Sarcina 13 ecuații exponențiale de profil. Care sunt greșelile comune pe care le fac examinatorii?

Acasă

Cum se rezolvă problema USE nr. 13 pentru ecuații exponențiale și logaritmice | 1C: Tutor

Ce trebuie să știți despre ecuațiile exponențiale și logaritmice pentru rezolvarea problemelor USE în matematică?

A fi capabil să rezolve ecuații exponențiale și logaritmice este foarte important pentru promovarea cu succes a examenului de stat unificat la matematică la nivel de profil. Important din două motive:

in primul rand, sarcina nr. 13 a variantei KIM USE, deși rar, dar totuși uneori este doar o astfel de ecuație pe care trebuie nu doar să o rezolvați, ci și (similar cu sarcina de trigonometrie) să alegeți rădăcinile ecuației care satisfac orice condiție.

Deci, una dintre opțiunile pentru 2017 a inclus următoarea sarcină:

a) Rezolvați ecuația 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Răspuns: a) 2; log 2 7 și b) log 2 7.

Într-o altă versiune, a existat o astfel de sarcină:

a) Rezolvați ecuația 6log 8 2 X– 5 log 8 X + 1 = 0

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Răspuns: a) 2 și 2√ 2 ; b) 2.

Mai era si asta:

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0.

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului [π; 5π/2].

Răspuns: dar) (π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z)şi b) 11π/6; 13π/6.

În al doilea rând, studiul metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice este bun, deoarece metodele de bază pentru rezolvarea atât a ecuațiilor, cât și a inegalităților folosesc de fapt aceleași idei matematice.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice sunt ușor de reținut, sunt doar cinci dintre ele: reducerea la cea mai simplă ecuație, utilizarea tranzițiilor echivalente, introducerea de noi necunoscute, logaritmul și factorizarea. Separat, există o metodă de utilizare a proprietăților funcțiilor exponențiale, logaritmice și a altor funcții în rezolvarea problemelor: uneori cheia pentru rezolvarea unei ecuații este domeniul definiției, domeniul de valori, non-negativitatea, mărginirea, uniformitatea funcțiilor incluse. în ea.

De regulă, în problema nr. 13 există ecuații care necesită utilizarea celor cinci metode principale enumerate mai sus. Fiecare dintre aceste metode are propriile sale caracteristici pe care trebuie să le cunoașteți, deoarece ignoranța lor este cea care duce la erori în rezolvarea problemelor.

Care sunt greșelile comune pe care le fac examinatorii?

Adesea, atunci când rezolvă ecuații care conțin o funcție de putere exponențială, elevii uită să ia în considerare unul dintre cazurile în care egalitatea este satisfăcută. După cum se știe, ecuațiile de acest tip sunt echivalente cu o combinație a două sisteme de condiții (vezi mai jos), vorbim despre cazul când A( X) = 1

Această eroare se datorează faptului că la rezolvarea ecuației, examinatorul folosește în mod formal definiția funcției exponențiale (y= topor, a>0, a ≠ 1): at dar ≤ 0 funcția exponențială nu este cu adevărat definită,

Dar la dar = 1 este definită, dar nu este exponențială, deoarece unitatea în orice putere reală este identic egală cu ea însăși. Aceasta înseamnă că dacă în ecuația considerată la dar(X) = 1 există o egalitate numerică adevărată, atunci valorile corespunzătoare ale variabilei vor fi rădăcinile ecuației.

O altă greșeală este aplicarea proprietăților logaritmilor fără a lua în considerare intervalul de valori acceptabile. De exemplu, binecunoscuta proprietate „logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor” se dovedește a avea o generalizare:
log a( f(X)g(X)) = log a │ f(X)│ + log a │g( X)│, la f(X)g(X) > 0, A > 0, A ≠ 1

Într-adevăr, pentru ca expresia din partea stângă a acestei egalități să fie definită, este suficient ca produsul funcțiilor f Și g a fost pozitiv, dar funcțiile în sine pot fi atât mai mari, cât și mai mici decât zero în același timp, prin urmare, atunci când se aplică proprietatea dată trebuie să utilizați conceptul de modul.

Și există multe astfel de exemple. Prin urmare, pentru dezvoltarea eficientă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice, cel mai bine este să folosiți serviciile care vor putea vorbi despre astfel de „capcane” folosind exemple de rezolvare a problemelor de examinare corespunzătoare.

Exersați în mod regulat rezolvarea problemelor

Pentru a începe să studiezi pe portalul 1C: Tutor, este suficient.
Puteți:

Toate cursurile constau într-o secvență corectă metodic de teorie și practică necesară pentru rezolvarea cu succes a problemelor. Acestea includ teoria sub formă de texte, diapozitive și videoclipuri, sarcini cu soluții, simulatoare interactive, modele și teste.

Aveti vreo intrebare? Sună-ne la 8 800 551-50-78 sau scrie-ne la conversație online.

Iată frazele cheie pentru ca roboții de căutare să poată găsi mai bine sfaturile noastre:
Cum se rezolvă sarcina 13 in USE examen, sarcini pentru logaritmi, kim USE 2017, pregatire pentru profilul USE de matematica, Profil matematica, rezolvare de ecuatii si logaritmi, rezolvare de probleme pentru exponential UTILIZAȚI ecuații, calculul proprietăților logaritmilor, funcției exponențiale-putere, probleme de matematică a unui nivel de profil, aplicarea proprietăților logaritmilor, rezolvarea problemelor pentru rădăcini, probleme ale Examenului de stat unificat 2017 folosind ecuații exponențiale, pregătirea pentru absolventi de examen Clasa a XI-a în 2018, intrarea într-o universitate tehnică.

În sarcina 13 a nivelului de profil al USE în matematică, este necesară rezolvarea ecuației, dar de un nivel crescut de complexitate, deoarece sarcinile încep cu sarcina 13. fostul nivel C, iar această sarcină poate fi numită C1. Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de sarcini tipice.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile Nr. 13 UTILIZARE în matematică la nivel de profil

Prima versiune a sarcinii (versiunea demo 2018)

a) Rezolvați ecuația cos2x = 1-cos(p/2-x)

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului [-5p/2;-p].

Algoritm de rezolvare:

1. t
2. Facem o substituție inversă și rezolvăm cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Construim o linie numerică.
2. Îi punem rădăcini.
3. Marcați capetele segmentului.
4. Selectăm acele valori care se află în intervalul.
5. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Transformați partea dreaptă a egalității folosind formula de reducere cos( π/ 2−X)=sin X. Avem:

cos2x = 1 - sin X.

Să transformăm partea stângă a ecuației folosind formula cosinus cu argument dublu, folosind sinusul:

cos(2x)=1−2sin 2 x

Obținem următoarea ecuație: 1−sin 2 X=1−sin X

Acum există doar unul în ecuație functie trigonometrica păcat X.

2. Introducem un înlocuitor: t= păcat X. Rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 sau -2t + 1 = 0,

t 1 \u003d 0 t 2 \u003d 1/2.

3. Efectuarea unei înlocuiri inverse:

păcat X= 0 sau sin X = ½

Rezolvam aceste ecuatii:

păcat X =0↔X=πn, nЄZ

păcat( X)=1/2↔X= (-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ.

Prin urmare, obținem două familii de soluții.

1. În paragraful precedent s-au obţinut două familii, fiecare având infinit de soluţii. Este necesar să aflăm care dintre ele se află într-un interval dat. Pentru a face acest lucru, construim o linie numerică.

2. Punem pe el rădăcinile ambelor familii, notându-le cu verde (primul) și albastru (al doilea).

3. Marcați capetele golului cu roșu.

4. În intervalul indicat există trei rădăcini care sunt trei rădăcini: −2 π ;−11π/ 6 și -7 π/ 6.

dar) πn, nЄZ;(-1)n ∙( π/6)+πn, nЄZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

A doua versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 1)

Algoritm de rezolvare:

1. Inlocuim aceasta functie cu o variabila tși rezolvați ecuația pătratică rezultată.
2. Facem o substituție inversă și rezolvăm cele mai simple ecuații exponențiale, apoi trigonometrice.

1. Construim plan de coordonateși un cerc cu raza unitară pe el.
2. Marcam punctele care sunt capetele segmentului.
3. Selectăm acele valori care se află în interiorul segmentului.
4. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Introducem inlocuirea t = 4 cos x. atunci ecuația va lua forma:

Rezolvăm ecuația pătratică folosind formulele discriminantului și rădăcinilor:

D \u003d b 2 - c \u003d 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 \u003d 49,

t 1 \u003d (9 - 7) / 8 \u003d ¼, t 2 \u003d (9 + 7) / 8 \u003d 2.

3. Revenim la variabila x:

1. Construim pe el un plan de coordonate și un cerc cu raza unitară.

2. Marcam punctele care sunt capetele segmentului.

3. Selectați acele valori care se află în interiorul segmentului..

Acestea sunt rădăcini. Sunt doi dintre ei.

dar)

b)

A treia versiune a sarcinii (de la Yaschenko, nr. 6)

Algoritm de rezolvare:

1. Cu ajutor formule trigonometrice reducem ecuația la o formă care conține o singură funcție trigonometrică.
2. Inlocuim aceasta functie cu o variabila tși rezolvați ecuația pătratică rezultată.
3. Facem o substituție inversă și rezolvăm cele mai simple ecuații exponențiale și apoi trigonometrice.

1. Rezolvăm inegalitățile pentru fiecare caz.
2. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Prin formule de reducere .

2. Atunci această ecuație va lua forma:

3. Introducem un înlocuitor . Primim:

Rezolvăm ecuația pătratică obișnuită folosind formulele discriminantului și rădăcinilor: