Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Aranjamentul reciproc al liniilor. Unghiul dintre linii. Unghiul dintre linii în spațiu Determinați unghiul dintre linii

Definiție. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , atunci unghiul ascuțit dintre aceste drepte va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2 . Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Liniile drepte Ax + Vy + C \u003d 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB sunt proporționali. Dacă și С 1 = λС, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe această linie

Definiție. Linia care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y \u003d kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la linia Ax + Vy + C \u003d 0 este definită ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute de la punctul M la dreapta dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca soluție a sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x - 5y + 7 = 0 și 10x + 6y - 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, prin urmare, liniile sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime dorită este: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3x + 2y - 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat A(X 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct A(X 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se scrie astfel:

Panta unei drepte care trece prin două puncte date este determinată de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte AȘi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Aîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date prin ecuații de pante

y = k 1 X + B 1 ,

y = k 2 X + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei drepte este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuaţiile unei drepte sunt date în formă generală

A 1 X + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 X + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea pantelor lor:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții la coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu o pantă, condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca pantele lor să fie reciproce ca mărime și opuse ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formular

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile dreptelor sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este îndeplinirea egalității

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă, iar cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane înţelegem unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Și , Acea

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Prin urmare, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yȘi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observația 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouȘi Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuațiile generale ale dreptei la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

voi fi scurt. Unghiul dintre două linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, dacă reușiți să găsiți coordonatele vectorilor de direcție a \u003d (x 1; y 1; z 1) și b \u003d (x 2; y 2; z 2), puteți găsi unghiul. Mai precis, cosinusul unghiului conform formulei:

Să vedem cum funcționează această formulă pe exemple specifice:

Sarcină. Punctele E și F sunt marcate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Deoarece muchia cubului nu este specificată, setăm AB = 1. Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, iar axele x, y, z sunt direcționate de-a lungul AB, AD și, respectiv, AA 1 . Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Acum să găsim coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile noastre.

Aflați coordonatele vectorului AE. Pentru a face acest lucru, avem nevoie de punctele A = (0; 0; 0) și E = (0,5; 0; 1). Deoarece punctul E este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Rețineți că originea vectorului AE coincide cu originea, deci AE = (0,5; 0; 1).

Acum să ne ocupăm de vectorul BF. În mod similar, analizăm punctele B = (1; 0; 0) și F = (1; 0,5; 1), deoarece F - mijlocul segmentului B 1 C 1 . Avem:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Deci, vectorii de direcție sunt gata. Cosinusul unghiului dintre drepte este cosinusul unghiului dintre vectorii de direcție, deci avem:

Sarcină. Într-o prismă triedră regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele D și E sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și, respectiv, B 1 C 1. Aflați unghiul dintre dreptele AD și BE.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axa x este îndreptată de-a lungul AB, z - de-a lungul AA 1 . Îndreptăm axa y astfel încât planul OXY să coincidă cu planul ABC. Segmentul unitar este egal cu AB = 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție pentru liniile dorite.

Mai întâi, să găsim coordonatele vectorului AD. Luați în considerare punctele: A = (0; 0; 0) și D = (0,5; 0; 1), deoarece D - mijlocul segmentului A 1 B 1 . Deoarece începutul vectorului AD coincide cu originea, obținem AD = (0,5; 0; 1).

Acum să găsim coordonatele vectorului BE. Punctul B = (1; 0; 0) este ușor de calculat. Cu punctul E - mijlocul segmentului C 1 B 1 - puțin mai complicat. Avem:

Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o prismă hexagonală regulată ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, punctele K și L sunt marcate - punctele mijlocii ale muchiilor A 1 B 1 și B 1 C 1, respectiv. Aflați unghiul dintre liniile AK și BL.

Introducem un sistem de coordonate standard pentru o prismă: plasăm originea coordonatelor în centrul bazei inferioare, direcționăm axa x de-a lungul FC, axa y prin punctele medii ale segmentelor AB și DE și axa z. vertical în sus. Segmentul unitar este din nou egal cu AB = 1. Să scriem coordonatele punctelor de interes pentru noi:

Punctele K și L sunt punctele mijlocii ale segmentelor A 1 B 1 și respectiv B 1 C 1, deci coordonatele lor se găsesc prin media aritmetică. Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AK și BL:

Acum să găsim cosinusul unghiului:

Sarcină. Într-o piramidă pătrangulară obișnuită SABCD, ale căror margini sunt egale cu 1, sunt marcate punctele E și F - punctele de mijloc ale laturilor SB și, respectiv, SC. Aflați unghiul dintre liniile AE și BF.

Introducem un sistem de coordonate standard: originea este în punctul A, axele x și y sunt direcționate de-a lungul AB și, respectiv, AD, iar axa z este îndreptată vertical în sus. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.

Punctele E și F sunt punctele mijlocii ale segmentelor SB și SC, deci coordonatele lor se găsesc ca medie aritmetică a capetelor. Notăm coordonatele punctelor de interes pentru noi:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Cunoscând punctele, găsim coordonatele vectorilor de direcție AE și BF:

Coordonatele vectorului AE coincid cu coordonatele punctului E, deoarece punctul A este originea. Rămâne de găsit cosinusul unghiului:

Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat azi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : vă rugăm să rețineți semnul matematic al intersecției, acesta va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , Dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , și din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv să ofer ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să puneți o cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestei sarcini simple, Privighetoarea Tâlharul pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în majoritatea cazurilor este ușor de efectuat verbal. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta semnificația geometrică a unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.

Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspuns la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie este exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

SoluţieȘi Metoda unu

Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Folosind funcția inversă, este ușor să găsiți unghiul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani), calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Colţ φ ecuații generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, se calculează prin formula:

Colţ φ între două linii drepte ecuații canonice(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 și (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, se calculează prin formula:

Distanța de la punct la linie

Fiecare plan din spațiu poate fi reprezentat ca o ecuație liniară numită ecuație generală avion

Cazuri speciale.

o Dacă în ecuația (8), atunci planul trece prin origine.

o Cu (,) planul este paralel cu axa(axa, respectiv axa).

o Când (,) planul este paralel cu planul (plan, plan).

Soluție: folosiți (7)

Răspuns: ecuația generală a planului.

Exemplu.

Planul din sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este dat de ecuația generală a planului . Notați coordonatele tuturor vectorilor normali din acest plan.

Știm că coeficienții pentru variabilele x, y și z din ecuația generală a planului sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului normal al acelui plan. Prin urmare, vectorul normal al planului dat are coordonate. Mulțimea tuturor vectorilor normali poate fi dată ca.

Scrieți ecuația unui plan dacă într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu trece printr-un punct , A este vectorul normal al acestui plan.

Vă prezentăm două soluții la această problemă.

Din starea pe care o avem. Inlocuim aceste date in ecuatia generala a planului care trece prin punctul:

Scrieți ecuația generală pentru un plan paralel cu planul de coordonate Oyz și care trece prin punct .

Un plan care este paralel cu planul de coordonate Oyz poate fi dat de o ecuație generală incompletă a planului de forma . De la punctul aparține planului prin condiție, atunci coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația planului, adică egalitatea trebuie să fie adevărată. De aici găsim. Astfel, ecuația dorită are forma.

Soluţie. Produsul vectorial, prin definiția 10.26, este ortogonal cu vectorii p și q. Prin urmare, este ortogonal cu planul dorit și vectorul poate fi luat ca vector normal. Aflați coordonatele vectorului n:

acesta este . Folosind formula (11.1), obținem

Deschizând parantezele din această ecuație, ajungem la răspunsul final.

Răspuns: .

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Planurile paralele au același vector normal. 1) Din ecuație găsim vectorul normal al planului:.

2) Compunem ecuația planului în funcție de punct și vectorul normal:

Răspuns:

Ecuația vectorială a unui plan în spațiu

Ecuația parametrică a unui plan în spațiu

Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Fie dat un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiul tridimensional. Să formulăm următoarea problemă:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct dat M(X 0, y 0, z 0) perpendicular pe vectorul dat n = ( A, B, C} .

Soluţie. Lăsa P(X, y, z) este un punct arbitrar în spațiu. Punct P aparține planului dacă și numai dacă vectorul MP = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonală cu vectorul n = {A, B, C) (Fig. 1).

După ce am scris condiția de ortogonalitate pentru acești vectori (n, MP) = 0 sub formă de coordonate, obținem:

A(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Ecuația unui plan cu trei puncte

În formă vectorială

În coordonate

Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu

sunt ecuații generale a două plane. Apoi:

1) dacă , atunci avioanele coincid;

2) dacă , atunci planurile sunt paralele;

3) dacă sau , atunci planele se intersectează și sistemul de ecuații

(6)

sunt ecuațiile dreptei de intersecție a planurilor date.

Soluţie: Compunem ecuațiile canonice ale dreptei cu formula: Răspuns:

Luăm ecuațiile rezultate și „fixăm” mental, de exemplu, piesa din stânga: . Acum echivalăm această piesă la orice număr(amintiți-vă că era deja un zero), de exemplu, la unu: . Din moment ce , atunci și celelalte două „piese” trebuie să fie egale cu una. În esență, trebuie să rezolvați sistemul:

Scrieți ecuații parametrice pentru următoarele linii:

Soluţie: Dreptele sunt date prin ecuații canonice și la prima etapă ar trebui să găsim un punct aparținând dreptei și vectorului său de direcție.

a) Din ecuații se elimina punctul si vectorul directie: . Puteți alege un alt punct (cum să faceți acest lucru este descris mai sus), dar este mai bine să luați cel mai evident. Apropo, pentru a evita greșelile, înlocuiți întotdeauna coordonatele sale în ecuații.

Să compunem ecuațiile parametrice ale acestei drepte:

Comoditatea ecuațiilor parametrice este că, cu ajutorul lor, este foarte ușor să găsiți alte puncte ale dreptei. De exemplu, să găsim un punct ale cărui coordonate, să zicem, corespund valorii parametrului:

Astfel: b) Se consideră ecuaţiile canonice . Alegerea unui punct aici este simplă, dar insidioasă: (ai grijă să nu amesteci coordonatele!!!). Cum să scoți un vector de ghidare? Puteți argumenta cu ce este paralelă această linie dreaptă sau puteți folosi un truc formal simplu: proporția este „y” și „z”, așa că scriem vectorul de direcție și punem zero în spațiul rămas: .

Compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

c) Să rescriem ecuațiile sub forma , adică „Z” poate fi orice. Și dacă există, atunci să fie, de exemplu, . Astfel, punctul aparține acestei linii. Pentru a găsi vectorul direcție, folosim următoarea tehnică formală: în ecuațiile inițiale sunt „x” și „y”, iar în vectorul direcție în aceste locuri scriem zerouri: . În locul rămas punem unitate: . În loc de unul, orice număr, cu excepția zero, va fi potrivit.

Scriem ecuațiile parametrice ale dreptei: