adevărată. O formulăm sub forma unei teoreme și o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 .

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q în ecuația x 2 +p x+q=0 ai expresiei lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Inlocuim numarul x 1 in loc de x in ecuatia rezultata, avem egalitatea x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 este egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p x+q=0 .

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, apoi obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Aceasta este ecuația corectă deoarece x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 2 este și rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, și de aici ecuațiile x 2 +p x+q=0 .

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această subsecțiune, vom analiza soluțiile câtorva dintre cele mai tipice exemple.

Începem prin a aplica o teoremă inversă teoremei lui Vieta. Este convenabil să îl utilizați pentru a verifica dacă cele două numere date sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei inverse teoremei lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4 , b=−16 , c=9 . Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile tocmai obținute.

În primul caz, avem x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu se poate efectua o verificare ulterioară, dar prin teoremă, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: , valoarea rezultată este diferită de 9/4 . Prin urmare, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Ultimul caz rămâne. Aici și . Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, poate fi folosită în practică pentru a selecta rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În același timp, folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să ne ocupăm de asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0 . Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități x 1 +x 2 \u003d 5 și x 1 x 2 \u003d 6. Rămâne de ales astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2 3=6 . Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, este deosebit de convenabil de aplicat pentru găsirea celei de-a doua rădăcini a ecuației pătratice reduse, atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină se găsește din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x−3=0 . Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Deci x 1 =1 . A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512 , de unde x 2 =−3/512 . Deci am definit ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selectarea rădăcinilor este oportună numai în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcinile, puteți aplica formulele rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.

O altă aplicație practică a teoremei, inversa teoremei lui Vieta, este compilarea ecuațiilor pătratice pentru rădăcinile date x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Soluţie.

Notăm x 1 =−11 și x 2 =23 . Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 + x 2 \u003d 12 și x 1 x 2 \u003d −253. Prin urmare, aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătratice date cu al doilea coeficient -12 și termenul liber -253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația dorită.

Răspuns:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită în rezolvarea sarcinilor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0? Iată două afirmații relevante:

Dacă intersecția q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele sunt negative.
Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Luați în considerare exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Conform formulei discriminante, găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , valoarea expresiei r 2 +8 este pozitiv pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. Prin urmare, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ, iar după teorema Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice date este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, trebuie rezolva o inegalitate liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus, am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai ai ecuațiilor pătratice, ci și ai ecuațiilor cubice, ecuațiilor cvadruple și, în general, ecuații algebrice gradul n. Ei sunt numiti, cunoscuti formule Vieta.

Scriem formulele Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei, în timp ce presupunem că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi aceleași):

Obține formule Vieta permite teorema de factorizare polinomială, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele Vieta.

În special, pentru n=2 avem deja familiare formule Vieta pentru ecuația pătratică .

Pentru o ecuație cubică, formulele Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Bibliografie.

Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Una dintre metodele de rezolvare a unei ecuații pătratice este aplicația formule VIETA, care a fost numit după FRANCOIS VIETE.

A fost un avocat celebru și a slujit în secolul al XVI-lea cu regele francez. În timpul liber a studiat astronomia și matematica. El a stabilit o legătură între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice.

Avantajele formulei:

1 . Prin aplicarea formulei, puteți găsi rapid soluția. Pentru că nu trebuie să introduceți al doilea coeficient în pătrat, apoi să scădeți 4ac din el, să găsiți discriminantul, să înlocuiți valoarea acestuia în formula pentru găsirea rădăcinilor.

2 . Fără o soluție, puteți determina semnele rădăcinilor, puteți ridica valorile rădăcinilor.

3 . După ce am rezolvat sistemul de două înregistrări, nu este dificil să găsiți rădăcinile în sine. În ecuația pătratică de mai sus, suma rădăcinilor este egală cu valoarea celui de-al doilea coeficient cu semnul minus. Produsul rădăcinilor din ecuația pătratică de mai sus este egal cu valoarea celui de-al treilea coeficient.

4 . După rădăcinile date, scrieți o ecuație pătratică, adică rezolvați problema inversă. De exemplu, această metodă este utilizată în rezolvarea problemelor de mecanică teoretică.

5 . Este convenabil să aplicați formula atunci când coeficientul de conducere este egal cu unu.

Defecte:

1 . Formula nu este universală.