Cum se adună numerele cu puteri diferite. Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor. Care este gradul unui număr
În articolul anterior, am vorbit despre ce sunt monomiile. În acest material, vom analiza modul de rezolvare a exemplelor și problemelor în care sunt utilizate. Aici vom lua în considerare astfel de acțiuni precum scăderea, adunarea, înmulțirea, împărțirea monomiilor și ridicarea lor la o putere cu un exponent natural. Vom arăta cum sunt definite astfel de operațiuni, vom indica regulile de bază pentru implementarea lor și care ar trebui să fie rezultatul. Toate prevederile teoretice, ca de obicei, vor fi ilustrate prin exemple de probleme cu descrieri de soluții.
Cel mai convenabil este să lucrați cu notația standard a monomiilor, așa că vă prezentăm toate expresiile care vor fi folosite în articol într-o formă standard. Dacă inițial sunt setate diferit, este recomandat să le aduceți mai întâi într-o formă general acceptată.
Reguli pentru adunarea și scăderea monomiilor
Cele mai simple operații care pot fi efectuate cu monomii sunt scăderea și adunarea. În cazul general, rezultatul acestor acțiuni va fi un polinom (un monom este posibil în unele cazuri speciale).
Când adunăm sau scădem monomii, notăm mai întâi suma și diferența corespunzătoare în forma general acceptată, după care simplificăm expresia rezultată. Dacă există termeni similari, trebuie dați, parantezele trebuie deschise. Să explicăm cu un exemplu.
Exemplul 1
Condiție: se adună monomiile − 3 · x și 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .
Soluţie
Să notăm suma expresiilor originale. Adăugați paranteze și puneți un semn plus între ele. Vom obține următoarele:
(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)
Când extindem parantezele, obținem - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Acesta este un polinom, scris în formă standard, care va fi rezultatul adunării acestor monomii.
Răspuns:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .
Dacă avem trei, patru sau mai mulți termeni dați, efectuăm această acțiune în același mod.
Exemplul 2
Condiție: efectuați operațiile date cu polinoame în ordinea corectă
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Soluţie
Să începem prin a deschide parantezele.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Vedem că expresia rezultată poate fi simplificată prin reducerea termenilor similari:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9
Avem un polinom, care va fi rezultatul acestei acțiuni.
Răspuns: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
În principiu, putem efectua adunarea și scăderea a două monomii, cu unele restricții, astfel încât să ajungem la un monom. Pentru a face acest lucru, este necesar să se respecte unele condiții privind termenii și monomiile scăzute. Vom descrie cum se face acest lucru într-un articol separat.
Reguli pentru înmulțirea monomiilor
Acțiunea de multiplicare nu impune nicio restricție asupra multiplicatorilor. Monomiile de înmulțit nu trebuie să îndeplinească nicio condiție suplimentară pentru ca rezultatul să fie un monom.
Pentru a efectua înmulțirea monomiilor, trebuie să efectuați următorii pași:
- Înregistrați corect piesa.
- Extindeți parantezele din expresia rezultată.
- Grupați, dacă este posibil, factorii cu aceleași variabile și factori numerici separat.
- Efectuați acțiunile necesare cu numere și aplicați la factorii rămași proprietatea înmulțirii puterilor cu aceleași baze.
Să vedem cum se face acest lucru în practică.
Exemplul 3
Condiție:înmulţiţi monomiile 2 · x 4 · y · z şi - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .
Soluţie
Să începem cu compoziția lucrării.
Deschidem parantezele din el și obținem următoarele:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Tot ce trebuie să facem este să înmulțim numerele din primele paranteze și să aplicăm proprietatea puterii celui de-al doilea. Ca rezultat, obținem următoarele:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Răspuns: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Dacă avem trei sau mai multe polinoame în condiție, le înmulțim folosind exact același algoritm. Vom analiza mai detaliat problema înmulțirii monomiilor într-un material separat.
Reguli pentru ridicarea unui monom la putere
Știm că produsul unui anumit număr de factori identici se numește grad cu exponent natural. Numărul lor este indicat de numărul din indicator. Conform acestei definiții, ridicarea unui monom la o putere echivalează cu înmulțirea numărului indicat de monomii identice. Să vedem cum se face.
Exemplul 4
Condiție: ridică monomul − 2 · a · b 4 la puterea lui 3 .
Soluţie
Putem înlocui exponentiația cu înmulțirea a 3 monomii − 2 · a · b 4 . Să scriem și să obținem răspunsul dorit:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12
Răspuns:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .
Dar ce zici când gradul are un exponent mare? Scrie un numar mare de multiplicatorii sunt incomozi. Apoi, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aplicăm proprietățile gradului, și anume proprietatea gradului produsului și proprietatea gradului în grad.
Să rezolvăm problema pe care am citat-o mai sus în modul indicat.
Exemplul 5
Condiție: ridică − 2 · a · b 4 la a treia putere.
Soluţie
Cunoscând proprietatea gradului în grad, se poate trece la o expresie de următoarea formă:
(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .
După aceea, ridicăm la puterea - 2 și aplicăm proprietatea exponentului:
(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .
Răspuns:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
De asemenea, am dedicat un articol separat ridicării unui monom la o putere.
Reguli pentru împărțirea monomiilor
Ultima acțiune cu monomii pe care o vom analiza în acest material este împărțirea unui monom cu un monom. Ca rezultat, ar trebui să obținem o fracție rațională (algebrică) (în unele cazuri, este posibil să obținem un monom). Să clarificăm imediat că împărțirea la zero nu este definită, deoarece împărțirea cu 0 nu este definită.
Pentru a efectua împărțirea, trebuie să scriem monomiile indicate sub forma unei fracții și să o reducem, dacă este posibil.
Exemplul 6
Condiție:împărțiți monomul − 9 x 4 y 3 z 7 la − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .
Soluţie
Să începem prin a scrie monomiile sub formă de fracție.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Această fracție poate fi redusă. După ce facem asta, obținem:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Răspuns:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Condițiile în care, ca urmare a împărțirii monomiilor, obținem un monom sunt prezentate într-un articol separat.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?
În algebră, puteți găsi produsul puterilor în două cazuri:
1) dacă gradele au aceeași bază;
2) dacă gradele au aceiași indicatori.
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza trebuie să rămână aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:
Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul total poate fi scos din paranteze:
Luați în considerare cum să multiplicați puterile, cu exemple specifice.
Unitatea din exponent nu este scrisă, dar la înmulțirea gradelor, acestea iau în considerare:
La înmulțire, numărul de grade poate fi oricare. Trebuie amintit că nu puteți scrie semnul de înmulțire înaintea literei:
În expresii, exponențiarea este efectuată mai întâi.
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi - înmulțirea:
www.algebraclass.ru
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor
Adunarea și scăderea puterilor
Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.
Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .
De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie modificate în consecință.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterii
Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.
Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;
Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Împărțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau plasându-le sub forma unei fracții.
Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.
Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.
2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.
proprietăți de grad
Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.
Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.
Proprietatea #1
Produsul puterilor
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.
a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea #2
Diplome private
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4
Răspuns: t = 3 4 = 81
Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Proprietatea #3
Exponentiatie
Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n b n)= (a b) n
Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În mai mult exemple dificile pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
Grade și rădăcini
Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,
zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.
Operațiuni cu puteri.
1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii acestora se adună:
a m · a n = a m + n .
2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor scăzut .
3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.
4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):
(a/b) n = un n / b n .
5. Când se ridică un grad la o putere, indicatorii lor sunt înmulțiți:
Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.
EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:
2. Rădăcina relației este egal cu raportul rădăcinile dividendului și divizorului:
3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:
4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la gradul m --lea, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:
5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului m-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:
Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroȘi fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:
Acum formula a m : un n = un m-n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și la m, mai puțin decât n .
EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect la m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.
Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.
Unde A ≠ 0 , nu exista.
Într-adevăr, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0
— orice număr.
Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 X. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, ceea ce urma să fie dovedit.
0 0 — orice număr.
Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:
1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație
2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, de unde urmează,
ce X- orice număr; dar ținând cont de faptul că
cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;
Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite
GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,
FUNCȚIA DE PUTERE IV
§ 69. Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze
Teorema 1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții și să lăsați baza aceeași, adică
Dovada. Prin definiția gradului
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Am considerat produsul a două puteri. De fapt, proprietatea dovedită este adevărată pentru orice număr de puteri cu aceleași baze.
Teorema 2. Pentru a împărți puterile cu aceleași baze, atunci când indicatorul dividendului este mai mare decât indicatorul divizorului, este suficient să scădem indicatorul divizorului din indicatorul dividendului și să lăsați baza aceeași, adică la t > n
(A =/= 0)
Dovada. Amintiți-vă că câtul împărțirii unui număr la altul este numărul care, înmulțit cu un divizor, dă dividendul. Prin urmare, demonstrați formula , unde A =/= 0, este ca și cum ai demonstra formula
Dacă t > n , apoi numărul t - p va fi natural; prin urmare, prin teorema 1
Teorema 2 este demonstrată.
Rețineți că formula
dovedit de noi numai sub presupunerea că t > n . Prin urmare, din ceea ce s-a dovedit, nu este încă posibil să se tragă, de exemplu, următoarele concluzii:
În plus, nu am luat în considerare încă grade cu exponenți negativi și nu știm încă ce semnificație i se poate da expresiei 3 - 2 .
Teorema 3. Pentru a ridica o putere la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza exponentului aceeași, adică
Dovada. Folosind definiția gradului și teorema 1 din această secțiune, obținem:
Q.E.D.
De exemplu, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (Oral.) Determinați X din ecuatii:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .
519. (Ajustat) Simplificați:
520. (Ajustat) Simplificați:
521. Prezentați aceste expresii ca grade cu aceleași baze:
1) 32 și 64; 3) 85 și 163; 5) 4 100 și 32 50;
2) -1000 și 100; 4) -27 și -243; 6) 81 75 8 200 și 3 600 4 150.
Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.
Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.
De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.
Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.
Acum să folosim regula. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 , sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .
Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.
Astfel, putem, fără a înmulți, să spunem imediat că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numere obișnuite este egal cu 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumam:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.
La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul nu este între cei doi.
Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.
Articole despre științele naturii și matematică
Proprietățile puterilor cu aceeași bază
Există trei proprietăți ale puterilor cu aceleași baze și exponenți naturali. Acest
Ai grija! Reguli referitoare la adunare si scadere puteri cu aceeași bază nu exista.
Scriem aceste proprietăți-reguli sub formă de formule:
Acum luați în considerare exemple specifice și încercați să dovediți.
5 2 × 5 3 = 5 5 - aici am aplicat regula; și acum imaginați-vă cum am rezolva acest exemplu dacă nu am cunoaște regulile:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - cinci pătrat este de cinci ori cinci, iar cubul este produsul a trei cinci. Rezultatul este un produs de cinci cinci, dar acesta este altceva decât puterea cinci la a cincea: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Să scriem împărțirea ca fracție:
Poate fi scurtat: 
Ca rezultat, obținem: 
Astfel, am demonstrat că la împărțirea a două puteri cu aceleași baze, indicatorii acestora trebuie scăzuți.
Cu toate acestea, la împărțire, este imposibil ca divizorul să fie egal cu zero (din moment ce nu puteți împărți la zero). În plus, întrucât considerăm grade doar cu indicatori naturali, nu putem obține un număr mai mic de 1 ca urmare a scăderii indicatorilor.De aceea, se impun restricții asupra formulei am ÷ an = am–n: a ≠ 0 și m > n.
Să trecem la a treia proprietate:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Să scriem în formă extinsă:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Puteți ajunge la această concluzie și la raționament logic. Trebuie să înmulțiți două pătrate de patru ori. Dar sunt doi doi în fiecare pătrat, deci vor fi opt doi în total.
scienceland.info
proprietăți de grad
Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.
Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.
Proprietatea #1
Produsul puterilor
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.
a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea #2
Diplome private
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4
Răspuns: t = 3 4 = 81
Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Proprietatea #3
Exponentiatie
Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n b n)= (a b) n
Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
Înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri
Dacă trebuie să ridici un anumit număr la o putere, poți folosi tabelul puterilor numerelor naturale de la 2 la 25 în algebră. Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.
Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea. 
De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.
Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.
Și acum folosim regula ridicării unui număr la o putere. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 , sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .
Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.
Astfel, putem, fără a înmulți, să spunem imediat că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numere obișnuite este egal cu 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumam:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.
La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul nu este între cei doi.
Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.
Până acum, am presupus că exponentul este numărul de factori identici. În acest caz, valoarea minimă a exponentului este 2. Totuși, dacă efectuăm operația de împărțire a numerelor, sau de scădere a exponenților, putem obține și un număr mai mic decât 2, ceea ce înseamnă că vechea definiție nu ne mai poate conveni. Citiți mai multe în articolul următor.
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor
Adunarea și scăderea puterilor
Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.
Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .
De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie modificate în consecință.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterii
Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.
Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;
Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Împărțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau plasându-le sub forma unei fracții.
Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.
Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.
2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.
Gradul și proprietățile sale. Nivel mediu.
Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru Examenul Unificat de Stat sau OGE?
grad se numește expresie de forma: , unde:
Gradul cu exponent întreg
grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).
Gradul cu exponent rațional
grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.
Gradul cu exponent irațional
gradul al cărui exponent este infinit zecimal sau rădăcină.
Proprietăți de grad
Caracteristicile diplomelor.
Care este gradul unui număr?
Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.
Acum voi explica totul în limbajul uman într-un mod foarte exemple simple. Ai grija. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.
Să începem cu adăugarea.
Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.
Acum înmulțirea.
Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.
Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…
Iată tabla înmulțirii. Repeta.
Și încă unul, mai frumos:
Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.
Ridicarea unui număr la o putere.
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.
Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.
Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.
Exemplul #1 din viața reală.
Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.
Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.
Puteți număra doar băgând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().
Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.
Exemplul #2 din viața reală.
Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului. Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau... dacă observați asta Tabla de sah este un pătrat cu o latură, apoi puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?
Exemplul #3 din viața reală.
Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru de dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru vor intra în piscina dvs.
Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?
Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:
Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.
Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de mocasini și de oameni vicleni pentru a-și rezolva problemele vieții, și nu pentru a-ți crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.
Exemplul #4 din viața reală.
Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?
Exemplu din viata nr.5.
Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.
Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.
Termeni și concepte.
Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...
Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.
Iată o poză ca să fii sigur.
Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a reține mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:
„Gradul unui număr cu un indicator natural”
Probabil ai ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?
Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.
Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?
Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.
Grad cu un indicator natural
Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică un număr întreg și pozitiv).
- Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
- A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
- A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:
Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.
proprietăți de grad
Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietăți ale puterilor cu aceleași baze și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.
Prima proprietate.
Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.
a 2-a proprietate.
a 3-a proprietate.
Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.
a 4-a proprietate.
Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.
Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!
a 5-a proprietate.
a 6-a proprietate.
Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.
a 7-a proprietate.
Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.
a 8-a proprietate.
a 9-a proprietate.
Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.
De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.
a 10-a proprietate.
Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.
a 11-a proprietate.
Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.
a 12-a proprietate.
Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.
Aplicarea gradelor și proprietățile acestora
Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.
Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.
Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.
De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.
Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.
Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.
Cu ajutorul diplomelor, valori foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.
ecuații exponențiale și inegalități
Proprietățile de grade ocupă un loc special tocmai în ecuații exponențialeși inegalități. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, ca în curs şcolar cât şi la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.
