Rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea. Ecuații de diferite grade. Rezolvarea ecuațiilor cu un parametru

Sarcina №1

Rezolvați ecuația gradului al treilea folosind formula Cardano:

x 3 -3x 2 -3x-1=0.

Rezolvare: Să aducem ecuația la o formă care nu conține gradul doi al necunoscutului. Pentru a face acest lucru, folosim formula

x \u003d y - , unde a este coeficientul la x 2.

Avem: x=y+1.

(y+1) 3 -3(y+1) 2 -3(y+1)-1=0.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, obținem:

Pentru rădăcinile ecuației cubice y 3 +py+q=0 există o formulă Cardano:

yi= (i=1,2,3,), unde valoarea radicalului

, = .

Fie α1 o valoare /orice/ a radicalului α. Apoi celelalte două valori se găsesc după cum urmează:

α 2 \u003d α 1 ε 1, α 3 \u003d α 1 ε 2, unde ε 1 \u003d + i, ε 2 \u003d - i este rădăcina de gradul trei a unității.

Dacă punem β 1 = - , atunci obținem β 2 = β 1 ε 2, β 3 = β 1 ε 1

Înlocuind valorile obținute în formula yi = αi+βi, găsim rădăcinile ecuației

y 1 \u003d α 1 + β 1,

y 2 \u003d -1/2 (α 1 + β 1) + i (α 1 -β 1),

y 3 \u003d -1 / 2 (α 1 + β 1) - i (α 1 -β 1),

În cazul nostru p = -6, q= - 6.

α= =

Una dintre valorile acestui radical este . Prin urmare, punem α 1 = . Atunci β 1 = – = – = ,

y 2 = ) – i ).

În cele din urmă, găsim valoarea lui x folosind formula x = y+1.

x 2 = ) + i ) + 1,

x 3 = ) – i ) + 1.

O sarcină№2

Rezolvați ecuația gradului al patrulea folosind metoda Ferrari:

x 4 -4x 3 +2x 2 -4x+1=0.

Soluție: Mutăm ultimii trei termeni în partea dreaptă și completăm cei doi termeni rămași într-un pătrat complet.

x 4 -4x 3 \u003d -2x 2 + 4x-1,

x 4 -4x 3 +4x 2 =4x 2 -2x 2 +4x-1,

(x 2 -2x) 2 \u003d 2x 2 + 4x-1.

Introducem o nouă necunoscută, după cum urmează:

(x 2 -2x+) 2 \u003d 2x 2 +4x-1+(x 2 -2x)y+,

(x 2 -2x+ ) 2 =(2+y)x 2 +(4-2y)x+() /1/.

Să alegem y astfel încât partea dreaptă a egalității să fie un pătrat perfect.Acest lucru va fi atunci când B 2 -4AC=0, unde A=2+y, B=4-2y, C= -1.

Avem: B 2 -4AC=16-16y+4y 2 -y 3 -2y 2 +4y+8=0

Sau y 3 -2y 2 +12y-24=0.

Am obținut o rezoluție cubică, una dintre rădăcinile căreia este y=2. Înlocuiți valoarea rezultată y=2 în /1/,

Se obține (x 2 -2x+1) 2 =4x 2. De unde (x 2 -2x+1) 2 -(2x) 2 =0 sau (x 2 -2x+1-2x) (x 2 -2x+) 1+ 2x)=0.

Obținem două ecuații pătratice:

x 2 -4x+1=0 și x 2 +1=0.

Rezolvându-le, găsim rădăcinile ecuației originale:

x 1 \u003d 2-, x 2 \u003d 2+, x 3 \u003d-I, x 4 \u003d i.

6. Rădăcini raționale ale unui polinom

Sarcina 1

Găsiți rădăcini raționale ale unui polinom

f(x)=8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x2+45x-18.

Soluţie: Pentru a găsi rădăcinile raționale ale unui polinom, folosim următoarele teoreme.

Teorema 1. Dacă fracția ireductibilă este rădăcina polinomului f(x) cu coeficienți întregi, atunci p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului principal al polinomului f(x).

Cometariu: Teorema 1 dă conditie necesara pentru un număr rațional . A fost rădăcina polinomului, dar această condiție nu este suficientă, adică. condiția teoremei 1 poate fi îndeplinită și pentru o astfel de fracție care nu este rădăcină a polinomului.

Teorema 2: Dacă fracția ireductibilă este rădăcina polinomului f(x) cu coeficienți întregi, atunci pentru orice număr întreg, altul decât , numărul f(m) este divizibil cu numărul p-qm, adică un număr întreg.

În special, stabilind m=1 și apoi m=-1, obținem:

dacă rădăcina polinomului nu este egală cu ±1, atunci f(x) (p-q) și f(-x):.(p+q), adică. - numere întregi.

Cometariu: Teorema 2 oferă încă o condiție necesară pentru rădăcinile raționale ale unui polinom. Această condiție este convenabilă deoarece poate fi ușor verificată în practică. Mai întâi găsim f(1) și f(-1), iar apoi pentru fiecare fracție testată verificăm condiția specificată. Dacă cel puțin unul dintre numere este fracțional, atunci rădăcina polinomului f(x) nu este.

Soluţie: Prin teorema 1, rădăcinile acestui polinom ar trebui căutate printre fracțiile ireductibile ai căror numărători sunt divizori ai lui 18 și ai căror numitori sunt 8. Prin urmare, dacă fracția ireductibilă este rădăcina lui f(x), atunci p este egal cu unul dintre numere: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18; q este egal cu unul dintre numere

±1, ±2, ±4, ±8.

Dat fiind = , = , numitorii fracțiilor vor fi luați numai pozitivi.

Deci, următoarele numere pot fi rădăcini raționale ale acestui polinom: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± , ± .

Să-l folosim pe al doilea.

Deoarece f(1)=72, f(-1)=120, rezultă în special că 1 și -1 nu sunt rădăcini ale lui f(x). Acum, pentru fiecare fracție posibilă, vom verifica condițiile teoremei 2 pentru m=1 și m=-1, adică vom stabili dacă numerele sunt întregi sau fracționale: = și =

Rezumăm rezultatele într-un tabel, unde literele „c” și, respectiv, „d” înseamnă dacă un număr sau o fracție este întreg sau fracționar.

Din tabelul rezultat se poate observa că și sunt numere întregi doar în acele cazuri când este egal cu unul dintre numere: 2, -2, 3, -3, , , , .

După un corolar al teoremei lui Bezout, un număr este o rădăcină α a lui f(x) dacă și numai dacă f(x) (x-α). Prin urmare, pentru a testa cele nouă numere întregi rămase, se poate aplica schema lui Horner de împărțire a unui polinom la un binom.

2 - rădăcină.

Prin urmare avem: x=2 este o rădăcină simplă a lui f(x). Rădăcinile rămase ale acestui polinom coincid cu rădăcinile polinomului.

F 1 (x) \u003d 8x 4 + 2x 3 -73x 2 -18x + 9.

Să verificăm restul numerelor în același mod.

2 - nu rădăcină, 3 - rădăcină, -3 - rădăcină, 9 - nu rădăcină, ½ - nu rădăcină, -1/2 - rădăcină, 3/2 - nu rădăcină, ¼ - rădăcină.

Deci, polinomul f(x)= 8x 5 -14x 4 -77x 3 +128x 2 +45x-18 are cinci rădăcini raționale: (2, 3, -3, -1/2, ¼).

POVEȘTI ^GRADUL AL III-lea și al IV-lea

Sfârșitul secolului XV - începutul secolului XVI. au fost o perioadă de dezvoltare rapidă în Italia a matematicii și mai ales a algebrei. S-a găsit o soluție generală a ecuației pătratice, precum și multe soluții particulare ale ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea. A devenit un loc obișnuit să organizezi turnee pentru a rezolva ecuații de diferite grade. La începutul secolului al XVI-lea, la Bologna, profesorul de matematică Scipio del Ferro a găsit o soluție la următoarea ecuație cubică:

Yu. S. Antonov,

Candidat la Științe Fizice și Matematice

De unde 3AB(A + B) + p(A + B) = 0. Reducerea cu

(A + B), obținem: AB \u003d -P sau I + g ■ 3-I - g \u003d -P. Unde -(PT = ^ - r2.

Din această expresie aflăm că r = ±L[P + P.

z3 + az2 + bx + c = 0.

Prin înlocuirea x \u003d z - această ecuație se reduce la forma: 3

x3 + px = q = 0.

Ferro a decis să caute o soluție la această ecuație sub forma x = A + B,

unde a \u003d 3 - 2 + r, c \u003d 3 - 2 - r.

Înlocuind această expresie în ecuația (1), obținem:

1 + r + 3A2B + 3AB2 r + p(A + B) + i = 0.

Scipio del Ferro (1465 - 1526) - matematician italian care l-a descoperit pe general

metoda de rezolvare a unei ecuații cubice incomplete

În fotografia de mai sus - matematicieni din secolul al XVI-lea (miniatură medievală)

Astfel, ecuația inițială are o soluție x = A + B, unde:

*=Yig? ■ la=■ ®

Ferro a transmis secretul rezolvării ecuației (1) elevului său Mario Fiore. Acesta din urmă, folosind acest secret, a devenit câștigătorul unuia dintre turneele de matematică. Câștigătorul multor turnee Niccolo Tartaglia nu a participat la acest turneu. Firește, s-a pus problema unui duel între Tartaglia și Mario Fiore. Tartaglia a crezut cuvintele matematicianului autorizat Pich-choli, care a susținut că este imposibil să rezolvi ecuația cubică în radicali, așa că era sigur de victoria sa. Cu toate acestea, cu două săptămâni înainte de începerea luptei, a aflat că Ferro a găsit o soluție la ecuația cubică și i-a transmis secretul lui Mario Fiore. După ce a depus, la propriu, eforturi titanice, cu câteva zile înainte de deschiderea turneului, a primit soluția sa la ecuația cubică (1). La 12 februarie 1535 a avut loc turneul. Fiecare participant ia oferit adversarului său 30 de probleme. Învinsul trebuia să-i ofere pe câștigător și prietenii săi cu o cină de gală, iar numărul de prieteni invitați trebuia să se potrivească cu numărul de probleme rezolvate de câștigător. Tartaglia a rezolvat toate problemele în două ore. Adversarul lui nu este niciunul. Istoricii științei explică acest lucru după cum urmează. Luați în considerare ecuația:

x3 + 3 x - 4 = 0.

Această ecuație are o singură rădăcină reală x = 1. Apoi, conform formulei Ferro, obținem:

x \u003d 3/2 + / 5 + -l / 5.

Expresia din stânga semnului egal ar trebui să fie egală cu 1. Tartaglia, ca un luptător de turnee experimentat, și-a confundat adversarul cu astfel de iraționalități. Trebuie remarcat faptul că Tartaglia a luat în considerare doar acele ecuații cubice pentru care A și B au fost reale.

Cunoscutul om de știință Gerolamo Cardano a devenit interesat de formula Tartaglia. Tartagli i-a transmis decizia sa cu condiția ca Cardano să o poată publica numai după publicarea lui Tartaglia. Cardano a mers mai departe decât Tartaglia în studiile sale. A devenit interesat de cazul în care A și B sunt numere complexe. Luați în considerare ecuația:

x3 - 15x-4 = 0. (3)

Conform formulei (2) obținem:

A \u003d + 7 4 -125 \u003d ^ 2 + 11l / -1 \u003d ^ 2 + 111,

Un adept al lui Cardano, Rafael Bombelli, a ghicit cum să obțină soluții de ecuații cubice din astfel de expresii. El a văzut că pentru o ecuație cubică dată A = 2 +1, B = 2 -1. Atunci x = A + B = 4,

Niccolo Fontana

Tartaglia (1499 - 1557) - matematician italian

acestea. va fi rădăcina ecuației (3). Se crede că Cardano a obținut și astfel de soluții ale unor ecuații cubice.

La ceva timp după ce a primit formula lui Tartaglia, Cardano a aflat soluția lui Ferro. A fost surprins de coincidența totală a deciziilor lui Tartaglia și Ferro. Fie pentru că Cardano a recunoscut soluția lui Ferro, fie dintr-un alt motiv, dar în cartea sa „Marea artă” a publicat formula lui Tartaglia, indicând totuși paternitatea lui Tartaglia și Ferro. După ce a aflat despre lansarea cărții lui Cardano, Tartaglia a fost jignit de moarte. Și poate nu fără motiv. Chiar și astăzi, formula (2) este mai des numită formula lui Cardano. Tartaglia l-a provocat pe Cardano la un duel matematic, dar acesta din urmă a refuzat. În schimb, provocarea a fost preluată de elevul lui Cardano, Ferrari, care nu știa doar să rezolve ecuații cubice, ci și ecuații de gradul al patrulea. În notația modernă, soluția ecuațiilor de gradul al patrulea are următoarea formă:

Să avem ecuația z4 + pzi + qz2 + sz + r = 0 .

Facem schimbarea m = x + p. Atunci ecuația va lua forma x4 + ax2 + bx + c = 0. Să introducem o variabilă auxiliară t și să căutăm o soluție sub forma:

Gerolamo Cardano (1501 - 1576) - matematician, inginer, filozof, medic și astrolog italian

Lodovico (Luigi) Ferrari (1522 - 1565) - matematician italian care a găsit o soluție generală pentru o ecuație de gradul al patrulea

x2 + ti = 2tx2 - bx + 1 t2 + at + c

Atribuim variabilei t o astfel de valoare încât discriminantul ecuației pătratice din partea dreaptă să fie egal cu zero:

b2 - 2t (2 + 4at + a2 - 4c) = 0.

Să aducem această expresie la forma:

8t3 + 8at2 + 2(a2 - 4cy - b = 0. (5)

Pentru ca discriminantul indicat să fie egal cu zero, este necesar să se găsească o soluție la ecuația cubică (5). Fie ^ rădăcina ecuației (5) găsită prin metoda Tartagli-Cardano. Înlocuind-o în ecuația (4), obținem:

(x2 + 2 +)" = * (X + ±

Să rescriem această ecuație ca:

a+t0\=±^2T0\x+-b

Astfel, soluția ecuației de gradul al patrulea prin metoda Ferrari a fost redusă la soluția a două ecuații pătratice (6) și a unei ecuații cubice (5).

Duelul Tartaglia - Ferrari a avut loc pe 10 august 1548 la Milano. Au fost luate în considerare ecuațiile puterii a treia și a patra. În mod surprinzător, Tartaglia a rezolvat totuși mai multe probleme (Ferrari, cu siguranță, avea toate problemele pentru rezolvarea ecuațiilor cubice cu complexul A, B și pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea). Ferrari a rezolvat majoritatea sarcinilor care i-au fost propuse. Drept urmare, Tartaglia a suferit o înfrângere zdrobitoare.

Aplicarea practică a soluțiilor obținute este foarte mică. Aceste ecuații pot fi rezolvate numeric cu o precizie arbitrar de mare. Cu toate acestea, aceste formule au adus o mare contribuție la dezvoltarea algebrei și, în special, la dezvoltarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor de grade înalte. Este suficient să spunem că următorul pas în rezolvarea ecuațiilor a fost făcut abia în secolul al XIX-lea. Abel a constatat că ecuația gradului al n-lea pentru n> 5, în cazul general, nu poate fi exprimată în radicali. În special, el a arătat că ecuația x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 este rezolvabilă în radicali, în timp ce ecuația aparent mai simplă x5 + 2x = 2 = 0 este nerezolvabilă în radicali. Galois a epuizat complet problema solvabilității ecuațiilor în radicali. Ca exemplu de ecuație care este întotdeauna rezolvabilă în radicali, putem da următoarea ecuație:

Toate acestea au devenit posibile în legătură cu apariția unei noi teorii profunde, și anume teoria grupurilor.

Bibliografie

1. N. Ya. Vilenkin, N. Ya. Vilenkin, L. P. Shibasov, E. F. Shibasova, În spatele paginilor unui manual de matematică. - M.: Educație: SA „Literatura educațională”, 1996. - 320 p.

2. Gindikin, S. G. Povești despre fizicieni și matematicieni / S. G. Gindikin. - Ed. a 2-a. - M.: Nauka, 1985. - 182 p.

LFHSH mu&ris gânduri

Știința este benefică doar atunci când o acceptăm nu numai cu mintea, ci și cu inima.

D. I. Mendeleev

Universul nu poate fi redus la nivelul înțelegerii umane, dar înțelegerea umană ar trebui extinsă și dezvoltată pentru a percepe imaginea universului așa cum este descoperită.

bacon Francis

Notă. Articolul folosește ilustrații de pe site-ul http://lesequations.net

Problema rezolvării ecuațiilor de gradul trei și al patrulea la radicali nu a fost cauzată de o necesitate practică deosebită. Apariția sa a mărturisit indirect trecerea treptată a matematicii la mai mult nivel inalt dezvoltarea sa, când știința matematică se dezvoltă nu numai sub influența cerințelor practicii, ci și datorită logicii sale interne. După rezolvarea ecuațiilor pătratice, era firesc să trecem la rezolvarea ecuațiilor cubice.

Ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea au fost rezolvate în Italia în secolul al XVI-lea.

Matematicienii italieni au considerat trei tipuri de ecuații cubice:

Luarea în considerare a trei tipuri de ecuații cubice în loc de una se datorează faptului că, deși matematicienii secolului al XVI-lea. erau familiarizați cu numerele negative, dar nu au fost considerate numere reale de mult timp, iar oamenii de știință au căutat să scrie ecuații doar cu coeficienți pozitivi.

Din punct de vedere istoric, algebriștii s-au ocupat mai întâi de ecuația primului tip

Inițial, a fost rezolvată de un profesor de la Universitatea din Bologna, Scipio del Ferro, dar acesta nu a publicat soluția rezultată, ci a comunicat-o studentului său Fiore. Cu ajutorul secretului pentru rezolvarea acestei ecuații, Fiore a câștigat mai multe turnee de matematică. Atunci astfel de turnee erau comune în Italia. Ele au constat în faptul că doi adversari, în prezența unui notar, au schimbat un număr prestabilit de sarcini și au convenit asupra unui termen limită pentru soluționarea lor. Câștigătorul a primit faimă și adesea o poziție profitabilă. În 1535, Fiore l-a provocat pe oricine vrea să lupte cu el la un asemenea duel. Provocarea a fost acceptată de Tartaglia.

Niccolò Tartaglia (1500-1557) a rămas devreme orfan și a crescut în sărăcie fără nicio educație. Cu toate acestea, cunoștea bine matematica vremii și își câștiga existența prin lecții private de matematică. Cu puțin timp înainte de duelul cu Fiore, a reușit să rezolve singur ecuația (1). Așadar, când adversarii s-au întâlnit, Tartaglia a reușit să rezolve problemele lui Fiore în câteva ore; toate au ajuns în ecuația (1). Cât despre Fiore, el nu a rezolvat de multe zile nici una dintre cele 30 de diverse probleme ale lui Tartaglia. Tartaglia a fost declarată câștigătoarea turneului. Vestea victoriei lui s-a răspândit în toată Italia. A devenit șef al departamentului de matematică la Universitatea din Verona.

Metoda lui Tartaglia a fost următoarea. El a presupus în ecuația (1) , unde u și v sunt necunoscute noi. Primim:

Introducem ultima ecuație . Se formează un sistem de ecuații

care se reduce la o ecuație pătratică. Din el găsim:

,

La scurt timp după turneu, Tartaglia a rezolvat cu ușurință ecuații cubice de tipul doi și trei. De exemplu, pentru o ecuație de al doilea tip, a aplicat o substituție care a condus la formula

(3)

Vestea succesului lui Tartaglia a ajuns la Cardano. Girolamo Cardano (1501-1576) a absolvit Facultatea de Medicină a Universității din Pavia și a fost medic la Milano. Era un om de știință, nu mai puțin talentat decât Tartaglia și mult mai versatil: a studiat medicina, matematica, filozofia și astrologia. Cardano a plănuit să scrie o carte enciclopedică despre algebră și ar fi incompletă fără rezolvarea ecuațiilor cubice. S-a îndreptat către Tartaglia cu o cerere să-l informeze despre metoda lui de a rezolva aceste ecuații. Tartaglia nu a fost de acord, iar apoi Cardano a jurat pe Evanghelie să nu spună nimănui secretul rezolvării ecuațiilor cubice. Se pare că Tartaglia urma să scrie el însuși o carte despre algebră, inclusiv descoperirea sa în ea, dar din cauza faptului că era ocupat și pentru că publicația era o afacere costisitoare, și-a amânat intenția. În cele din urmă, în 1545, Cardano și-a publicat monografia intitulată „Marea artă”, care cuprindea descoperirea „prietenului meu Tartaglia”. Tartaglia s-a înfuriat de încălcarea jurământului și a trecut la presa pentru a-l demasca pe Cardano. S-a ajuns ca cel mai bun elev al lui Cardano l-a provocat pe Tartaglia la un duel public. Duelul a avut loc în 1548 la Milano și s-a încheiat, în circumstanțe neclare, cu înfrângerea lui Tartaglia. Formulele rădăcinilor unei ecuații cubice au primit în istorie numele de formule ale lui Cardano, deși Cardano însuși nu a dat formule în cartea sa, ci a schițat un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații cubice.

Cartea lui Cardano The Great Art a jucat un rol semnificativ în istoria algebrei. În special, în el a demonstrat că ecuația completă de gradul al treilea poate fi redusă prin substituție la o ecuație fără termen cu pătratul necunoscutului, adică. la unul dintre cele trei tipuri de ecuaţii cubice luate în considerare la începutul secţiunii. Modernând prezentarea, luăm o ecuație cubică generală

cu coeficienți de semn arbitrar în locul acelor mai multe tipuri de ecuații cubice cu care s-a ocupat Cardano și a pus în el

.

Este ușor de verificat că ultima ecuație nu conține un termen cu pătratul necunoscutului, deoarece suma termenilor care conțin este egală cu zero:

.

În mod similar, Cardano a demonstrat că în ecuația completă a gradului al patrulea este posibil să scapi de termenul cu cubul necunoscutului. Pentru a face acest lucru, în ecuația gradului al patrulea a formei generale

suficient pentru a pune .

Mai târziu, F. Viet a rezolvat familiara ecuație cubică cu ajutorul unui stand ingenios Vom avea:

.

Să punem ultima ecuație. Din ecuația pătratică obținută găsim t; apoi calculează, în sfârșit,

Ecuația gradului al patrulea a fost rezolvată de Ferrari. A rezolvat-o cu un exemplu

(fără un membru cu cubul necunoscutului), dar într-un mod destul de general.

Să adăugăm ambele părți ale ecuației (4) pentru a completa partea stângă la pătratul sumei:

Acum adăugați suma la ambele părți ale ultimei ecuații

unde t este nou necunoscut:

Deoarece partea stângă a ecuației (5) este pătratul sumei, atunci și partea dreaptă este un pătrat, iar apoi discriminantul trinomului pătrat este egal cu zero: Cu toate acestea, în secolul al XVI-lea. această ecuație a fost scrisă sub forma

Ecuația (6) este cubică. Să aflăm din asta tîntr-un mod familiar, înlocuiți această valoare tîn ecuația (5) și extrageți rădăcina pătrată din ambele părți ale ecuației rezultate. Se formează o ecuație pătratică (mai precis, două ecuații pătratice).

Metoda dată aici pentru rezolvarea ecuației gradului al patrulea a fost inclusă în cartea lui Cardano.

Conform opiniilor din acea vreme, regula pentru rezolvarea unei ecuații cubice de al doilea tip conform formulei (3) nu poate fi aplicată atunci când

; Din punct de vedere modern, în acest caz este necesar să se efectueze operații asupra numerelor imaginare. De exemplu, ecuația

are o rădăcină reală; în plus, are încă două rădăcini reale (iraționale). Dar conform formulei (3) obținem:

Cum se poate obține un număr real din numere imaginare („imaginare”, după cum spuneau ei atunci)? Acest caz al unei ecuații cubice se numește ireductibil.

Cazul ireductibil a fost analizat în detaliu de către matematicianul italian Rafael Bombelli în cartea „Algebra”, publicată în 1572. În formula (3), el a explicat această situație prin faptul că prima rădăcină cubă este egală cu și a doua -a. -bi (unde a și b sunt numere reale, t este unitatea imaginară), deci suma lor dă

acestea. numar real.

Bombelli a dat reguli pentru operațiunile pe numere complexe.

După publicarea cărții lui Bombelli, matematicienilor devine treptat clar că în algebră fără numere complexe insuficient.

Făcând clic pe butonul „Descărcați arhiva”, veți descărca gratuit fișierul de care aveți nevoie.
Înainte de a descărca acest fișier, amintiți-vă acele eseuri bune, control, lucrări, teze, articole și alte documente care nu sunt revendicate pe computer. Aceasta este munca ta, ar trebui să participe la dezvoltarea societății și să beneficieze oamenii. Găsiți aceste lucrări și trimiteți-le la baza de cunoștințe.
Noi și toți studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vom fi foarte recunoscători.

Pentru a descărca o arhivă cu un document, introduceți un număr de cinci cifre în câmpul de mai jos și faceți clic pe butonul „Descărcați arhiva”

Documente similare

Descrierea vieții Italiei și a lumii timpului în care a trăit și a lucrat Girolamo Cardano. Activitatea stiintifica matematică, o trecere în revistă a lucrărilor sale de matematică și căutarea soluțiilor ecuațiilor cubice în radicali. Metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul al treilea și al patrulea.

lucrare de termen, adăugată 26.08.2011


Istoria dezvoltării științei matematice în Europa în secolele VI-XIV, reprezentanții și realizările acesteia. Dezvoltarea matematicii în Renaștere. Crearea calculului literal, activitatea lui François Vieta. Îmbunătățirea calculului în sfârşitul XVI-lea- începutul secolului al XVI-lea

prezentare, adaugat 20.09.2015


Matematica europeană a Renașterii. Crearea calculului literal de François Viet și a unei metode de rezolvare a ecuațiilor. Îmbunătățiri de calcul la sfârșitul secolului XVI - începutul XVII secole: fracții zecimale, logaritmi. Stabilirea unei legături între trigonometrie și algebră.

prezentare, adaugat 20.09.2015


Din istoria fracțiilor zecimale și ordinare. Operații pe zecimale. Adunare (scădere) fracții zecimale. Înmulțirea zecimalelor. Împărțirea zecimalelor.

rezumat, adăugat 29.05.2006


Matematica greacă și filosofia ei. Relație și parcurs comun al filosofiei și matematicii de la începutul Renașterii până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Filosofie și matematică în epoca iluminismului. Analiza naturii cunoștințelor matematice ale filozofiei clasice germane.

teză, adăugată 09.07.2009


Ecuația în fracții din numărul de zecimale, efectuați adunarea și scăderea, ignorând virgula. Semnificația practică a teoriei fracțiilor zecimale. Muncă independentă urmată de verificarea rezultatelor, efectuarea calculelor.

prezentare, adaugat 07.02.2010


Studiul apariției matematicii și utilizarea metodelor matematice în China antică. Trăsături ale problemelor chinezilor privind rezolvarea numerică a ecuaţiilor şi probleme geometrice, conducând la ecuații de gradul trei. Matematicieni remarcabili ai Chinei antice.