Acasă » Iudovskaia » avion în spațiu. Aranjamentul reciproc al avioanelor. Avion în spațiu - informații necesare Există două cazuri de localizare a două avioane

avion în spațiu. Aranjamentul reciproc al avioanelor. Avion în spațiu - informații necesare Există două cazuri de localizare a două avioane

POZIȚIA MUTUALĂ A DOUĂ AVIUNE.

Numele parametrului	Sens
Subiect articol:	POZIȚIA MUTUALĂ A DOUĂ AVIUNE.
Rubrica (categoria tematica)	Geologie

Două planuri din spațiu pot fi fie paralele între ele, fie se pot intersecta.

Planuri paralele. În proiecţiile cu semne numerice, paralelismul planurilor pe plan este paralelismul liniilor orizontale ale acestora, egalitatea fundaţiilor şi coincidenţa direcţiilor de incidenţă a planurilor: pl. S || mp L- h S || h L l S= l L, pad. I. (Fig. 3.11).

În geologie, un corp plat omogen compus din orice rocă se numește strat. Stratul este delimitat de două suprafețe, a cărora superioară se numește acoperiș, iar cea inferioară se numește talpă. Dacă stratul este considerat pe o întindere relativ mică, atunci acoperișul și talpa sunt echivalate cu planuri, obținându-se în spațiu un model geometric de două plane înclinate paralele.

Planul S este acoperișul, iar planul L este partea de jos a stratului (Fig. 3.12, dar). În geologie, se numește distanța cea mai scurtă dintre partea de sus și de jos adevărata putere (în Fig. 3.12, dar puterea adevărată este indicată de litera H). Pe lângă grosimea adevărată, în geologie mai sunt utilizați și alți parametri ai stratului de rocă: grosime verticală - H în, grosime orizontală - L, grosime aparentă - vedere H. putere verticală în geologie, ei numesc distanța de la acoperiș până la fundul stratului, măsurată vertical. Putere orizontală stratul este cea mai scurtă distanță dintre acoperiș și talpă, măsurată pe direcția orizontală. Putere aparentă - cea mai scurtă distanță dintre căderea vizibilă a acoperișului și talpă (căderea vizibilă se numește direcția rectilinie pe planul structural, adică linia dreaptă aparținând planului). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, puterea aparentă este întotdeauna mai mare decât puterea adevărată. Trebuie remarcat faptul că în straturile orizontale, grosimea reală, grosimea verticală și grosimea aparentă sunt aceleași.

Luați în considerare metoda de construire a planurilor paralele S și L, distanțate unul de celălalt la o distanță dată (Fig. 3.12, b).

Pe plan, linii care se intersectează mȘi n este dat planul S. Este necesar să se construiască un plan L paralel cu planul S și distanțat de acesta la o distanță de 12 m (adică grosimea reală este H = 12 m). Planul L este situat sub planul S (planul S este vârful stratului, planul L este baza).

1) Planul S este stabilit pe plan prin proiecțiile curbelor de nivel.

2) La scara fundațiilor se construiește o linie de incidență a planului S - u S. Perpendicular pe linie u S trasează o distanță dată de 12 m (grosimea adevărată a stratului H). Sub linia de incidență a planului S și paralel cu acesta, se trasează o linie de incidență a planului L - u L. Se determină distanța dintre liniile de incidență ale ambelor plane pe direcția orizontală, adică grosimea orizontală a stratului L.

3) Punerea în plan a puterii orizontale de la orizontală h S, o linie orizontală a planului L este trasată paralelă cu acesta cu același semn numeric h L. Rețineți că dacă planul L este situat sub planul S, atunci puterea orizontală ar trebui să fie depusă în direcția de creștere a planului S.

4) Pe baza condiției paralelismului a două plane, pe plan se trasează linii orizontale ale planului L.

Planuri care se intersectează. Un semn al intersecției a două plane este de obicei paralelismul pe planul proiecțiilor liniilor de contur ale acestora. Linia de intersecție a două plane în acest caz este determinată de punctele de intersecție a două perechi de linii de contur similare (având aceleași semne numerice) (Fig. 3.13): ; . Conectarea punctelor N și M obținute cu o dreaptă m, determinați proiecția liniei de intersecție necesare. Dacă planul S (A, B, C) și L(mn) nu sunt date orizontal pe plan, atunci pentru a construi linia lor de intersecție t este extrem de important să construiți două perechi de linii de contur cu aceleași semne numerice, care la intersecție vor determina proiecțiile punctelor R și F ale dreptei dorite. t(fig.3.14). Figura 3.15 arată cazul când două se intersectează

planele S și L, orizontalele sunt paralele. Linia de intersecție a unor astfel de planuri va fi o linie orizontală h. Merită spus că pentru a găsi punctul A aparținând acestei drepte, se trasează un plan auxiliar arbitrar T, care intersectează planurile S și L. Planul T intersectează planul S de-a lungul dreptei. dar(C 1 D 2), iar planul L - în linie dreaptă b(K 1 L 2).

Punctul de intersecție al liniilor darȘi b, aparţinând respectiv planurilor S şi L, vor fi comune pentru aceste planuri: =A. Cota punctului A poate fi determinată prin interpolarea liniilor AȘi b. Rămâne să trasăm o linie orizontală prin A h 2.9, care este linia de intersecție a planurilor S și L.

Luați în considerare un alt exemplu (Fig. 3.16) de construcție a unei linii de intersecție plan înclinat S cu un plan vertical T. Linia dorită m este determinată de punctele A și B, unde orizontale h 3 și h 4 planuri S intersectează planul vertical T. Din desen se poate observa că proiecția dreptei de intersecție coincide cu proiecția planului vertical: mº T. În rezolvarea problemelor de explorare geologică, o secțiune a unuia sau a unui grup de planuri (suprafețe) printr-un plan vertical este de obicei numită secțiune. Proiecția verticală suplimentară a dreptei construită în exemplul luat în considerare m se numeşte profilul unei tăieturi realizate de planul T într-o direcţie dată.

POZIȚIA MUTUALĂ A DOUĂ AVIUNE. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „AMENAJARE RECIPROCĂ A DOUĂ AVIUNE”. 2017, 2018.

Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu

La poziție relativă două planuri în spațiu, unul dintre cele două cazuri care se exclud reciproc este posibil.

1. Două planuri au un punct comun. Apoi, după axioma intersecției a două plane, ele au o dreaptă comună. Axioma R5 spune: dacă două plane au un punct comun, atunci intersecția acestor plane este linia lor comună. Din această axiomă rezultă că pentru planuri Asemenea planuri se numesc intersectare.

Cele două avioane nu au un punct comun.

3. Două planuri coincid

3. Vectori în plan și în spațiu

Un vector este un segment de linie direcționată. Lungimea sa este considerată lungimea segmentului. Dacă sunt date două puncte M1 (x1, y1, z1) și M2 (x2, y2, z2), atunci vectorul

Dacă sunt dați doi vectori și atunci

1. Lungimile vectorilor

2. Suma vectorilor:

3. Suma a doi vectori a și b este diagonala unui paralelogram construit pe acești vectori, provenind dintr-un punct comun al aplicării lor (regula paralelogramului); sau un vector care leagă începutul primului vector cu sfârșitul ultimului - conform regulii triunghiului. Suma a trei vectori a, b, c este diagonala paralelipipedului construit pe acești vectori (regula paralelipipedului).

Considera:

1. Originea coordonatelor este în punctul A;
2. Latura cubului este un singur segment.
3. Îndreptăm axa OX de-a lungul muchiei AB, OY de-a lungul muchiei AD și axa OZ de-a lungul muchiei AA1.

Pentru planul inferior al cubului

Nu mai puțin de 1, deci cel puțin 1 element este diferit de zero. Fie că 1 și 2 se intersectează au o linie comună pe care o au sistem comun nu sunt paralele și, prin urmare, sunt compatibile, ceea ce înseamnă . Fie 1 și 2 paralele: , . Dacă sistemul de coordonate este cartezian, atunci sunt vectori normali. Cosinusul unghiului dintre doi vectori:

Condiție necesară și suficientă pentru ca două plane să fie perpendiculare:

20. Diverse moduri de a stabili o linie dreaptă în spațiu. Linie dreaptă și plan. 2 linii în spațiu. Unghiul dintre două linii. Cometariu. O linie dreaptă în spațiu nu poate fi definită printr-o singură ecuație. Acest lucru necesită un sistem de două sau mai multe ecuații. Prima posibilitate de a compune ecuațiile unei drepte în spațiu este de a reprezenta această dreaptă ca intersecția a două plane neparalele date de ecuații A1x+B1y+C1z+D1 = 0 și A2x+B2y+C2z+D2=0, unde coeficienții A1,B1,C1Și A2,B2,C2 peste măsură: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2= 0. Cu toate acestea, atunci când rezolvați multe probleme, este mai convenabil să folosiți alte ecuații ale unei drepte care conțin în mod explicit unele dintre caracteristicile sale geometrice. Să compunem ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct M 0 (x 0, y 0, z 0) paralel cu vectorul A =(l,m,n).Definiție. Orice vector diferit de zero paralel cu o linie dată se numește ei vector ghid.Pentru orice punct M(x,y,z) situat pe linia dată, vectorul M 0 M = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0) este coliniar cu vectorul de direcție dar . Prin urmare, sunt valabile următoarele egalități:

numit ecuații canonice linie dreaptă în spațiu. În special, dacă este necesar să se obțină ecuațiile unei linii drepte care trece prin două puncte: M1 (x 1, y 1, z 1) Și M2 (x2, y2, z2), vectorul de direcție al unei astfel de drepte poate fi considerat vector M 1 M 2 = {x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), iar ecuațiile (8.11) iau forma:

- ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Dacă luăm fiecare dintre fracțiile egale din ecuații ca un parametru t, puteți obține așa-numitul ecuații parametrice ale dreptei:

. Pentru a trece de la ecuaţii la canonice sau ecuații parametrice linie dreaptă, trebuie să găsiți vectorul de direcție al acestei linii drepte și coordonatele oricărui punct care îi aparține. Vectorul de direcție al dreptei este ortogonal față de normalele ambelor plane, prin urmare, este coliniar față de acestea produs vectorial. Prin urmare, ca vector de direcție, puteți alege [ n 1 n 2 ] sau orice vector cu coordonate proporționale. Pentru a găsi un punct situat pe o dreaptă dată, puteți seta una dintre coordonatele sale în mod arbitrar și puteți găsi celelalte două din ecuații, alegându-le astfel încât determinantul din coeficienții lor să nu fie egal cu zero.

Unghiul dintre linii. Unghiul dintre o linie și un plan. Unghiul dintre liniile din spațiu este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție. Prin urmare, dacă două drepte sunt date de ecuații canonice de forma

Și
cosinusul unghiului dintre ele poate fi găsit prin formula:

. Condițiile pentru paralelismul și perpendicularitatea dreptelor se reduc, de asemenea, la condițiile corespunzătoare pentru vectorii lor de direcție:

- starea liniilor paralele,

- condiția de perpendicularitate. Unghiul φ dintre dreapta dată de ecuațiile canonice

iar avionul definit ecuație generală Ax + By + Cz + D= 0 poate fi considerat complementar cu unghiul ψ dintre vectorul de direcție al dreptei și normala la plan. Apoi

Condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan este condiția de perpendicularitate a vectorilor n Și dar : Al + Bm + Cn= 0 și condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan– condiția paralelismului acestor vectori: A/l = B/m = C/n.

21. ecuația canonică a unei elipse. Proprietăți. se numește o linie, care într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene este determinată de ecuația canonică x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, cu condiția a≥b>0. Din ecuație rezultă că pentru toate punctele elipsei │x│≤ a și │у│≤ b. Deci elipsa se află într-un dreptunghi cu laturile 2a și 2b. Punctele de intersecție ale elipsei cu axele sistemului de coordonate canonic, având coordonatele (a, 0), (-a, 0), (0, b) și (0, -b), se numesc vârfuri ale elipsei. . Numerele a și b sunt numite semiaxele majore și, respectiv, minore. C1. Axele sistemului de coordonate canonice sunt axele de simetrie ale elipsei, iar începutul sistemului canonic este centrul său de simetrie. Aspectul elipsei este cel mai ușor descris prin comparație cu un cerc de rază a centrat în centru. a elipsei: x 2 + y 2 \u003d a 2. Pentru fiecare x astfel încât I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Ecuația canonică a unei hiperbole. Proprietăți. Am numit o hiperbolă dreptă, care într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene este determinată de ecuația canonică x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Această ecuație arată că pentru toate punctele hiperbolei │x│≥a, adică toate punctele hiperbolei se află în afara unei benzi verticale cu lățimea 2a. Axa de abscisă a sistemului de coordonate canonic intersectează hiperbola în puncte cu coordonatele (a, 0) și (-a, 0), numite vârfurile hiperbolei. Axa y nu intersectează hiperbola. Astfel, o hiperbolă este formată din două părți neînrudite. Ele sunt numite ramurile sale. Numerele a și b se numesc respectiv semiaxele reale și imaginare ale hiperbolei.C1. Pentru o hiperbolă, axele sistemului de coordonate canonice sunt axele de simetrie, iar originea sistemului canonic este centrul de simetrie Pentru a studia forma hiperbolei, găsim intersecția acesteia cu o dreaptă arbitrară care trece prin origine. . Luăm ecuația dreptei sub forma y \u003d kx, deoarece știm deja că linia dreaptă x \u003d 0 nu intersectează hiperbola. Abcisele punctelor de intersecție se găsesc din ecuația x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 \u003d 1. Prin urmare, dacă b 2 - a 2 k 2 > 0, atunci x \u003d ± ab / √b 2 - a 2 k 2. Acest lucru vă permite să specificați coordonatele punctelor de intersecție (ab / u, abk / u) și (-ab / u, -abk / u), unde u \u003d (b 2 - a 2 la 2) 1/2 este indicat.

Dreptele cu ecuațiile y = bx/a și y = -bx/a în sistemul de coordonate canonic se numesc asimptote ale hiperbolei. C2. Produsul distanțelor de la punctul hiperbolei la asimptote este constant și egal cu a 2 b 2 /(a 2 + b 2). C3. Dacă un punct se mișcă de-a lungul unei hiperbole în așa fel încât abscisa acestuia să crească nelimitat în valoare absolută, atunci distanța de la punct la una dintre asimptote tinde spre zero. Introducem un număr c prin stabilirea c 2 \u003d a 2 + b 2 și c\u003e 0. Focarele hiperbolei sunt punctele F 1 u F 2 cu coordonatele (c, 0) și (-c, 0) în sistemul de coordonate canonic. Raportul e \u003d c / a, ca și pentru o elipsă, se numește excentricitate. Hiperbola are e > 1. C4. Distanțele de la un punct arbitrar M (x, y) de pe hiperbolă până la fiecare dintre focare depind de abscisa sa x astfel: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M │=│a +ex│. C5. Pentru ca un punct M să se afle pe o hiperbolă, este necesar și suficient ca valoarea absolută a diferenței dintre distanțele sale față de focare să fie egală cu axa reală a hiperbolei 2a. Directricele unei hiperbole sunt drepte definite în sistemul de coordonate canonic prin ecuațiile x=a/ , x=-a/ . C6. Pentru ca un punct să se afle pe o hiperbolă, este necesar și suficient ca raportul dintre distanța sa la focalizare și distanța la directrixa corespunzătoare să fie egal cu excentricitatea. Ecuația tangentei la hiperbola în punctul M 0 (x 0, y 0) aflat pe ea are forma: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. Tangenta la hiperbola în punctul M 0 (x 0, y 0) este bisectoarea unghiului dintre segmentele care leagă acest punct de focare.

23. Ecuația canonică a unei parabole. Proprietăți. am numit dreapta, care în unele sisteme de coordonate dreptunghiulare carteziene este determinată de ecuația canonică y 2 =2px, cu condiția p > 0. Din ecuație rezultă că pentru toate punctele parabolei x≥0. Parabola trece prin originea sistemului de coordonate canonic. Acest punct se numește vârful parabolei. Focalizarea parabolei este punctul F cu coordonate (p/ 2, 0) în sistemul de coordonate canonic. Directoarea unei parabole este o dreaptă cu ecuația x=-p/2 în sistemul de coordonate canonic. C1. Distanța de la punctul M (x, y) aflat pe parabolă până la focar este r=x+p/2. C2. Pentru ca punctul M să se afle pe o parabolă, este necesar și suficient ca acesta să fie la fel de îndepărtat de focar și de directrice, această parabolă. Parabolei i se atribuie o excentricitate e = 1. În virtutea acestei convenții, formula r / d \u003d e este adevărată pentru elipsă și pentru hiperbolă și pentru parabolă. Să derivăm ecuația tangentei la parabolă în punctul M 0 (x 0, y 0) aflat pe ea, are forma yy 0 = p(x + x 0). C3 Tangenta la parabolă în punctul M o este bisectoarea unghiului adiacent unghiului dintre segmentul care leagă M o de focar și raza care iese din acest punct în direcția axei parabolei.

24. Liniile algebrice. Setați drepte algebrice pe plan, ceea ce înseamnă o ecuație algebrică de forma F(x,y)=0 și un sistem de coordonate afine al cercului pe plan, apoi acele și numai acele M(x,y) ale căror coordonate satisfac Se consideră că ecuația se află pe o ecuație dată. În mod similar, ecuațiile sunt stabilite pentru o suprafață din spațiu.Setați ecuații algebrice de forma F (x, y, z) \u003d 0 (z) cu 3 variabile și un sistem de coordonate OXYZ numai acele iar acele puncte F (x, y, z )=0(z) sunt ecuația planului. Mai mult, credem că două ecuații definesc aceeași linie sau suprafață a lui t. și t. t., atunci când una dintre aceste ecuații se obține din cealaltă prin înmulțirea cu un factor numeric lambda 0.

25. Conceptul de suprafață algebrică. Studiul mulțimilor arbitrare de puncte este o sarcină complet imensă.Definiție.O suprafață algebrică este o mulțime de puncte, care într-un sistem de coordonate carteziene poate fi dată printr-o ecuație de forma + ... + = 0, unde toți exponenții sunt numere întregi nenegative.Cea mai mare dintre sume (bineînțeles, aici ne referim la cea mai mare dintre sumele incluse efectiv în ecuație, adică se presupune că după reducerea termenilor similari există cel puțin un termen cu un coeficient diferit de zero care are o astfel de sumă de exponenți.) + + ,…., + + se numește gradul ecuației și de asemenea, ordinea unei suprafeţe algebrice.Această definiţie înseamnă, în special, că o sferă a cărei ecuaţie într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare are forma ( +( +( = ) este o suprafaţă algebrică de ordinul doi. Teoremă. O suprafaţă algebrică a ordinul p în orice sistem de coordonate carteziene poate fi este dat de o ecuație de forma +…+ =0 de ordinul p.

26. Suprafețe cilindrice de ordinul 2. Fie ca planului P să i se dea o dreaptă de ordinul 2 și o grămadă de drepte paralele d astfel încât pentru orice d nu paralel cu P, atunci mulțimea φ a tuturor punctelor spațiului aparținând acelor drepte ale mănunchiului care se intersectează linia γ se numește direcționare, iar liniile care se intersectează cu φ se numesc generatoare. Să derivăm ecuația unei suprafețe cilindrice în raport cu sistemul de coordonate afine. Fie unele K să se afle într-un plan P, a cărei ecuație F(x, y) = 0, în are direcția a(a 1 a 2 a 3) d este paralelă cu a. Punctul M(x,y,z) se află pe o generatoare, iar N(x'y'o) este punctul de intersecție al acestei generatrice cu planul P. Vectorul MN va fi coliniar cu ta, prin urmare MN=ta , x'=x+ a 1 t ; y'=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t deci t= -z/a 3 , atunci x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 . Acum este clar că ecuația F(x,y)=0 este ecuația unui cilindru cu generatoare paralele cu axa Oy și F(y,z)=0 cu generatoare paralele cu axa Ox. Caz special: Fie linia lui Legătura a fi paralelă cu (o,z), prin urmare a 1 = 0 a 2 \u003d 0 a 3 ≠0 F (x, y) \u003d 0, prin urmare, câte linii de ordinul doi, atât de mulți cilindri Suprafețe: 1. Cilindru eliptic x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 2. Cilindru hiperbolic x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Cilindru parabolic y 2 =2πx 4. Pereche de plane care se intersectează x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. Pereche de plane paralele x 2 /a 2 =1

27. Suprafeţe canonice de ordinul doi. O suprafață pe care se află un punct M o, care are proprietatea că, împreună cu fiecare punct M o ≠M, conține o dreaptă (M o M), o astfel de suprafață se numește canonică sau con. M o este vârful conului, iar liniile drepte sunt generatoarele acestuia. O funcție F(x,y,z)=0 se numește omogenă dacă F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), unde φ(t) este o funcție a lui t. Teorema. Dacă F(x,y,z) este o funcție omogenă, atunci suprafața definită de această ecuație este suprafața canonică cu vârful la origine. Doc. Să fie dat un sistem de coordonate afín și o ecuație canonică cu centrul F(x,y,z)=0 din acesta. Considerăm o ecuație cu un vârf în punctul O M(x,y,z)=0, atunci orice punct OM din F va avea forma M 1 (tx,ty,tz) pe suprafața canonică. M o M(x,y,z), deoarece satisface suprafața, atunci F(tx,ty,tz)=0 este o funcție omogenă φ(t) F(x,y,z)=0, deci suprafața este canonică. Curbele de ordinul al 2-lea sunt secțiuni în suprafața finită a planelor x 2 + y 2 -z 2 \u003d 0 / La tăierea suprafețelor canonice în plan, obținem următoarele linii în secțiune: a) un plan care trece printr-un punct sau o pereche de linii îmbinate și o pereche de linii care se intersectează. B) planul nu trece prin vârful conului, prin urmare obținem în secțiune fie o elipsă, fie o hiperbolă, fie o parabolă.

28. Suprafețe de revoluție. Fie dat un cadru cartezian în spațiul tridimensional. Planul П trece prin Oz, γ este dat în planul Ozy iar unghiul xOy=φ γ are forma u=f(z). Luați un punct M din γ față de cadrul Oxyz. γ este cercul circumscris γM peste toate punctele M din γ se numește mapare. Secțiunea suprafeței de rotație a planului care trece prin axa de rotație se numește meridian. Secțiunea suprafeței de revoluție a unui plan perpendicular pe axa de revoluție se numește paralelă. Ecuația suprafeței de revoluție x 2 +y 2 \u003d f 2 (z) este ecuația suprafeței de revoluție. 1) Dacă unghiul φ=0, atunci γ se află în planul xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ se află în planul xOy și ecuația sa este y=g(x), atunci y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ se află în planul yOz și ecuația sa este z=h(y), atunci z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Elipsoide. Suprafața care rezultă din rotirea unei elipse în jurul axelor sale de simetrie. Direcționând vectorul e 3 mai întâi de-a lungul axei minore a elipsei și apoi de-a lungul axei majore, obținem ecuația elipsei în următoarele forme: . Datorita formulei ur-i suprafeţelor corespunzătoare de revoluţie va fi = 1 (a>c). Suprafețele cu astfel de niveluri se numesc elipsoide de revoluție comprimate (a) și retractate (b).

Deplasăm fiecare punct M (x, y, z) de pe elipsoidul de revoluție comprimat în planul y=0, astfel încât distanța de la punct la acest plan să scadă într-un raport constant λ pentru toate punctele.<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , unde b=λa. O suprafață care are această ecuație într-un sistem de coordonate carteziene se numește elipsoid (c). Dacă întâmplător se dovedește că b \u003d c, vom obține din nou un elipsoid de revoluție, dar deja întins. Un elipsoid, ca și elipsoidul de revoluție din care este derivat, este o suprafață delimitată închisă. Din ecuație se poate observa că originea sistemului de coordonate canonice este centrul de simetrie al elipsoidului, iar planurile de coordonate sunt planurile sale de simetrie. Din sfera x 2 +y 2 +z 2 =a 2 se poate obține un elipsoid prin contracții la planele y=0 și z=0 în rapoartele λ=b/a și μ=c/a.

30. Hiperboloizi.Hiperboloid cu o singură foaie de revoluție este suprafața de revoluție a hiperbolei în jurul unei axe care nu o intersectează. Conform formulei obţinem ecuaţia acestei suprafeţe (Fig. 48). Ca rezultat al contracției unui hiperboloid cu o singură foaie de revoluție în planul y=0, obținem un hiperboloid cu o singură foaie cu ecuația . O proprietate interesantă a unui hiperboloid cu o singură foaie este prezența generatoarelor rectilinii în acesta. Așa-numitele linii drepte, toate punctele aflate pe suprafață. Prin fiecare punct al câmpului unic al hiperboloidului există doi generatori rectilinii, ale căror ecuații pot fi obținute după cum urmează. Ecuația (8) poate fi rescrisă ca . Se consideră o dreaptă cu ecuații μ =λ , λ =μ (9), unde λ și μ sunt niște numere (λ 2 +μ 2 ≠0). Coordonatele fiecărui punct al dreptei satisfac ambele godeuri ur și, prin urmare, și ur-th (8), care se obține prin înmulțire termen cu termen. Prin urmare, oricare ar fi λ și μ, linia cu ecuațiile (9) se află pe un hiperboloid cu o singură foaie. Astfel, sistemul (9) definește o familie de generatoare rectilinii. Dacă, împreună cu hiperbola, îi rotim asimptotele, atunci ele descriu un con circular drept, numit con asimptotic al hiperboloidului de revoluție. Când un hiperboloid de revoluție este comprimat, conul său asimptotic se contractă în conul asimptotic al unui hiperboloid general cu o singură folie.

Hiperboloid cu două foi. Un hiperboloid de revoluție cu două foi este o suprafață obținută prin rotirea unei hiperbole în jurul axei care o intersectează. Conform formulei obținem ecuația pentru un hiperboloid cu două foi de revoluție Ca urmare a comprimării acestei suprafețe în planul y=0, se obține o suprafață cu ecuație (12). Suprafața, care într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene are ur-e de forma (12), se numește hiperboloid cu două foi (Fig. 49). Cele două ramuri ale hiperbolei corespund aici la două părți neconectate („cavități”) ale suprafeței. Conul asimptotic al unui hiperboloid cu două foi este definit în același mod ca și pentru unul cu o singură folie.

31. Paraboloizi.Paraboloid eliptic. Rotind parabola x 2 =2pz în jurul axei sale de simetrie, obținem o suprafață cu ecuația x 2 +y 2 =2pz. Se numește paraboloid al revoluției. Contracția cu planul y=0 transformă paraboloidul de revoluție într-o suprafață, a cărei ecuație se reduce la forma 2z (14). O suprafață care are o astfel de ecuație într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene se numește paraboloid eliptic. Paraboloid hiperbolic. Prin analogie cu ecuația (14), putem scrie ecuația. O suprafață care are o astfel de echivalare într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene se numește paraboloid hiperbolic. Din ecuația canonică z \u003d x 2 /a 2 - y 2 /b 2 a unui paraboloid hiperbolic, rezultă că planurile Oxz și Oyz sunt plane de simetrie. Axa Oz se numește axa paraboloidului hiperbolic.Drecțiile z=h de intersecție a paraboloidului hiperbolic cu planele z=h reprezintă, pentru h > 0, hiperbolele x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 cu semiaxele a * = a√h , b * =b√h , iar pentru h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гиперболического параболоида. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Numere complexe. Forma algebrică a unui număr complex. Un număr complex este o expresie de forma z = x + iy, unde x și y sunt numere reale, i este o unitate imaginară. Numărul x se numește partea reală a numărului z și este notat cu Re(z), iar numărul y se numește partea imaginară a numărului z și este notat cu Im(z). Numerele z \u003d x + iy și z \u003d x - iy se numesc conjugate. Două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1 și z 2 = x 2 + iy 2 sunt numite egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale. În special, i 2 = -1. Operațiile aritmetice asupra mulțimii numerelor complexe sunt definite după cum urmează. 1. Adunare: z 1+ z 2 \u003d x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2); 2. Scădere: z 1 -z 2 \u003d x 1 -x 2 +i (y 1 -y 2); 3. Înmulțire: z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); Diviziunea: z 1 / z 2 \u003d ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2. Pentru a reprezenta k.ch. sunt punctele planului de coordonate Oxy. Un plan se numește complex dacă fiecare c.h. z \u003d x + iy, un punct al planului z (x, y) este pus în corespondență, iar această corespondență este unu-la-unu. Axele Ox și Oy, pe care se află numerele reale z=x+0i=x și numerele pur imaginare z=0+iy=iy, se numesc axa reală și respectiv imaginară.

33. Forma trigonometrică a unui număr complex. Formula Moivre. Dacă real Xși imaginar y exprimă părți ale unui număr complex în termeni de modul r = | z| și argumentul j(x=r cosj,y=r sinj), apoi orice număr complex z, altul decât zero, poate fi scris în formă trigonometrică z=r(cosj+isinj). Caracteristicile formei trigonometrice: 1) primul factor este un număr nenegativ, r³0; 2) se scriu cosinusul și sinusul aceluiași argument; 3) unitatea imaginară se înmulțește cu sinj. De asemenea, poate fi util demonstrație o formă de scriere a numerelor complexe, strâns legată de cea trigonometrică prin formula lui Euler: z=re i j . Unde e i j este expansiunea exponentului pentru cazul exponentului complex. O formulă care vă permite să ridicați un număr complex în formă trigonometrică la o putere. Formula De Moivre are forma: z= n =r n (cosnj+isin nj), unde r este modulul și j este argumentul numărului complex.

34. Operatii pe polinoame. algoritmul lui Euclid. Vedere generală a ecuației de gradul al n-lea: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Se determină un set de coeficienți. (а 0 ,а 1 ,…,a n -1, a n)-numere complexe arbitrare. Se consideră partea stângă a (1): a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -polinoame de gradul al n-lea. Două polinoame f(x) și g(x) vor fi considerate egale sau identic egale dacă coeficienții sunt egali la aceleași puteri. Orice polinom este definit de o mulțime de coeficienți.

Să definim operațiile de adunare și înmulțire pe polinoame: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+...+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i dacă i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 = a 0 b 0 ; d 1 \u003d a 0 b 1 + a 0 b 1; d 2 \u003d a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0. Gradul produsului polinoamelor este egal cu suma și operațiile au următoarele proprietăți: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k + b k) + c k = a k + (b k + c k); 3). Un polinom f(x) se numește invers (x) dacă f(x)* (x)=1. În setul de polinoame, operația de împărțire nu este posibilă. În spațiul euclidian, pentru un polinom, există un algoritm de împărțire cu un rest. f(x) și g(x) exista r(x)Și q(x) definit fără ambiguitate. ; ; f(x)=g(x);; . Gradul din partea dreaptă £ grad g(x), și gradul din partea stângă de aici de aici - am ajuns la o contradicție. Demonstrăm prima parte a teoremei: . multiplica g(x) printr-un polinom astfel încât coeficienții conducători să fie înmulțiți.

După k trepte.

; ; are un grad inferior q(x). Polinom q(x) este coeficientul dintre f(x), A r(x) -restul diviziunii. Dacă f(x)Și g(x) au coeficienți reali, atunci q(x)Și r(x)- sunt de asemenea valabile.

35. Divizor de polinoame. GCD. Să fie date două polinoame nenule f(x) și j(x) cu coeficienți complexi. Dacă restul este zero, atunci se spune că f(x) este divizibil cu j(x) dacă j(x) este un divizor al lui f(x). Proprietățile polinomului j(x): 1) Polinomul j(x) va fi un divizor al lui f(x) dacă Y(x) există și f(x)= j(x)* Y(x) (1). j(x)-divizor, Y(x)-coeficient. Fie Y(x) să satisfacă (1), atunci din teorema anterioară Y(x) este un coeficient, iar restul este 0. Dacă (1) este satisfăcută, atunci j(x) este un divizor, deci j(x)<= степени f(x). Principalele proprietăți ale divizibilității unui polinom: unu) ; 2 f(x) și g(x) sunt divizibile cu j(x), atunci sunt divizibile cu j(x); 3) dacă; 4)dacă f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) orice polinom este divizibil cu orice polinom de grad zero f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) dacă f(x):j(x), atunci f(x):cj(x); 7) Polinomul cf(x) și numai ei vor fi divizori ai polinomului j(x) având același grad ca f(x); 8)f(x):g(x) și g(x):f(x), apoi g(x)=cf(x); 9) Orice divizor al unuia dintre f(x) și cf(x), c¹0 va fi un divizor pentru celălalt. Definiție: Cel mai mare divizor comun (GCD). Polinomul j(x) se va numi gcd f(x) și g(x) dacă împarte fiecare dintre ele. Polinoamele de grad zero sunt întotdeauna mcd și sunt între prime. Gcd-ul polinoamelor nenule f(x) și g(x) se numește d(x), care este yavl. un divizor comun și este divizibil cu orice alt divizor și comunul acestor polinoame. mcd f(x) și g(x)= (f(x):g(x)). Algoritm pentru găsirea GCD: Fie gradul g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r2 (x)+qk (x) rk (x)-gcd. Să demonstrăm. r k (x) este divizorul lui r k -1 (x)®el este divizorul lui r k -2 (x)…®el este divizorul lui g(x)®divizorul lui f(x). g(x)g 1 (x) este divizibil cu rk (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) este divizibil cu rk (x)® r 1 (x) este divizibil cu rk (x )® r 2 (x) este divizibil cu rk (x)®… qk (x): rk (x) este divizibil cu rk (x).

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Să fie date două avioane

Primul plan are un vector normal (A 1; B 1; C 1), al doilea plan (A 2; B 2; C 2).

Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii și sunt coliniari, adică. = l pentru un număr l. De aceea

─ condiția de paralelism a planului.

Condiția coincidenței avioanelor:

întrucât în acest caz, înmulțind a doua ecuație cu l = , obținem prima ecuație.

Dacă nu este îndeplinită condiția de paralelism, atunci planurile se intersectează. În special, dacă planurile sunt perpendiculare, atunci vectorii sunt și perpendiculari. Prin urmare, produsul lor scalar este egal cu 0, i.e. = 0 sau

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca planurile să fie perpendiculare.

Unghiul dintre două plane.

Unghiul dintre două plane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

este unghiul dintre vectorii lor normali și , deci

cosj = =
.

linie dreaptă în spațiu.

Ecuația vectorială-parametrică a unei linii drepte.

Definiție. Vector de direcție drept Orice vector situat pe o dreaptă sau paralel cu ea este numit.

Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 0 (x 0; y 0; z 0) și având un vector de direcție = (a 1; a 2; a 3).

Lăsați deoparte din punctul M 0 vectorul . Fie M(x; y; z) un punct arbitrar al dreptei date și ─ raza-vector al punctului М 0 . Apoi , , de aceea . Această ecuație se numește ecuația vector-parametrică a unei linii drepte.

Ecuații parametrice ale unei linii drepte.

În ecuația vector-parametrică a dreptei va trece la relațiile de coordonate (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. De aici ajungem ecuații parametrice ale dreptei

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Ecuații canonice ale unei linii drepte.

Din ecuațiile (4) exprimăm t:

t = , t = , t = ,

unde ajungem ecuații canonice ale dreptei

= = (5)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Să fie date două puncte M 1 (x 1; y 1; z 1) și M 2 (x 2; y 2; z 2). Ca vector de direcție al dreptei, puteți lua vectorul = (x 2 - x 1; y 2 - y 1; z 2 - z 1). Deoarece dreapta trece prin punctul M 1 (x 1; y 1; z 1), atunci ecuațiile ei canonice în conformitate cu (5) se vor scrie sub forma

(6)

Unghiul dintre două linii.

Se consideră două drepte cu vectori de direcție = (a 1; a 2; a 3) și .

Unghiul dintre linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție, deci

cosj = =
(7)

Condiția de perpendicularitate a liniilor:

un 1 în 1 + un 2 în 2 + un 3 în 3 = 0.

Starea liniilor paralele:

. (8)

Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu.

Să fie date două linii
Și
.

În mod evident, liniile se află în același plan dacă și numai dacă vectorii , și coplanare, adică

= 0 (9)

Dacă în (9) primele două rânduri sunt proporționale, atunci liniile sunt paralele. Dacă toate cele trei linii sunt proporționale, atunci liniile coincid. Dacă condiția (9) este îndeplinită și primele două rânduri nu sunt proporționale, atunci liniile se intersectează.

Dacă
¹ 0, atunci liniile sunt oblice.

Probleme pe o linie dreaptă și un plan în spațiu.

O linie dreaptă este intersecția a două plane.

Să fie date două avioane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Dacă planurile nu sunt paralele, atunci condiția este încălcată

Fie, de exemplu, ¹ .

Să găsim ecuația dreptei de-a lungul căreia se intersectează planele.

Ca vector de direcție al dreptei dorite, putem lua vectorul

= × = =
.