Cum se numără unghiurile în triunghiuri complexe. Aria unui triunghi. Exemple din viața reală

Construirea oricărui acoperiș nu este atât de ușoară pe cât pare. Și dacă doriți să fie fiabil, durabil și să nu vă fie frică de diferite sarcini, atunci în prealabil, chiar și în faza de proiectare, trebuie să faceți o mulțime de calcule. Și vor include nu numai cantitatea de materiale utilizate pentru instalare, ci și determinarea unghiurilor de înclinare, aria pantelor etc. Cum se calculează corect unghiul acoperișului? De această valoare vor depinde în mare măsură restul parametrilor acestui design.

Proiectarea și construcția oricărui acoperiș este întotdeauna o afacere foarte importantă și responsabilă. Mai ales când vine vorba de acoperișul unei clădiri rezidențiale sau de un acoperiș cu o formă complexă. Dar chiar și șopronul obișnuit, instalat pe un șopron sau un garaj nedescriptiv, are nevoie doar de calcule preliminare.

Dacă nu determinați în prealabil unghiul de înclinare al acoperișului, nu aflați ce înălțime optimă ar trebui să aibă coama, atunci există un risc mare de a construi un acoperiș care se va prăbuși după prima ninsoare sau toată stratul de finisare. din el va fi smuls chiar și de un vânt moderat.

De asemenea, unghiul de înclinare al acoperișului va afecta semnificativ înălțimea crestei, suprafața și dimensiunile versanților. În funcție de aceasta, va fi posibil să se calculeze mai precis cantitatea de materiale necesară pentru a crea sistemul de căpriori și finisaj.

Preturi pentru diferite tipuri de coame de acoperis

Culmea acoperișului

Unități

Amintindu-ne de geometria pe care toată lumea a învățat-o la școală, este sigur să spunem că unghiul acoperișului se măsoară în grade. Cu toate acestea, în cărțile de construcție, precum și în diferite desene, puteți găsi și o altă opțiune - unghiul este indicat în procente (aici ne referim la raportul de aspect).

În general, unghiul de pantă este unghiul format din două plane care se intersectează- suprapunerea și direct panta acoperișului. Poate fi doar ascuțit, adică se află în intervalul 0-90 de grade.

Pe o notă! Pantele foarte abrupte, al căror unghi este mai mare de 50 de grade, sunt extrem de rare în forma lor pură. De obicei sunt folosite doar pentru decorarea acoperișurilor, pot fi prezente în poduri.

În ceea ce privește măsurarea unghiurilor acoperișului în grade, atunci totul este simplu - toți cei care au studiat geometria la școală au aceste cunoștințe. Este suficient să schițați o diagramă a acoperișului pe hârtie și să utilizați un raportor pentru a determina unghiul.

În ceea ce privește procentele, atunci trebuie să cunoașteți înălțimea crestei și lățimea clădirii. Primul indicator este împărțit la al doilea, iar valoarea rezultată este înmulțită cu 100%. Astfel, procentul poate fi calculat.

Pe o notă! La un procent de 1, un grad tipic de înclinare este de 2,22%. Adică, o pantă cu un unghi de 45 de grade obișnuite este egală cu 100%. Și 1 la sută înseamnă 27 de minute de arc.

Tabel de valori - grade, minute, procente

Ce factori afectează unghiul de înclinare?

Unghiul de înclinare al oricărui acoperiș este foarte afectat număr mare factori, variind de la dorințele viitorului proprietar al casei și terminând cu regiunea în care va fi amplasată casa. Atunci când calculezi, este important să ții cont de toate subtilitățile, chiar și de cele care la prima vedere par nesemnificative. La un moment dat, ei pot juca rolul lor. Determinați unghiul adecvat de înclinare a acoperișului, știind:

• tipuri de materiale din care se va construi plăcinta acoperișului, începând de la sistemul de ferme și terminând cu finisajul exterior;
• condițiile climatice din zonă (sarcina vântului, direcția predominantă a vântului, precipitații etc.);
• forma viitoarei clădiri, înălțimea ei, designul;
• scopul clădirii, opțiuni de utilizare a spațiului de mansardă.

În acele regiuni în care există o sarcină puternică de vânt, se recomandă construirea unui acoperiș cu o singură pantă și un unghi mic de înclinare. Apoi, cu un vânt puternic, este mai probabil ca acoperișul să reziste și să nu fie rupt. Dacă regiunea este caracterizată un numar mare de precipitații (zăpadă sau ploaie), atunci este mai bine să faceți panta mai abruptă - acest lucru va permite precipitațiilor să se rostogolească / să se scurgă de pe acoperiș și să nu creeze încărcătură suplimentară. Panta optimă a acoperișului șopron în regiunile cu vânt variază între 9-20 de grade, iar acolo unde sunt multe precipitații - până la 60 de grade. Un unghi de 45 de grade vă va permite să ignorați încărcătura de zăpadă în general, dar în acest caz presiunea vântului pe acoperiș va fi de 5 ori mai mare decât pe un acoperiș cu o pantă de doar 11 grade.

Pe o notă! Cu cât parametrii de pantă a acoperișului sunt mai mari, cu atât vor fi necesare mai multe materiale pentru a-l crea. Costul crește cu cel puțin 20%.

Unghiuri de înclinare și materiale de acoperiș

Nu numai condițiile climatice vor avea un impact semnificativ asupra formei și unghiului versanților. Un rol important îl au materialele utilizate pentru construcție, în special - acoperișuri.

Masa. Unghiuri optime de pantă pentru acoperișuri din diverse materiale.

Pe o notă! Cu cât panta acoperișului este mai mică, cu atât panta folosită pentru a crea lada este mai mică.

Preturi placi metalice

țiglă metalică

Înălțimea patinei depinde și de unghiul pantei.

Când se calculează orice acoperiș, un triunghi dreptunghiular este întotdeauna luat ca ghid, unde picioarele sunt înălțimea pantei în punctul de sus, adică la coamă sau tranziția de la partea inferioară a întregului sistem de căpriori la vârf. (în cazul acoperișurilor mansardate), precum și proiecția lungimii unei anumite pante pe orizontală, care este reprezentată de suprapuneri. Există o singură valoare constantă aici - aceasta este lungimea acoperișului dintre cei doi pereți, adică lungimea travei. Înălțimea părții de creastă va varia în funcție de unghiul de înclinare.

Cunoașterea formulelor din trigonometrie va ajuta la proiectarea acoperișului: tgA \u003d H / L, sinA \u003d H / S, H \u003d LхtgA, S \u003d H / sinA, unde A este unghiul pantei, H este unghiul pantei. înălțimea acoperișului până la zona coamei, L este ½ din întreaga lungime a acoperișului (cu un acoperiș cu fronton) sau întreaga lungime (în cazul unui acoperiș șopron), S - lungimea pantei în sine. De exemplu, dacă se cunoaște valoarea exactă a înălțimii părții crestei, atunci unghiul de înclinare este determinat de prima formulă. Puteți găsi unghiul folosind tabelul tangentelor. Dacă calculul se bazează pe unghiul acoperișului, atunci puteți găsi parametrul înălțimii coamei folosind a treia formulă. Lungimea căpriorilor, având valoarea unghiului de înclinare și parametrii picioarelor, poate fi calculată folosind a patra formulă.

Primele sunt segmente care sunt adiacente unghiului drept, iar ipotenuza este cea mai lungă parte a figurii și este opusă unghiului de 90 de grade. Triunghiul lui Pitagora se numește cel ale cărui laturi sunt egale cu numerele naturale; lungimile lor în acest caz se numesc „triploul pitagoreic”.

triunghi egiptean

Pentru ca generația actuală să învețe geometria în forma în care se predă acum la școală, aceasta a fost dezvoltată de câteva secole. Punctul fundamental este teorema lui Pitagora. Laturile unui dreptunghi sunt cunoscute lumii întregi) sunt 3, 4, 5.

Puțini oameni nu sunt familiarizați cu expresia „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Cu toate acestea, de fapt, teorema sună astfel: c 2 (pătratul ipotenuzei) \u003d a 2 + b 2 (suma pătratelor catetelor).

Dintre matematicieni, un triunghi cu laturile 3, 4, 5 (cm, m etc.) se numește „egiptean”. Este interesant că ceea ce este înscris în figură este egal cu unu. Numele a apărut în jurul secolului al V-lea î.Hr., când filozofii greci au călătorit în Egipt.

La construirea piramidelor, arhitecții și topografii au folosit raportul 3:4:5. Astfel de structuri s-au dovedit a fi proporționale, plăcute la vedere și spațioase și, de asemenea, s-au prăbușit rar.

Pentru a construi un unghi drept, constructorii au folosit o frânghie de care se legau 12 noduri. În acest caz, probabilitatea de a construi exact triunghi dreptunghic a crescut la 95%.

Semne de egalitate a cifrelor

• Un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic și o latură mare, care sunt egale cu aceleași elemente din al doilea triunghi, este un semn incontestabil al egalității figurilor. Ținând cont de suma unghiurilor, este ușor de demonstrat că și al doilea unghi ascuțit este egal. Astfel, triunghiurile sunt identice la al doilea criteriu.
• Când două figuri sunt suprapuse una peste alta, le rotim în așa fel încât, atunci când sunt combinate, ele devin un triunghi isoscel. După proprietatea sa, laturile, sau mai bine zis, ipotenuzele, sunt egale, precum și unghiurile de la bază, ceea ce înseamnă că aceste cifre sunt aceleași.

Prin primul semn, este foarte ușor să demonstrezi că triunghiurile sunt cu adevărat egale, principalul lucru este că cele două laturi mai mici (adică picioarele) sunt egale între ele.

Triunghiurile vor fi aceleași conform semnului II, a cărui esență este egalitatea piciorului și unghiul ascuțit.

Proprietățile triunghiului dreptunghic

Înălțime coborâtă de la unghi drept, împarte figura în două părți egale.

Laturile unui triunghi dreptunghic și mediana acestuia sunt ușor de recunoscut după regulă: mediana, care este coborâtă la ipotenuză, este egală cu jumătate din aceasta. poate fi găsită atât prin formula lui Heron cât și prin afirmația că este egală cu jumătate din produsul picioarelor.

Într-un triunghi dreptunghic se aplică proprietățile unghiurilor de 30 o, 45 o și 60 o.

• La un unghi de 30 °, trebuie amintit că piciorul opus va fi egal cu 1/2 din latura cea mai mare.
• Dacă unghiul este de 45o, atunci și al doilea unghi ascuțit este de 45o. Acest lucru sugerează că triunghiul este isoscel, iar picioarele sale sunt aceleași.
• Proprietatea unui unghi de 60 de grade este că al treilea unghi are o măsură de 30 de grade.

Zona este ușor de găsit cu una dintre cele trei formule:

1. prin înălțimea și latura pe care coboară;
2. după formula lui Heron;
3. de-a lungul laturilor și unghiul dintre ele.

Laturile unui triunghi dreptunghic, sau mai degrabă catetele, converg cu două înălțimi. Pentru a găsi al treilea, este necesar să se ia în considerare triunghiul rezultat și apoi, folosind teorema lui Pitagora, să se calculeze lungimea necesară. Pe lângă această formulă, există și raportul dintre dublul ariei și lungimea ipotenuzei. Cea mai comună expresie în rândul studenților este prima, deoarece necesită mai puține calcule.

Teoreme care se aplică unui triunghi dreptunghic

Geometria unui triunghi dreptunghic include utilizarea unor teoreme precum:

ANDREY PROKIP: „DRAGOSTEA MEA ESTE ECOLOGIA RUSĂ. TREBUIE SĂ INVESTIȚI ÎN EA!”
În perioada 4-5 septembrie a avut loc forumul ecologic „Forma climatică a orașelor”. Inițiatorul organizării evenimentului este organizația C40, care a fost fondată în 2005 de către ONU. Sarcina principală a formularului și orașelor este de a controla schimbările climatice în orașe.
După cum a arătat practica, spre deosebire de evenimentele sociale și „întâlnirile în cluburi de noapte”, erau puțini deputați și personalități publice. Printre cei care și-au dezvăluit cu adevărat îngrijorarea cu privire la situația mediului s-a numărat și Prokip Adrey Zinovevici. El a luat Participarea activăîn toate ședințele plenare, împreună cu Reprezentantul Special al Președintelui Federația Rusă pe probleme climatice Ruslan Edelgeriev, viceprimarul Moscovei pentru locuințe și servicii comunale Petr Biryukov, precum și reprezentanți străini - primarul orașului italian Savona - Ilario Caprioglio. Participanții și-au prezentat proiectele și, de asemenea, au discutat despre strategii pentru a menține creșterea temperaturii globale și au propus, de asemenea solutii practice dezvoltare urbană durabilă.
ANDREY PROKIP DESPRE SHASHLIKS, DEPUT ȘI GREEN CONSTRUCTION
Un interes deosebit pentru partea rusă a fost discursul vorbitorilor, printre care s-au numărat arhitecți europeni, oameni de știință și primarul Savonei. Tema discursului a fost direcția TOP - „construcție verde”. După cum a afirmat însuși Andrei Prokip, „este important să redistribuim corect resursele, precum și să ținem cont de standardele de construcție europeană pentru o astfel de metropolă precum Moscova. Este necesar ca Rusia la nivel federal să urmeze un curs către „finanțare verde”, mai ales că este fezabil din punct de vedere economic și, după cum arată practica, profitabil”. De asemenea, el și-a exprimat îngrijorarea cu privire la deteriorarea sănătății rușilor în legătură cu dezastrele ecologice și nerespectarea standardelor de mediu pentru eliminarea deșeurilor de către întreprinderile industriale mari și mici. De asemenea, el și-a confirmat temerile datorită discursului lui Francesco Zambon, profesor al Biroului European pentru Investiții în Sănătate al OMS.
Cu umor caracteristic, Andrey a apelat la oameni celebri care au fost invitați pe forum, dar nu s-au prezentat niciodată, cu un apel „să-și amintească de natură, nu doar când vor grătar sau merg la pescuit. La urma urmei, de bunăvoința naturii depinde sănătatea întregului popor, care, din păcate, îi include pe ei.
Pe lângă discursurile pasionale despre noua „natura-stăpână” a lui Andrei Zinovevici și importanța asumării responsabilității pentru mediu inconjurator un eveniment semnificativ al forumului a fost sesiunea plenară pe tema „Cum să educ o nouă generație”. Participanții la forum au fost unanimi în opinia lor că este necesar să se educe nu numai copiii, ci și generația adultă. Este foarte important să aducem responsabilitatea față de natură în comportamentul de zi cu zi, precum și în afaceri.
Pentru Moscova va fi lansat un proiect special „Învățați să trăiți într-un mod civilizat”. Acesta este un proiect educațional pentru toate segmentele de populație și categoriile de vârstă. Dar oricât de minunate ar fi teoria și bunele intenții, zicala „până când cocoșul prăjit ciugulește, prostul nu își va face cruce” este încă relevantă pentru Rusia.
Potrivit lui Timothy Netter, un regizor celebru de teatru, arta poate schimba totul. Într-unul dintre discursurile sale, a vorbit despre modul în care ideea de conservare a naturii ar trebui să fie prezentată în teatru și cinema și cât de important este să educăm oamenii prin artă pentru a fi responsabili pentru ceea ce se va întâmpla cu noi și cu natura mâine.
Atenția operatorilor de rentv și Andrey Prokirp a fost atrasă de studenții universităților ruse, care au prezentat un proiect de tehnologie ecologică pentru producerea de containere rezistente la umiditate și temperatură. Aceasta este foarte problema reala, din moment ce în întreaga lume se adoptă legi împotriva recipientelor din plastic, care, de altfel, se descompun de mai bine de 30 de ani, poluează solul și provoacă moartea animalelor.
Este inspirant faptul că Moscova este unul dintre cele 94 de orașe care participă la organizația C40 și pentru a treia oară a avut loc forumul, care atrage în fiecare an atenția din ce în ce mai multe personalități și cetățeni celebri.

În geometrie, există adesea probleme legate de laturile triunghiurilor. De exemplu, este adesea necesar să găsiți latura unui triunghi dacă celelalte două sunt cunoscute.

Triunghiurile sunt isoscele, echilaterale și echilaterale. Din toată varietatea, pentru primul exemplu, vom alege unul dreptunghiular (într-un astfel de triunghi, unul dintre unghiuri este de 90 °, laturile adiacente se numesc catete, iar al treilea este ipotenuza).

Navigare rapidă în articole

Lungimea laturilor unui triunghi dreptunghic

Rezolvarea problemei decurge din teorema marelui matematician Pitagora. Se spune că suma pătratelor catetelor unui triunghi dreptunghic este egală cu pătratul ipotenuzei sale: a²+b²=c²

• Aflați pătratul lungimii piciorului a;
• Aflați pătratul catetei b;
• Le punem împreună;
• Din rezultatul obținut extragem rădăcina gradului doi.

Exemplu: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Adică lungimea ipotenuzei acestui triunghi este 5.

Dacă triunghiul nu are unghi drept, atunci lungimile celor două laturi nu sunt suficiente. Acest lucru necesită un al treilea parametru: poate fi un unghi, înălțime, aria unui triunghi, raza unui cerc înscris în el etc.

Dacă perimetrul este cunoscut

În acest caz, sarcina este și mai ușoară. Perimetrul (P) este suma tuturor laturilor triunghiului: P=a+b+c. Astfel, rezolvând o ecuație matematică simplă, obținem rezultatul.

Exemplu: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rezolvăm ecuația, transferând toți parametrii cunoscuți pe o parte a semnului egal:

2) Înlocuiți valorile în locul lor și calculați a treia latură:

c=18-7-6=5, total: a treia latură a triunghiului este 5.

Dacă unghiul este cunoscut

Pentru a calcula a treia latură a unui triunghi având în vedere unghiul și celelalte două laturi, soluția este să calculăm ecuație trigonometrică. Cunoscând relația dintre laturile triunghiului și sinusul unghiului, este ușor de calculat a treia latură. Pentru a face acest lucru, trebuie să pătrați ambele părți și să adăugați rezultatele lor împreună. Apoi scădeți din produsul rezultat al laturilor, înmulțit cu cosinusul unghiului: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Dacă zona este cunoscută

În acest caz, o singură formulă nu este suficientă.

1) În primul rând, calculăm sin γ exprimându-l din formula pentru aria unui triunghi:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Folosind următoarea formulă, calculăm cosinusul aceluiași unghi:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Și din nou folosim teorema sinusului:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Înlocuind valorile variabilelor în această ecuație, obținem răspunsul la problemă.

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile lui are 90º. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două sunt catetele.

Pentru a găsi unghiul într-un triunghi dreptunghic se folosesc câteva proprietăți ale triunghiurilor dreptunghice și anume că suma colțuri ascuțite este egal cu 90º, precum și faptul că opus catetei, a cărui lungime este jumătate din ipotenuză, se află un unghi egal cu 30º.

Navigare rapidă în articole

Triunghi isoscel

Una dintre proprietăți triunghi isoscel două dintre unghiurile sale sunt egale. Pentru a calcula valorile unghiurilor unui triunghi isoscel dreptunghic, trebuie să știți că:

• Un unghi drept este de 90º.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180º-90º)/2=45º, adică. unghiurile α și β sunt de 45º.

Dacă valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite este cunoscută, al doilea poate fi găsit prin formula: β=180º-90º-α, sau α=180º-90º-β. Cel mai adesea, acest raport este utilizat dacă unul dintre unghiuri este de 60º sau 30º.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180º. Deoarece un unghi este drept, celelalte două vor fi ascuțite. Pentru a le găsi, trebuie să știți că:

alte metode

Valorile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate cunoscând valoarea medianei - linia trasă de la vârf la partea opusă triunghi și înălțime - o linie dreaptă, care este o perpendiculară căzută dintr-un unghi drept la ipotenuză. Fie s mediana trasată de la unghiul drept până la mijlocul ipotenuzei, h este înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα=h/b; sinβ=h/a.

Două părți

Dacă lungimea ipotenuzei și a unuia dintre catete sau două laturi sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a găsi valorile unghiurilor ascuțite:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).