Acasă » clasa a 5-a » Definirea progresiei aritmetice. Algebră: progresii aritmetice și geometrice. Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Definirea progresiei aritmetice. Algebră: progresii aritmetice și geometrice. Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovada internă a capacului îmi spune că încă nu știți ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) doriți să știți. Prin urmare, nu vă voi chinui cu prezentări lungi și voi trece imediat la treabă.

Pentru început, câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecă singur. Primul set este doar numere consecutive, fiecare mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, există rădăcini în general. Cu toate acestea, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, în timp ce $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, adică. caz în care fiecare element următor crește pur și simplu cu $\sqrt(2)$ (și nu vă speriați că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe se numesc doar progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O succesiune de numere în care fiecare următor diferă de precedentul prin exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însuși valoarea cu care numerele diferă se numește diferență de progresie și este cel mai adesea notă cu litera $d$.

Notație: $\left(((a)_(n)) \right)$ este progresia în sine, $d$ este diferența acesteia.

Și doar câteva observații importante. În primul rând, progresia este luată în considerare numai ordonat succesiune de numere: au voie să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Nu puteți rearanja sau schimba numerele.

În al doilea rând, succesiunea în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este în mod evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva de genul (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie infinită. Punctele de suspensie de după cele patru, parcă, sugerează că destul de multe numere merg mai departe. Infinit multe, de exemplu. :)

De asemenea, aș dori să remarc că progresiile sunt în creștere și scădere. Am văzut deja crescătoare - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată exemple de progresii în scădere:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Bine, bine: ultimul exemplu poate părea excesiv de complicat. Dar restul cred că ai înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. O progresie aritmetica se numeste:

crescând dacă fiecare element următor este mai mare decât cel anterior;

descrescătoare, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - ele constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie crescătoare de una în scădere? Din fericire, totul aici depinde doar de semnul numărului $d$, adică. diferente de progresie:

Dacă $d \gt 0$, atunci progresia este în creștere;
Dacă $d \lt 0$, atunci progresia este în mod evident în scădere;
În sfârșit, există cazul $d=0$ — în acest caz întreaga progresie se reduce la o succesiune staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența $d$ pentru cele trei progresii descrescătoare de mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați oricare două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți din numărul din dreapta, numărul din stânga. Va arata asa:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri diferența sa dovedit cu adevărat negativă. Și acum că ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și ce proprietăți au acestea.

Membrii progresiei și formulei recurente

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi interschimbate, ele pot fi numerotate:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \dreapta$\]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai progresiei. Ele sunt indicate astfel cu ajutorul unui număr: primul membru, al doilea membru etc.

În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legați prin formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Pe scurt, pentru a găsi $n$-lea termen al progresiei, trebuie să cunoașteți $n-1$-lea termen și diferența $d$. O astfel de formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul ei poți găsi orice număr, cunoscându-l doar pe cel anterior (și de fapt, pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai complicată care reduce orice calcul la primul termen și diferența:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\stanga(n-1 \dreapta)d\]

Probabil ați mai întâlnit această formulă. Le place să o dea în tot felul de cărți de referință și reshebniks. Și în orice manual sensibil de matematică, este unul dintre primele.

Totuși, vă sugerez să exersați puțin.

Sarcina numărul 1. Notați primii trei termeni ai progresiei aritmetice $\left(((a)_(n)) \right)$ dacă $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $((a)_(1))=8$ și diferența de progresie $d=-5$. Să folosim formula tocmai dată și să înlocuim $n=1$, $n=2$ și $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Răspuns: (8; 3; -2)

Asta e tot! Rețineți că progresia noastră este în scădere.

Desigur, $n=1$ nu ar fi putut fi înlocuit - știm deja primul termen. Totuși, înlocuind unitatea, ne-am asigurat că și pentru primul termen formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul s-a rezumat la aritmetică banală.

Sarcina numărul 2. Scrieți primii trei termeni ai unei progresii aritmetice dacă al șaptelea termen este -40 și al șaptesprezecelea termen este -50.

Soluţie. Scriem starea problemei în termenii obișnuiți:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \dreapta.\]

Am pus semnul sistemului pentru că aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Și acum observăm că dacă scădem prima ecuație din a doua ecuație (avem dreptul să facem asta, deoarece avem un sistem), obținem asta:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Așa am găsit diferența de progres! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Gata! Problema rezolvata.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Observați o proprietate curioasă a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $n$th și $m$th și îi scădem unul de celălalt, obținem diferența de progresie înmulțită cu numărul $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

O proprietate simplă, dar foarte utilă pe care cu siguranță ar trebui să o cunoașteți - cu ajutorul ei, puteți accelera semnificativ rezolvarea multor probleme de progresie. Iată un prim exemplu în acest sens:

Sarcina numărul 3. Al cincilea termen al progresiei aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ și trebuie să găsim $((a)_(15))$, observăm următoarele:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Dar prin condiția $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, deci $5d=6$, de unde avem:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să compunem niciun sistem de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost decis în doar câteva linii.

Acum să luăm în considerare un alt tip de problemă - căutarea membrilor negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, în timp ce primul său termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în ea. Și invers: termenii unei progresii în scădere vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, este departe de a fi întotdeauna posibil să găsim acest moment „pe frunte”, sortând secvenţial printre elemente. Adesea, problemele sunt concepute în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar dura mai multe foi - doar am adormi până am găsi răspunsul. Prin urmare, vom încerca să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Sarcina numărul 4. Câți termeni negativi într-o progresie aritmetică -38,5; -35,8; …?

Soluţie. Deci, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, din care găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia este în creștere. Primul termen este negativ, așa că într-adevăr, la un moment dat, ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla asta.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică până la ce număr natural $n$) se păstrează negativitatea termenilor:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \dreapta. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ultima linie are nevoie de clarificare. Deci știm că $n \lt 15\frac(7)(27)$. Pe de altă parte, doar valorile întregi ale numărului ne vor potrivi (mai mult: $n\in \mathbb(N)$), deci cel mai mare număr permis este tocmai $n=15$ și în niciun caz 16.

Sarcina numărul 5. În progresie aritmetică $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Aflați numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Aceasta ar fi exact aceeași problemă ca cea anterioară, dar nu știm $((a)_(1))$. Dar termenii vecini sunt cunoscuți: $((a)_(5))$ și $((a)_(6))$, așa că putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm al cincilea termen în termeni de primul și diferența folosind formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Acum procedăm prin analogie cu problema anterioară. Aflăm în ce moment în succesiunea noastră vor apărea numerele pozitive:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Soluția întreagă minimă a acestei inegalități este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți că în ultima sarcină totul a fost redus la o inegalitate strictă, așa că opțiunea $n=55$ nu ne va potrivi.

Acum că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să învățăm o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care ne va economisi mult timp și celule inegale în viitor. :)

Media aritmetică și liniuțe egale

Luați în considerare câțiva termeni consecutivi ai progresiei aritmetice crescătoare $\left(((a)_(n)) \right)$. Să încercăm să le marchem pe o linie numerică:

Membrii progresiei aritmetice pe linia numerică

Am notat în mod special membrii arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ și nu orice $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Pentru că regula, pe care o voi spune acum, funcționează la fel pentru orice „segmente”.

Și regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recursivă și să o notăm pentru toți membrii marcați:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Ei bine, ce? Dar faptul că termenii $((a)_(n-1))$ și $((a)_(n+1))$ se află la aceeași distanță de $((a)_(n)) $ . Și această distanță este egală cu $d$. Același lucru se poate spune despre termenii $((a)_(n-2))$ și $((a)_(n+2))$ - sunt, de asemenea, eliminați din $((a)_(n) )$ cu aceeași distanță egală cu $2d$. Puteți continua la nesfârșit, dar imaginea ilustrează bine sensul

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $((a)_(n))$ dacă numerele învecinate sunt cunoscute:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Am dedus o afirmație magnifică: fiecare membru al unei progresii aritmetice este egal cu media aritmetică a membrilor vecini! Mai mult, ne putem abate de la $((a)_(n))$ la stânga și la dreapta nu cu un pas, ci cu $k$ pași - și totuși formula va fi corectă:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Acestea. putem găsi cu ușurință câțiva $((a)_(150))$ dacă știm $((a)_(100))$ și $((a)_(200))$, deoarece $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt special „ascuțite” pentru utilizarea mediei aritmetice. Aruncă o privire:

Sarcina numărul 6. Găsiți toate valorile lui $x$ astfel încât numerele $-6((x)^(2))$, $x+1$ și $14+4((x)^(2))$ să fie membri consecutivi ai o progresie aritmetică (în ordinea specificată).

Soluţie. Deoarece aceste numere sunt membre ale unei progresii, condiția mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $x+1$ poate fi exprimat în termeni de elemente învecinate:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Rezultatul este o ecuație pătratică clasică. Rădăcinile sale: $x=2$ și $x=-3$ sunt răspunsurile.

Răspuns: -3; 2.

Sarcina numărul 7. Găsiți valorile lui $$ astfel încât numerele $-1;4-3;(()^(2))+1$ să formeze o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Din nou, exprimăm termenul de mijloc în termeni de media aritmetică a termenilor învecinați:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\dreapta.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

O altă ecuație pătratică. Și din nou două rădăcini: $x=6$ și $x=1$.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme obțineți niște numere brutale, sau nu sunteți complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există un truc minunat care vă permite să verificați: am rezolvat corect problema?

Să presupunem că în problema 6 avem răspunsurile -3 și 2. Cum putem verifica dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea originală și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($-6(()^(2))$, $+1$ și $14+4(()^(2))$), care ar trebui să formeze o progresie aritmetică. Înlocuiește $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Am primit numerele -54; −2; 50 care diferă cu 52 este, fără îndoială, o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă și pentru $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema este rezolvată corect. Cei care doresc pot verifica singuri a doua sarcină, dar voi spune imediat: totul este corect și acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste un alt fapt interesant care trebuie să ne amintim:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media primului și ultimului, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literalmente progresiile necesare pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne angaja într-o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care decurge direct din ceea ce a fost deja luat în considerare.

Gruparea și suma elementelor

Să revenim din nou la linia numerică. Remarcăm acolo câțiva membri ai progresiei, între care, poate. merită mulți alți membri:

6 elemente marcate pe linia numerică

Să încercăm să exprimăm „coada din stânga” în termeni de $((a)_(n))$ și $d$, iar „coada din dreapta” în termeni de $((a)_(k))$ și $ d$. E foarte simplu:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Acum rețineți că următoarele sume sunt egale:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Mai simplu spus, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un anumit număr $S$, apoi începem să pășim din aceste elemente în direcții opuse (unul față de celălalt sau invers pentru a ne îndepărta), apoi sumele elementelor de care ne vom împiedica vor fi de asemenea egale$S$. Acest lucru poate fi cel mai bine reprezentat grafic:

Aceleași liniuțe dau sume egale

Înțelegerea acestui fapt ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel fundamental de complexitate mai mare decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, acestea:

Sarcina numărul 8. Determinați diferența unei progresii aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul dintre al doilea și al doisprezecelea termeni este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să scriem tot ce știm:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Deci, nu cunoaștem diferența progresiei $d$. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ poate fi rescris după cum urmează:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pentru cei din rezervor: am scos factorul comun 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul dorit este o funcție pătratică față de variabila $d$. Prin urmare, luați în considerare funcția $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă deschidem parantezele, obținem:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

După cum puteți vedea, coeficientul cu cel mai mare termen este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

graficul unei funcții pătratice - parabolă
Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârful său cu abscisa $((d)_(0))$. Desigur, putem calcula această abscisă după schema standard (există o formulă $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), dar ar fi mult mai rezonabil să rețineți că vârful dorit se află pe simetria axei parabolei, deci punctul $((d)_(0))$ este echidistant de rădăcinile ecuației $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

De aceea nu m-am grăbit să deschid parantezele: în forma originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ce ne dă numărul descoperit? Cu el, produsul solicitat ia cea mai mică valoare (apropo, nu am calculat $((y)_(\min ))$ - acest lucru nu este necesar de la noi). În același timp, acest număr este diferența progresiei inițiale, adică. am gasit raspunsul. :)

Răspuns: -36

Sarcina numărul 9. Introduceți trei numere între numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac(1)(6)$ astfel încât împreună cu numerele date să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. De fapt, trebuie să facem o secvență de cinci numere, primul și ultimul număr fiind deja cunoscute. Notează numerele lipsă prin variabilele $x$, $y$ și $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Rețineți că numărul $y$ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant de numerele $x$ și $z$ și de numerele $-\frac(1)(2)$ și $-\frac (1)( 6)$. Și dacă în acest moment nu putem obține $y$ din numerele $x$ și $z$, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Amintiți-vă media aritmetică:

Acum, cunoscând $y$, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $x$ se află între $-\frac(1)(2)$ și $y=-\frac(1)(3)$ tocmai găsit. De aceea

Argumentând în mod similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le notăm în răspuns în ordinea în care ar trebui să fie introduse între numerele originale.

Răspuns: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Sarcina numărul 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere care, împreună cu numerele date, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, al doilea și ultimul dintre numerele introduse este 56.

Soluţie. O sarcină și mai dificilă, care, totuși, se rezolvă la fel ca și cele anterioare - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere să introducem. Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că după inserare vor fi exact $n$ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică dorită poate fi reprezentată ca:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \dreapta$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Rețineți, totuși, că numerele $((a)_(2))$ și $((a)_(n-1))$ sunt obținute din numerele 2 și 42 care stau la margini cu un pas unul față de celălalt. , adică . spre centrul secvenței. Și asta înseamnă că

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Dar atunci expresia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Cunoscând $((a)_(3))$ și $((a)_(1))$, putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Săgeată la dreapta d=5. \\ \end(align)\]

Rămâne doar să găsiți membrii rămași:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul din stânga secvenței - numărul 42. În total, au trebuit introduse doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sarcini de text cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme relativ simple. Ei bine, la fel de simple: pentru majoritatea elevilor care studiază matematica la școală și nu au citit ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea un gest. Cu toate acestea, tocmai astfel de sarcini sunt întâlnite în OGE și USE în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Sarcina numărul 11. Echipa a produs 62 de piese în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs cu 14 piese mai multe decât în cea precedentă. Câte piese a produs brigada în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese, vopsit pe lună, va fi o progresie aritmetică din ce în ce mai mare. Și:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, așa că trebuie să găsim $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Prin urmare, în noiembrie vor fi fabricate 202 piese.

Sarcina numărul 12. Atelierul de legătorie a legat 216 cărți în ianuarie, iar în fiecare lună a legat cu 4 cărți mai multe decât luna precedentă. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. Tot la fel:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembrie este ultima, a 12-a lună a anului, așa că căutăm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați finalizat cu succes „cursul tânăr de luptători” în progresii aritmetice. Putem trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula sumei progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

IV Yakovlev | Materiale de matematică | MathUs.ru

Progresie aritmetică

O progresie aritmetică este un tip special de secvență. Prin urmare, înainte de a defini o progresie aritmetică (și apoi geometrică), trebuie să discutăm pe scurt conceptul important al unei secvențe de numere.

Urmare

Imaginează-ți un dispozitiv pe ecranul căruia sunt afișate unele numere unul după altul. Să spunem 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Un astfel de set de numere este doar un exemplu de succesiune.

Definiție. O secvență numerică este un set de numere în care fiecărui număr i se poate atribui un număr unic (adică pus în corespondență cu un singur număr natural)1. Numărul cu numărul n se numește al n-lea membru al șirului.

Deci, în exemplul de mai sus, primul număr are numărul 2, care este primul membru al secvenței, care poate fi notat cu a1; numărul cinci are numărul 6 care este al cincilea membru al secvenței, care poate fi notat a5 . În general, al n-lea membru al unei secvențe este notat cu un (sau bn , cn , etc.).

O situație foarte convenabilă este atunci când al n-lea membru al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula an = 2n 3 specifică succesiunea: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definește șirul: 1; 1; 1; 1; : : :

Nu orice set de numere este o secvență. Deci, un segment nu este o secvență; conține ¾prea multe¿ numere pentru a fi renumerotate. Mulțimea R a tuturor numerelor reale nu este, de asemenea, o secvență. Aceste fapte sunt dovedite în cursul analizei matematice.

Progresia aritmetică: definiții de bază

Acum suntem gata să definim o progresie aritmetică.

Definiție. O progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare termen (începând cu al doilea) este egal cu suma termenului anterior și a unui număr fix (numit diferența progresiei aritmetice).

De exemplu, secvența 2; 5; 8; unsprezece; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 2 și diferența 3. Secvența 7; 2; 3; 8; : : : este o progresie aritmetică cu primul termen 7 și diferența 5. Secvența 3; 3; 3; : : : este o progresie aritmetică cu diferență zero.

Definiție echivalentă: O secvență an se numește progresie aritmetică dacă diferența an+1 an este o valoare constantă (nu depinde de n).

Se spune că o progresie aritmetică crește dacă diferența este pozitivă și descrește dacă diferența este negativă.

1 Și iată o definiție mai concisă: o secvență este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale. De exemplu, șirul numerelor reale este funcția f: N! R.

În mod implicit, secvențele sunt considerate infinite, adică care conțin un număr infinit de numere. Dar nimeni nu se deranjează să ia în considerare și secvențele finite; de fapt, orice set finit de numere poate fi numită o secvență finită. De exemplu, secvența finală 1; 2; 3; 4; 5 este format din cinci numere.

Formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice

Este ușor de înțeles că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen și diferența. Prin urmare, se pune întrebarea: cum, cunoscând primul termen și diferența, găsim un termen arbitrar al unei progresii aritmetice?

Nu este greu de obținut formula dorită pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice. Lasă an

progresie aritmetică cu diferență d. Avem:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
În special, scriem:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
și acum devine clar că formula pentru an este:
an = a1 + (n 1)d:

Sarcina 1. În progresia aritmetică 2; 5; 8; unsprezece; : : : găsiți formula celui de-al n-lea termen și calculați al sutelea termen.

Soluţie. Conform formulei (1) avem:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietatea și semnul progresiei aritmetice

proprietatea unei progresii aritmetice. În progresie aritmetică an pentru orice

Cu alte cuvinte, fiecare membru al progresiei aritmetice (începând cu al doilea) este media aritmetică a membrilor vecini.

	Dovada. Avem:
	a n 1 + a n+1		(an d) + (an + d)

care este ceea ce s-a cerut.

Mai general, progresia aritmetică an satisface egalitatea

a n = a n k + a n+k

pentru orice n > 2 și orice k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Se pare că formula (2) nu este doar o condiție necesară, ci și suficientă pentru ca o secvență să fie o progresie aritmetică.

Semnul unei progresii aritmetice. Dacă egalitatea (2) este valabilă pentru toate n > 2, atunci șirul an este o progresie aritmetică.

Dovada. Să rescriem formula (2) după cum urmează:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Aceasta arată că diferența an+1 an nu depinde de n, iar asta înseamnă doar că șirul an este o progresie aritmetică.

Proprietatea și semnul unei progresii aritmetice pot fi formulate ca o singură afirmație; pentru comoditate, vom face acest lucru pentru trei numere (aceasta este situația care apare adesea în probleme).

Caracterizarea unei progresii aritmetice. Trei numere a, b, c formează o progresie aritmetică dacă și numai dacă 2b = a + c.

Problema 2. (Universitatea de Stat din Moscova, Facultatea de Economie, 2007) Trei numere 8x, 3 x2 și 4 în ordinea specificată formează o progresie aritmetică descrescătoare. Găsiți x și scrieți diferența acestei progresii.

Soluţie. Prin proprietatea unei progresii aritmetice, avem:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Dacă x = 1, atunci se obține o progresie descrescătoare de 8, 2, 4 cu o diferență de 6. Dacă x = 5, atunci se obține o progresie crescătoare de 40, 22, 4; acest caz nu merge.

Răspuns: x = 1, diferența este 6.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Legenda spune că odată profesorul le-a spus copiilor să găsească suma numerelor de la 1 la 100 și s-a așezat să citească în liniște ziarul. Cu toate acestea, în câteva minute, un băiat a spus că a rezolvat problema. Era Carl Friedrich Gauss, în vârstă de 9 ani, mai târziu unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie.

Ideea micuțului Gauss a fost aceasta. Lăsa

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Să scriem această sumă în ordine inversă:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

și adăugați aceste două formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Fiecare termen dintre paranteze este egal cu 101 și există 100 de astfel de termeni în total.

2S = 101 100 = 10100;

Folosim această idee pentru a deriva formula sumei

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

O modificare utilă a formulei (3) se obține prin înlocuirea formulei pentru al n-lea termen an = a1 + (n 1)d în ea:

		2a1 + (n 1)d

Sarcina 3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din trei cifre divizibile cu 13.

Soluţie. Numerele din trei cifre care sunt multipli ai lui 13 formează o progresie aritmetică cu primul termen 104 și diferența 13; Al n-lea termen al acestei progresii este:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Să aflăm câți membri conține progresul nostru. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea:

un 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Deci sunt 69 de membri în evoluția noastră. Conform formulei (4) găsim suma necesară:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Cineva tratează cu prudență cuvântul „progresie”, ca pe un termen foarte complex din secțiunile de matematică superioară. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este munca contorului de taxi (unde rămân încă). Și a înțelege esența (și în matematică nu este nimic mai important decât „a înțelege esența”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificil, având în vedere câteva concepte elementare.

Succesiunea de numere matematice

Se obișnuiește să se numească o succesiune numerică o serie de numere, fiecare având propriul său număr.

şi 1 este primul membru al secvenţei;

şi 2 este al doilea membru al secvenţei;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

şi n este al n-lea membru al secvenţei;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de cifre și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea n-lea membru este legată de numărul său ordinal printr-o dependență care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoarea numerică a numărului al n-lea este o funcție a lui n.

a - valoarea unui membru al succesiunii numerice;

n este numărul său de serie;

f(n) este o funcție în care ordinalul din șirul numeric n este argumentul.

Definiție

O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea membru al unei secvențe aritmetice este următoarea:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n+1 - formula următorului număr;

d - diferență (un anumit număr).

Este ușor de determinat că, dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât cel anterior, iar o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos, este ușor de înțeles de ce succesiunea de numere este numită „în creștere”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea membrului specificat

Uneori este necesar să se determine valoarea unui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Puteți face acest lucru calculând succesiv valorile tuturor membrilor progresiei aritmetice, de la primul la cel dorit. Cu toate acestea, acest mod nu este întotdeauna acceptabil dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculul tradițional va dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi investigată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui membru al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului membru al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul membrului dorit, minus unu .

Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.

Un exemplu de calcul al valorii unui membru dat

Să rezolvăm următoarea problemă de a găsi valoarea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:

Primul membru al secvenței este 3;

Diferența în seria de numere este 1,2.

Sarcină: este necesar să găsiți valoarea a 214 termeni

Soluție: pentru a determina valoarea unui membru dat, folosim formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea membru al secvenței este egal cu 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de termeni

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. De asemenea, nu trebuie să calculeze valorile fiecărui termen și apoi să le însumeze. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.

Suma membrilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea membru, înmulțită cu numărul membrului n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea membru este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen al secvenței este zero;

Diferența este de 0,5.

În problemă, este necesar să se determine suma termenilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru a determina suma progresiei:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 membri ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să scădem S 55 din S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Deci, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul secvenței aritmetice prezentate în primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble / km. Distanta de parcurs 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul de aterizare.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.

Numărul de membru este numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.

Diferența de progresie d = 22 p.

numărul de interes pentru noi - valoarea membrului (27 + 1) al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Calculele datelor calendaristice pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde din punct de vedere geometric de distanța dintre corpul ceresc și lumina. În plus, diverse serii numerice sunt utilizate cu succes în statistică și în alte ramuri aplicate ale matematicii.

Un alt tip de succesiune de numere este geometrică

O progresie geometrică este caracterizată de o rată de schimbare mare, în comparație cu o rată aritmetică. Nu întâmplător, în politică, sociologie, medicină, de multe ori, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun că procesul se dezvoltă exponențial.

Al N-lea membru al seriei numerice geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul membru este 1, numitorul este 2, respectiv:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea membrului curent al progresiei geometrice;

b n+1 - formula următorului membru al progresiei geometrice;

q este numitorul unei progresii geometrice (număr constant).

Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci cel geometric desenează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, o progresie geometrică are o formulă pentru valoarea unui membru arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice este egal cu produsul primului termen și numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Găsiți al 5-lea termen al progresiei

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Suma unui număr dat de membri este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n membri ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul dintre al n-lea membru al progresiei și numitorul său și primul membru al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:

Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n membri ai seriei de numere considerate va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este stabilit egal cu 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Conceptul de succesiune numerică implică faptul că fiecărui număr natural îi corespunde o anumită valoare reală. O astfel de serie de numere poate fi atât arbitrară, cât și poate avea anumite proprietăți - o progresie. În acest din urmă caz, fiecare element (membru) ulterior al secvenței poate fi calculat folosind cel anterior.

O progresie aritmetică este o succesiune de valori numerice în care membrii săi vecini diferă unul de celălalt prin același număr (toate elementele seriei, începând cu a 2-a, au o proprietate similară). Acest număr - diferența dintre membrul anterior și cel următor - este constant și se numește diferență de progresie.

Diferența de progresie: definiție

Considerăm o succesiune formată din j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j aparține mulțimii numerelor naturale N. O progresie aritmetică, conform definiției sale, este o secvență , în care a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Valoarea lui d este diferența dorită a acestei progresii.

d = a(j) - a(j-1).

Aloca:

O progresie crescătoare, caz în care d > 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, …
progresie descrescătoare, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Diferența de progresie și elementele sale arbitrare

Dacă se cunosc 2 membri arbitrari ai progresiei (i-th, k-th), atunci diferența pentru această secvență poate fi stabilită pe baza relației:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, deci d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Diferența de progresie și primul său termen

Această expresie va ajuta la determinarea valorii necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.

Diferența de progresie și suma ei

Suma unei progresii este suma termenilor ei. Pentru a calcula valoarea totală a primelor sale j elemente, utilizați formula corespunzătoare:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, dar din moment ce a(j) = a(1) + d(j – 1), apoi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indicii literelor, al n-lea termen al progresiei, diferența progresiei - toate acestea sunt oarecum confuze, da ... Să ne dăm seama care este semnificația progresiei aritmetice și totul se va rezolva imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această linie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Puteți să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă v-ați dat seama că acest număr este 20 - vă felicit! Nu numai că ai simțit puncte cheie ale unei progresii aritmetice, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu înțelegi, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să construim grafice și toate astea... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr diferă de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este de trei ori mai mare decât precedentul. De fapt, acest moment este cel care ne oferă posibilitatea de a surprinde tiparul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar foarte, foarte important. Aici era: fiecare număr de progresie este la locul său. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cincilea și așa mai departe. Dacă le confundați la întâmplare, modelul va dispărea. Va dispărea și progresia aritmetică. Este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în noul subiect apar termeni și notații noi. Ei trebuie să știe. Altfel, nu vei înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n) dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, de altfel, nu putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a notației. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această valoare este numită . Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult cel precedent.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr de progresie adăugând diferența unei progresii aritmetice față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele rândului, este necesar să primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferenta este necesara adăuga La Al patrulea bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv atunci fiecare număr al seriei se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici este fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să-ți găsești orientarea în decizie, să-ți detectezi greșelile și să le corectezi înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr al seriei anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru o progresie aritmetică crescătoare:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rând pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți doar să iei orice număr de progresii, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nici anterior.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegem orice număr de progresie, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are numărul lui. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul membru, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotare- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în formă generală? Nici o problemă! Fiecare număr din serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, de regulă, se folosește litera A. Numărul membrului este indicat de indexul din dreapta jos. Membrii se scriu separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 este primul număr a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie această serie pe scurt astfel: (un n).

Sunt progresii finit și infinit.

final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie o progresie finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva deja sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea sensului progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini pentru progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă la sarcina de mai sus:

1. Notează primii șase membri ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Având în vedere o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de starea problemei. Primii șase membri, unde al doilea membru este de cinci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Inlocuim in expresie a 2 = 5Și d=-2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, astfel încât numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = a 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = un 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea au fost calculati. Aceasta a rezultat într-o serie:

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 conform binecunoscutei secunde. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) De aici, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, observ că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt groaznic înseamnă, doar, căutarea unui membru al progresiei după numărul anterior (adiacent). Alte modalități de a lucra cu progresia vor fi discutate mai târziu.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un membru și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această concluzie simplă ne permite să rezolvăm majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al unei progresii. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, luați în considerare câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n=5, d=0,4 și a 1=3,6.

Totul este simplu aici. Totul este deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt calculați, numărați și scrieți membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu săriți peste cuvintele din condiția sarcinii: „final” și „ n=5". Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n) dacă a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să definești ceva?

Cum-cum... Da, notează progresia sub formă de serie și vezi dacă va fi un șapte sau nu! Noi credem:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresiei date.

Răspuns: nu.

Și iată o sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se notează mai multe membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să vedem și să vedem ce putem a sti din linia asta? Care sunt parametrii celor trei principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența unei progresii aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas spații goale. Ce număr va fi cel anterior pentru x? Cincisprezece. Deci x poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. La 15 adăugați diferența unei progresii aritmetice:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste puzzle-uri nu sunt pentru formule. Pur și simplu pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de cifre-litere, privim și gândim.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Găsiți un 3.

8. Se notează mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescându-și treptat viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului în cinci minute? Dati raspunsul in km/h.

10. Se știe că într-o progresie aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți învăța progresia aritmetică la un nivel superior în următoarele lecții.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste puzzle-uri sunt defalcate piesă cu piesă.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini clar, clar, ca în palma mâinii tale!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul - doar prin progresie, iar al doilea - comun tuturor sarcinilor din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va decide.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte din serie, ca în exemplele din această lecție. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absolut absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Și ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Este posibil să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acea problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)