Construiți un desen al unui punct pentru a determina poziția în spațiu. Construirea proiecțiilor ortogonale de puncte. Proiecție, tipuri de proiecție - informații necesare

Acest articol este răspunsul la două întrebări: „Ce este” și „Cum să găsești coordonatele proiecției unui punct pe un plan"? În primul rând, sunt furnizate informațiile necesare despre proiecție și tipurile acesteia. În continuare, este dată definiția proiecției unui punct pe un plan și este dată o ilustrare grafică. După aceea, s-a obținut o metodă de găsire a coordonatelor proiecției unui punct pe un plan. În concluzie, sunt analizate soluții de exemple în care se calculează coordonatele proiecției unui punct dat pe un plan dat.

Navigare în pagină.

Proiecție, tipuri de proiecție - informații necesare.

Când studiați figurile spațiale, este convenabil să folosiți imaginile lor în desen. Desenul unei figuri spațiale este un așa-numit proiecție această cifră către avion. Procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan are loc după anumite reguli. Deci procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan, împreună cu un set de reguli prin care se realizează acest proces, se numește proiecție figuri pe acest plan. Se numește planul în care este construită imaginea planul de proiectie.

În funcție de regulile prin care se realizează proiecția, există centralȘi proiecție paralelă. Nu vom intra în detalii, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.

În geometrie, se folosește în principal un caz special de proiecție paralelă - proiecție perpendiculară, care se mai numește ortogonală. În numele acestui tip de proiecție, adjectivul „perpendicular” este adesea omis. Adică, când în geometrie se vorbește despre proiecția unei figuri pe un plan, de obicei înseamnă că această proiecție a fost obținută folosind proiecția perpendiculară (dacă nu se specifică altfel, desigur).

Trebuie remarcat faptul că proiecția unei figuri pe un plan este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri pe planul de proiecție. Cu alte cuvinte, pentru a obține proiecția unei anumite figuri, este necesar să se poată găsi proiecțiile punctelor acestei figuri pe plan. Următorul paragraf al articolului arată doar cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan.

Proiecția unui punct pe un plan - definiție și ilustrare.

Subliniem încă o dată că vom vorbi despre proiecția perpendiculară a unui punct pe un plan.

Să facem construcții care ne vor ajuta să definim proiecția unui punct pe un plan.

Fie în spațiul tridimensional ni se dă un punct M 1 și un plan. Să trasăm o dreaptă a prin punctul M 1, perpendiculară pe plan. Dacă punctul M1 nu se află în plan, atunci notăm punctul de intersecție al dreptei a și planul ca H1. Astfel, prin construcție, punctul H 1 este baza perpendicularei căzute din punctul M 1 în plan.

Definiție.

Proiecția punctului M 1 pe un plan este punctul M 1 însuși, dacă , sau punctul H 1, dacă .

Această definiție proiecția unui punct pe un plan este echivalentă cu următoarea definiție.

Definiție.

Proiectia unui punct pe un plan- acesta este fie punctul în sine, dacă se află într-un plan dat, fie baza perpendicularei coborâte din acest punct într-un plan dat.

În desenul de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe plan; punctul M2 se află în plan, prin urmare M2 este proiecția punctului M2 însuși pe plan.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan - exemple de rezolvare.

Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional, un punct si avionul. Să ne punem sarcina: să determinăm coordonatele proiecției punctului M 1 pe plan.

Rezolvarea problemei rezultă logic din definirea proiecției unui punct pe un plan.

Notați proiecția punctului M 1 pe plan ca H 1 . Prin definiție, proiecția unui punct pe un plan, H 1 este punctul de intersecție al unui plan dat și o dreaptă a care trece prin punctul M 1 perpendicular pe plan. Astfel, coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe plan sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și a planului.

Prin urmare, pentru a găsi coordonatele de proiecție ale unui punct in avion ai nevoie de:

Să luăm în considerare exemple.

Exemplu.

Găsiți coordonatele de proiecție ale unui punct spre avion .

Soluţie.

În starea problemei, ni se oferă o ecuație generală a planului formei , deci nu trebuie compilat.

Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, obținem coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece dreapta a este perpendiculară pe planul dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului . adica - vector de direcție al dreptei a . Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punct și are un vector de direcție :
.

Pentru a obține coordonatele necesare proiecției unui punct pe un plan, rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avionul . Pentru a face acest lucru, din ecuațiile canonice ale dreptei, trecem la ecuațiile a două plane care se intersectează, compunem un sistem de ecuații și găsiți-i soluția. Folosim:

Deci proiecția punctului spre avion are coordonate.

Răspuns:

Exemplu.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional, puncte și . Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul ABC.

Soluţie.

Să scriem mai întâi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

Dar să ne uităm la o abordare alternativă.

obține ecuații parametrice linia a care trece prin punct și perpendicular pe planul ABC. Vectorul normal al planului are coordonate, deci vectorul este vectorul de direcție al dreptei a . Acum putem scrie ecuațiile parametrice ale unei drepte în spațiu, deoarece știm coordonatele unui punct pe o dreaptă ( ) și coordonatele vectorului său de direcție ( ):

Rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avioane. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația planului:
.

Acum prin ecuații parametrice calculați valorile variabilelor x, y și z la:
.

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul ABC are coordonate.

Răspuns:

În concluzie, să discutăm despre găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe planuri de coordonateși plane paralele cu planurile de coordonate.

proiecții punctuale la planurile de coordonate Oxy , Oxz și Oyz sunt punctele cu coordonate și în mod corespunzător. Și proiecțiile punctului în avion şi , care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy , Oxz și respectiv Oyz, sunt puncte cu coordonate Și .

Să arătăm cum au fost obținute aceste rezultate.

De exemplu, să găsim proiecția unui punct în avion (alte cazuri sunt similare cu acesta).

Acest plan este paralel cu planul de coordonate Oyz și este vectorul său normal. Vectorul este vectorul direcție al dreptei perpendiculare pe planul Oyz. Atunci ecuațiile parametrice ale dreptei care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat au forma .

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Pentru a face acest lucru, mai întâi înlocuim în ecuația egalității: , și proiecția punctului

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Luați în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două planuri perpendiculare determină de obicei poziția figurii și fac posibilă aflarea dimensiunilor și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi aplicați construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este realizat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție în același timp (Fig. 15). Al treilea plan se numește profil.

În astfel de construcții se numește linia comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia comună a planurilor orizontale și de profil - axă la , și linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil - axă z . Punct DESPRE, care aparține tuturor celor trei planuri, se numește punctul de origine.

Figura 15a arată punctul DARși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( dar) sunt numite proiecția profilului si denota dar.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a a, este necesar să se taie triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să se combine toate aceste planuri cu planul proiecției frontale. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este aproape de axă zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor a, aȘi dar puncte DAR, obţinută ca urmare a combinării tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare pe diagramă în două locuri diferite. Pe un plan orizontal (Fig. 16), acesta ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului - orizontal (perpendicular pe axa z).

Figura 16 prezintă trei proiecții a, aȘi dar punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

darȘi dar trebuie să fie întotdeauna situat pe o linie dreaptă verticală perpendiculară pe axă X;

darȘi dar trebuie să fie întotdeauna situat pe aceeași linie orizontală perpendiculară pe axă z;

3) când este desenat printr-o proiecție orizontală și o linie orizontală, dar printr-o proiecție de profil dar- o linie dreaptă verticală, liniile construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la dar 0 dar n este un pătrat.

Când se construiesc trei proiecții ale unui punct, este necesar să se verifice îndeplinirea tuturor celor trei condiții pentru fiecare punct.

Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonatele. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului DAR la planul profilului este coordonata X, în care X = a˝A(Fig. 15), distanța până la planul frontal - prin coordonatele y și y = aa, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în care z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea cuboid, iar dimensiunile acestei casete corespund coordonatele acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este prezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Pe diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z) sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori de axa verticală:

y \u003d Oa y \u003d a x a

și de două ori - situat orizontal:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Această diferență a apărut datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie remarcat faptul că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală - coordonate XȘi la,

2) frontală - coordonate XȘi z,

3) profil - coordonate laȘi z.

Utilizarea coordonatelor X yȘi z, puteți construi proiecții ale unui punct pe diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale DAR trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale darȘi dar X X;

2) proiecții frontale și de profil darȘi dar ar trebui să fie situat pe aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, precum proiecția profilului dar departe de axă z, deoarece proiecțiile a′ și a˝ au o coordonată comună la.

Dacă punctul se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, cele două coordonate ale sale sunt zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

Proiectia unei linii drepte

Sunt necesare două puncte pentru a defini o linie. Un punct este definit de două proiecții pe planul orizontal și frontal, adică o linie dreaptă este determinată folosind proiecțiile celor două puncte ale sale pe planul orizontal și frontal.

Figura 17 prezintă proiecțiile ( darȘi a, bȘi b) două puncte DARşi B. Cu ajutorul lor, poziţia unei linii drepte AB. Când conectați proiecțiile cu același nume ale acestor puncte (de ex. darȘi b, aȘi b) puteți obține proiecții abȘi ab direct AB.

Figura 18 prezintă proiecțiile ambelor puncte, iar Figura 19 arată proiecțiile unei linii drepte care trece prin ele.

Dacă proiecțiile unei linii drepte sunt determinate de proiecțiile celor două puncte ale sale, atunci ele sunt notate cu două litere latine adiacente corespunzătoare denumirilor proiecțiilor punctelor luate pe linia dreaptă: cu linii pentru a indica proiecția frontală a liniei drepte. linie dreaptă sau fără linii - pentru proiecția orizontală.

Dacă luăm în considerare nu punctele individuale ale unei linii drepte, ci proiecțiile acesteia ca un întreg, atunci aceste proiecții sunt indicate prin numere.

Dacă la un moment dat DIN se află pe o linie dreaptă AB, proiecțiile sale с și с́ sunt pe proiecțiile aceleiași drepte abȘi ab. Figura 19 ilustrează această situație.

Urme drepte

urma drept- acesta este punctul de intersecție cu un plan sau suprafață (Fig. 20).

Linie orizontală se numește un punct H unde linia se întâlnește cu planul orizontal și frontal- punct V, în care această dreaptă se întâlnește cu planul frontal (Fig. 20).

Figura 21a prezintă urma orizontală a unei linii drepte și traseul frontal al acesteia, în Figura 21b.

Uneori se ia în considerare și urma de profil a unei linii drepte, W- punctul de intersecție al unei drepte cu un plan de profil.

Urma orizontală se află în planul orizontal, adică proiecția sa orizontală h coincide cu această urmă, iar frontala h se află pe axa x. Urma frontală se află în planul frontal, astfel încât proiecția sa frontală ν́ coincide cu aceasta, iar v orizontal se află pe axa x.

Asa de, H = h, Și V= v. Prin urmare, pentru a desemna urmele unei linii drepte, pot fi folosite litere hși v.

Diferite poziții ale liniei

Linia dreaptă se numește Drept pozitia generala , dacă nu este nici paralelă, nici perpendiculară pe niciunul dintre planurile de proiecție. De asemenea, proiecțiile unei linii în poziție generală nu sunt nici paralele, nici perpendiculare pe axele de proiecție.

Linii drepte care sunt paralele cu unul dintre planurile de proiecție (perpendiculare pe una dintre axe). Figura 22 prezintă o dreaptă care este paralelă cu planul orizontal (perpendiculară pe axa z), este o dreaptă orizontală; Figura 23 prezintă o linie dreaptă care este paralelă cu planul frontal (perpendicular pe ax la), este linia dreaptă frontală; Figura 24 prezintă o linie dreaptă care este paralelă cu planul profilului (perpendiculară pe axa X), este o linie dreaptă de profil. În ciuda faptului că fiecare dintre aceste linii formează un unghi drept cu una dintre axe, ele nu o intersectează, ci doar se intersectează cu ea.

Datorită faptului că linia orizontală (Fig. 22) este paralelă cu planul orizontal, proiecțiile sale frontale și de profil vor fi paralele cu axele care definesc planul orizontal, adică axele. XȘi la. Prin urmare, proiecții ab|| XȘi a˝b˝|| la z. Proiecția orizontală ab poate lua orice poziție pe diagramă.

La linia frontală (Fig. 23) proiecţie ab|| x și a˝b˝ || z, adică sunt perpendiculare pe axă la, și deci în acest caz proiecția frontală ab linia poate lua orice poziție.

La linia profilului (Fig. 24) ab|| y, ab|| zși ambele sunt perpendiculare pe axa x. Proiecție a˝b˝ poate fi plasat pe diagramă în orice fel.

Când luați în considerare planul care proiectează linia orizontală pe planul frontal (Fig. 22), puteți vedea că proiectează această linie și pe planul profilului, adică este un plan care proiectează linia pe două plane de proiecție simultan - frontala si de profil. Din acest motiv se numește plan dublu proiectat. La fel, pentru linia frontală (Fig. 23), planul dublu proiectat o proiectează pe planurile proiecțiilor orizontale și de profil, iar pentru profil (Fig. 23) - pe planurile proiecțiilor orizontale și frontale. .

Două proiecții nu pot defini o linie dreaptă. Două proiecții 1 Și unu linia dreaptă de profil (Fig. 25) fără a preciza proiecțiile a două puncte ale acestei drepte pe ele nu va determina poziția acestei drepte în spațiu.

Într-un plan care este perpendicular pe două planuri date de simetrie, poate exista un număr infinit de drepte pentru care datele de pe diagramă 1 Și unu sunt proiecțiile lor.

Dacă un punct se află pe o dreaptă, atunci proiecțiile sale se află în toate cazurile pe proiecțiile cu același nume de pe această linie. Situația opusă nu este întotdeauna adevărată pentru linia de profil. Pe proiecțiile sale, puteți indica în mod arbitrar proiecțiile unui anumit punct și să nu fiți sigur că acest punct se află pe o dreaptă dată.

În toate cele trei cazuri speciale (Fig. 22, 23 și 24), poziția dreptei în raport cu planul proiecțiilor este segmentul său arbitrar. AB, luată pe fiecare dintre drepte, este proiectată pe unul dintre planurile de proiecție fără distorsiuni, adică pe planul cu care este paralelă. Secțiune AB linia dreaptă orizontală (Fig. 22) oferă o proiecție în mărime naturală pe un plan orizontal ( ab = AB); secțiune AB linie dreaptă frontală (Fig. 23) - în dimensiune completă pe planul planului frontal V ( ab = AB) și segmentul AB linie dreaptă a profilului (Fig. 24) - în dimensiune completă pe planul profilului W (a˝b˝\u003d AB), adică este posibil să se măsoare dimensiunea reală a segmentului pe desen.

Cu alte cuvinte, cu ajutorul diagramelor se pot determina dimensiunile naturale ale unghiurilor pe care linia luată în considerare le formează cu planurile de proiecție.

Unghiul pe care îl formează o linie dreaptă cu un plan orizontal H, se obișnuiește să se noteze litera α, cu planul frontal - litera β, cu planul profilului - litera γ.

Oricare dintre liniile drepte luate în considerare nu are nicio urmă pe un plan paralel cu aceasta, adică linia dreaptă orizontală nu are urmă orizontală (Fig. 22), linia dreaptă frontală nu are urmă frontală (Fig. 23), iar profilul linia dreaptă nu are urmă de profil (Fig. 24).

Obiective:

• Studierea regulilor de construire a proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect și citirea desenelor.
• Dezvoltați gândirea spațială, capacitatea de a analiza forma geometrică a unui obiect.
• Să cultive harnicia, capacitatea de a coopera atunci când se lucrează în grup, interesul pentru subiect.

ÎN CURILE CLASURILOR

I STAGE. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE.

ETAPA II. FORMAREA DE CUNOAȘTERE, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI.

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂȚII. REFLECȚIE (DISPOARE)

ETAPA III. MUNCA INDIVIDUALA.

I STAGE. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE

1) Profesor: Verificați-vă locul de muncă, este totul la locul lui? Sunt toți gata să plece?

A REspirat Adinc, Țineți RESPIRAȚIA PE EVACUARE, A EXHARAT.

Determinați-vă starea de spirit la începutul lecției conform schemei (o astfel de schemă este pe masă pentru toată lumea)

ITI UREZ NOROC.

2)Profesor: Munca practica pe această temă " Projections of Vertices, Edges, Faces” a arătat că există tipi care greșesc atunci când proiectează. Ei devin confuzi care dintre cele două puncte care se potrivesc din desen este vârful vizibil și care este cel invizibil; când muchia este paralelă cu planul și când este perpendiculară. Același lucru cu marginile.

Pentru a evita repetarea greșelilor, finalizați sarcinile necesare folosind cardul de consultanță și corectați greșelile în munca practică (de mână). Și pe măsură ce lucrați, amintiți-vă:

„TOCINE POATE FĂ GREȘI, RĂMĂ LA GRESEA LUI - NUMAI NEBUNII”.

Iar cei care au stăpânit bine subiectul vor lucra în grupuri cu sarcini creative (vezi. Atasamentul 1 ).

ETAPA II. FORMAREA DE CUNOAȘTERE, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI

1)Profesor:În producție, există multe piese care sunt atașate între ele într-un anumit mod.
De exemplu:
Capacul desktopului este atașat la stâlpii verticali. Fiți atenți la masa la care vă aflați, cum și cu ce sunt atașate capacul și rafturile unul de celălalt?

Răspuns: Bolt.

Profesor: Ce este necesar pentru un șurub?

Răspuns: Gaură.

Profesor:Într-adevăr. Și pentru a face o gaură, trebuie să cunoașteți locația acesteia pe produs. La realizarea unei mese, tâmplarul nu poate contacta clientul de fiecare dată. Deci, care este necesitatea de a oferi un dulgher?

Răspuns: Desen.

Profesor: Desen!? Cum numim desen?

Răspuns: Un desen este o imagine a unui obiect prin proiecții dreptunghiulare într-o conexiune de proiecție. Conform desenului, puteți reprezenta forma geometrică și designul produsului.

Profesor: Am finalizat proiecțiile dreptunghiulare și apoi? Vom putea determina locația găurilor dintr-o singură proiecție? Ce altceva trebuie să știm? Ce să înveți?

Răspuns: Construiți puncte. Găsiți proiecții ale acestor puncte în toate vederile.

Profesor: Bine făcut! Acesta este scopul lecției noastre și subiectul: Construcția proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect. Scrieți subiectul lecției în caiet.
Tu și cu mine știm că orice punct sau segment de pe imaginea unui obiect este o proiecție a unui vârf, muchie, față, de exemplu. fiecare vedere este o imagine nu dintr-o parte (vedere cap., vedere de sus, vedere din stânga), ci întregul obiect.
Pentru a găsi corect proiecțiile punctelor individuale situate pe fețe, trebuie mai întâi să găsiți proiecțiile acestei fețe și apoi să utilizați liniile de legătură pentru a găsi proiecțiile punctelor.

(Ne uităm la desenul de pe tablă, lucrăm într-un caiet unde se fac acasă 3 proiecții ale aceleiași piese).

- A deschis un caiet cu un desen finalizat (O explicație a construcției punctelor pe suprafața unui obiect cu întrebări principale pe tablă, iar elevii o fixează într-un caiet.)

Profesor: Luați în considerare un punct ÎN. Cu ce ​​plan este fata cu acest punct paralel?

Răspuns: Fața este paralelă cu planul frontal.

Profesor: Stabilim proiecția unui punct b' în proiecție frontală. Trage în jos din punct b' linie verticală de comunicare cu proiecția orizontală. Unde va fi proiecția orizontală a punctului? ÎN?

Răspuns: La intersecția cu proiecția orizontală a feței care a fost proiectată în margine. Și se află în partea de jos a proiecției (vizualizării).

Profesor: Proiecția profilului punctului b'' unde va fi amplasat? Cum îl vom găsi?

Răspuns: La intersecţia liniei orizontale de comunicaţie de la b' cu o margine verticală în dreapta. Această margine este proiecția feței cu un punct ÎN.

CEI DORĂ SĂ CONSTRUIEȘTE URMĂTOAREA PROIECȚIE A PUNCTULUI SUNT CHEMATĂ ÎN CONSILIU.

Profesor: Proiecții punctuale DAR sunt amplasate și folosind linii de comunicație. Care plan este paralel cu muchia cu un punct DAR?

Răspuns: Fața este paralelă cu planul profilului. Am stabilit un punct pe proiecția profilului dar'' .

Profesor: Pe ce proiectie este proiectata fata in margine?

Răspuns: Pe față și pe orizontală. Să desenăm o linie de conectare orizontală la intersecția cu o margine verticală din stânga pe proiecția frontală, obținem un punct dar' .

Profesor: Cum să găsiți proiecția unui punct DAR pe o proiecție orizontală? La urma urmei, linii de comunicare din proiecția punctelor dar' Și dar'' nu intersectați proiecția feței (marginea) pe proiecția orizontală din stânga. Ce ne poate ajuta?

Răspuns: Puteți utiliza o linie dreaptă constantă (determină poziția vederii din stânga) de la dar'' trageți o linie verticală de comunicare până când aceasta se intersectează cu o linie dreaptă constantă. Din punctul de intersecție se trasează o linie orizontală de comunicare, până când se intersectează cu o margine verticală din stânga. (Aceasta este fața cu punctul A) și denotă proiecția cu un punct dar .

2) Profesor: Toată lumea are pe masă un card de sarcini, cu o hârtie de calc atașată. Luați în considerare desenul, încercați acum pe cont propriu, fără a redesena proiecțiile, pentru a găsi proiecțiile date ale punctelor pe desen.

– Găsiți în manual p. 76 fig. 93. Testează-te. Cine a performat corect - scor "5" "; o greșeală - "4"; doi - "3".

(Notele sunt stabilite chiar de elevi în foaia de autocontrol).

- Colectați carduri pentru testare.

3)Lucru de grup: Timp limitat: 4 min. + 2 min. verificări. (Sunt combinate două birouri cu studenți, iar un lider este selectat în cadrul grupului).

Pentru fiecare grup, sarcinile sunt distribuite pe 3 niveluri. Elevii aleg sarcinile pe niveluri, (după cum doresc). Rezolvarea problemelor privind construcția punctelor. Discutați construcția sub supravegherea liderului. Apoi răspunsul corect este afișat pe tablă cu ajutorul unui codoscop. Toată lumea verifică dacă punctele sunt proiectate corect. Cu ajutorul liderului de grup, notele sunt date pe teme și în fișe de autocontrol (vezi. Anexa 2 Și Anexa 3 ).

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂȚII. REFLECŢIE

„Poza faraonului”- stai pe marginea unui scaun, indrepta spatele, indoaie bratele la coate, incruciseaza picioarele si pune-te pe degetele de la picioare. Inspirați, strângeți toți mușchii corpului în timp ce țineți respirația, expirați. Faceți de 2-3 ori. Închideți bine ochii, spre stele, deschideți. Marcați-vă starea de spirit.

ETAPA III. PARTEA PRACTICĂ. (sarcini individuale)

Există carduri de sarcini din care să alegeți cu diferite niveluri. Elevii își aleg singur opțiunea. Găsiți proiecțiile punctelor de pe suprafața unui obiect. Lucrările sunt predate și evaluate pentru următoarea lecție. (Cm. Anexa 4 , Anexa 5 , Anexa 6 ).

ETAPA IV. FINAL

1) Temă pentru acasă. (Instrucțiune). Efectuat pe niveluri:

B - înțelegere, pe „3”. Exercițiul 1 fig. 94a p. 77 - conform temei din manual: completați proiecțiile lipsă de puncte pe aceste proiecții.

B - cerere, pe „4”. Exercițiul 1 Fig. 94 a, b. completați proiecțiile lipsă și marcați vârfurile pe imaginea vizuală din 94a și 94b.

A - analiză, pe „5”. (Dificultate crescută.) Ex. 4 fig.97 - construiți proiecțiile lipsă de puncte și desemnați-le cu litere. Nu există nicio imagine vizuală.

2)Analiza reflexivă.

1. Determinați starea de spirit la sfârșitul lecției, marcați-o pe foaia de autocontrol cu ​​orice semn.
2. Ce nou ai învățat la lecția de astăzi?
3. Ce formă de muncă este cea mai eficientă pentru tine: grup, individual și ți-ai dori să fie repetată în lecția următoare?
4. Colectați liste de verificare.

3)„Profesor greșit”

Profesor: Ați învățat să construiți proiecții de vârfuri, muchii, fețe și puncte pe suprafața unui obiect, urmând toate regulile de construcție. Dar aici vi s-a dat un desen, unde sunt erori. Acum încearcă-te ca profesor. Găsiți singur greșelile, dacă găsiți toate cele 8–6 greșeli, atunci scorul este „5”, respectiv; 5–4 erori - „4”, 3 erori - „3”.

Raspunsuri:

Poziția unui punct în spațiu poate fi specificată prin cele două proiecții ortogonale ale sale, de exemplu, orizontală și frontală, frontală și de profil. Combinația oricăror două proiecții ortogonale vă permite să aflați valoarea tuturor coordonatelor unui punct, să construiți o a treia proiecție, să determinați octantul în care se află. Să luăm în considerare câteva sarcini tipice din cursul geometriei descriptive.

Conform desenului complex dat al punctelor A și B, este necesar:

Să determinăm mai întâi coordonatele punctului A, care pot fi scrise sub forma A (x, y, z). Proiecția orizontală a punctului A este punctul A ", având coordonatele x, y. Desenați din punctul A" perpendiculare pe axele x, y și găsiți, respectiv, A x, A y. Coordonata x pentru punctul A este egală cu lungimea segmentului A x O cu semn plus, deoarece A x se află în regiunea valorilor pozitive ale axei x. Luând în considerare scara desenului, găsim x \u003d 10. Coordonata y este egală cu lungimea segmentului A y O cu semnul minus, deoarece t. A y se află în regiunea valorilor negative ale axei y . Având în vedere scara desenului, y = -30. Proiecția frontală a punctului A - punctul A"" are coordonatele x și z. Să lăsăm perpendiculara de la A"" la axa z și să găsim A z . Coordonata z a punctului A este egală cu lungimea segmentului A z O cu semnul minus, deoarece A z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Având în vedere scara desenului, z = -10. Astfel, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10).

Coordonatele punctului B pot fi scrise ca B (x, y, z). Luați în considerare proiecția orizontală a punctului B - punctul B. „Deoarece se află pe axa x, atunci B x \u003d B” și coordonatele B y \u003d 0. Abscisa x a punctului B este egală cu lungimea segmentului B x O cu semnul plus. Ținând cont de scara desenului, x = 30. Proiecția frontală a punctului B - punctul B˝ are coordonatele x, z. Desenați o perpendiculară de la B"" pe axa z, găsind astfel B z . Aplicația z a punctului B este egală cu lungimea segmentului B z O cu semnul minus, deoarece B z se află în regiunea valorilor negative ale axei z. Ținând cont de scara desenului, determinăm valoarea z = -20. Deci coordonatele B sunt (30, 0, -20). Toate construcțiile necesare sunt prezentate în figura de mai jos.

Construirea proiecțiilor punctelor

Punctele A și B din planul P 3 au următoarele coordonate: A""" (y, z); B""" (y, z). În acest caz, A"" și A""" se află pe aceeași perpendiculară pe axa z, deoarece au o coordonată z comună. În același mod, B"" și B""" se află pe o perpendiculară comună la axa z. Pentru a găsi proiecția profilului lui t. A, lăsăm deoparte de-a lungul axei y valoarea coordonatei corespunzătoare găsite mai devreme. În figură, acest lucru se face folosind un arc de cerc cu raza A y O. După aceea, desenăm o perpendiculară de la A y la intersecția cu perpendiculara restabilită din punctul A "" la axa z. Punctul de intersecție al acestor două perpendiculare determină poziția lui A""".

Punctul B""" se află pe axa z, deoarece ordonata y a acestui punct este zero. Pentru a găsi proiecția de profil a punctului B în această problemă, este necesar doar să desenați o perpendiculară de la B"" la z -axa.Punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu axa z este B """.

Determinarea poziției punctelor în spațiu

Imaginând vizual un aspect spațial compus din planuri de proiecție P 1, P 2 și P 3, locația octanților, precum și ordinea transformării aspectului în diagrame, puteți determina direct că t. A este situat în octantul III, iar t. B se află în planul P 2 .

O altă opțiune pentru rezolvarea acestei probleme este metoda excepțiilor. De exemplu, coordonatele punctului A sunt (10, -30, -10). Abscisa pozitivă x face posibilă aprecierea că punctul este situat în primii patru octanți. O ordonată y negativă indică faptul că punctul se află în al doilea sau al treilea octant. În cele din urmă, aplicația negativă a lui z indică faptul că punctul A se află în al treilea octant. Raționamentul dat este ilustrat clar de următorul tabel.

Octanți	Semne de coordonare
	X	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Coordonatele punctului B (30, 0, -20). Deoarece ordonata lui t. B este egală cu zero, acest punct este situat în planul de proiecție П 2 . Abscisa pozitivă și aplicatul negativ al punctului B indică faptul că acesta este situat la granița octanților trei și patru.

Construirea unei imagini vizuale a punctelor din sistemul de planuri P 1, P 2, P 3

Folosind proiecția izometrică frontală, am construit un aspect spațial al celui de-al treilea octant. Este un triedru dreptunghiular, ale cărui fețe sunt planele P 1, P 2, P 3, iar unghiul (-y0x) este de 45 º. În acest sistem, segmentele de-a lungul axelor x, y, z vor fi reprezentate în dimensiune completă, fără distorsiuni.

Construcția unei imagini vizuale a punctului A (10, -30, -10) va începe cu proiecția sa orizontală A ". După ce lăsăm deoparte coordonatele corespunzătoare de-a lungul abscisei și ordonatelor, găsim punctele A x și A y. intersecția perpendicularelor restaurate din A x și respectiv A y pe axele x și y determină poziția punctului A”. Punând de la A" paralel cu axa z spre valorile sale negative segmentul AA", a cărui lungime este egală cu 10, găsim poziția punctului A.

O imagine vizuală a punctului B (30, 0, -20) este construită într-un mod similar - în planul P 2, coordonatele corespunzătoare trebuie trasate de-a lungul axelor x și z. Intersecția perpendicularelor reconstruite din B x și B z va determina poziția punctului B.

Studiul proprietăților figurilor în spațiu și pe un plan este imposibil fără a cunoaște distanțele dintre un punct și obiecte geometrice precum o dreaptă și un plan. În acest articol, vom arăta cum să găsim aceste distanțe luând în considerare proiecția unui punct pe un plan și pe o dreaptă.

Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale

Calculul distanțelor dintre un punct și o dreaptă și un plan se realizează folosind proiecția acestuia pe aceste obiecte. Pentru a putea găsi aceste proiecții, ar trebui să știm sub ce formă sunt date ecuațiile pentru drepte și plane. Să începem cu primul.

O linie dreaptă este o colecție de puncte, fiecare dintre acestea putând fi obținute de la precedentul prin transferarea la vectori paraleli între ei. De exemplu, există un punct M și N. Vectorul MN¯ care le conectează mapează M la N. Există și un al treilea punct P. Dacă vectorul MP¯ sau NP¯ este paralel cu MN¯, atunci toate cele trei puncte se află pe aceeași linie și formați-o.

În funcție de dimensiunea spațiului, ecuația care definește linia dreaptă își poate schimba forma. Deci, binecunoscuta dependență liniară a coordonatei y de x în spațiu descrie un plan care este paralel cu a treia axă z. În acest sens, în acest articol vom lua în considerare doar ecuația vectorială pentru o dreaptă. Are aceeași formă pentru spațiul plan și tridimensional.

În spațiu, o linie dreaptă poate fi dată prin următoarea expresie:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Aici, valorile coordonatelor cu indici zero corespund unui punct aparținând dreptei, u¯(a; b; c) sunt coordonatele vectorului de direcție care se află pe linia dată, α este un număr real arbitrar, schimbând care puteți obține toate punctele liniei. Această ecuație se numește vector.

Adesea, ecuația de mai sus este scrisă în formă extinsă:

În mod similar, puteți scrie o ecuație pentru o dreaptă care se află într-un plan, adică în spațiu bidimensional:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Ecuația plană

Pentru a putea găsi distanța de la un punct la planurile de proiecție, trebuie să știți cum este specificat un plan. La fel ca o linie dreaptă, aceasta poate fi reprezentată în mai multe moduri. Aici considerăm doar una: ecuația generală.

Să presupunem că punctul M(x 0 ; y 0 ; z 0) aparține planului, iar vectorul n¯(A; B; C) este perpendicular pe acesta, atunci pentru toate punctele (x; y; z) ale plan egalitatea va fi valabilă:

A*x + B*y + C*z + D = 0 unde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Trebuie amintit că în această ecuație generală a planului, coeficienții A, B și C sunt coordonatele vectorului normal la plan.

Calculul distanțelor după coordonate

Înainte de a trece la considerarea proiecțiilor pe planul unui punct și pe o linie dreaptă, trebuie amintit cum ar trebui calculată distanța dintre două puncte cunoscute.

Să fie două puncte spațiale:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) și A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Apoi, distanța dintre ele se calculează cu formula:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

Folosind această expresie se determină și lungimea vectorului A 1 A 2 ¯.

Pentru cazul în plan, când două puncte sunt date doar de o pereche de coordonate, putem scrie o egalitate similară fără prezența unui termen cu z în el:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Acum luăm în considerare diverse cazuri de proiecție pe un plan a unui punct pe o dreaptă și pe un plan în spațiu.

Punctul, linia și distanța dintre ele

Să presupunem că există un punct și o linie:

P2 (x1; y1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Distanța dintre aceste obiecte geometrice va corespunde lungimii vectorului, începutul căruia se află în punctul P 2 , iar sfârșitul este situat într-un punct P pe linia specificată, pentru care vectorul P 2 P ¯ este perpendicular. la această linie. Punctul P se numește proiecția punctului P 2 pe dreapta luată în considerare.

Figura de mai jos prezintă punctul P 2 , distanța sa d față de linia dreaptă, precum și vectorul de ghidare v 1 ¯. De asemenea, un punct arbitrar P 1 este ales pe linie și un vector este trasat de la acesta la P 2. Punctul P coincide aici cu locul în care perpendiculara intersectează dreapta.

Se poate observa că săgețile portocalii și roșii formează un paralelogram, ale cărui laturi sunt vectorii P 1 P 2 ¯ și v 1 ¯, iar înălțimea este d. Din geometrie se știe că pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, aria acestuia trebuie împărțită la lungimea bazei, pe care este coborâtă perpendiculara. Deoarece aria unui paralelogram este calculată ca produs vectorial laturile sale, atunci obținem formula pentru calcularea d:

d = ||/|v 1 ¯|

Toți vectorii și coordonatele punctului din această expresie sunt cunoscuți, așa că o puteți utiliza fără a efectua transformări.

Această problemă ar fi putut fi rezolvată altfel. Pentru aceasta, trebuie scrise două ecuații:

• produsul scalar al lui P 2 P ¯ și v 1 ¯ trebuie să fie egal cu zero, deoarece acești vectori sunt reciproc perpendiculari;
• coordonatele punctului P trebuie să satisfacă ecuația unei drepte.

Aceste ecuații sunt suficiente pentru a găsi coordonatele P și apoi lungimea d folosind formula dată în paragraful anterior.

Aflarea distanței dintre o linie și un punct

Să arătăm cum să folosim aceste informații teoretice pentru a rezolva o problemă specifică. Să presupunem că sunt cunoscute următoarele puncte și drepte:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Este necesar să găsiți punctele de proiecție pe linia din plan, precum și distanța de la M la linie.

Notați proiecția care trebuie găsită prin punctul M 1 (x 1 ; y 1). Rezolvăm această problemă în două moduri, descrise în paragraful anterior.

Metoda 1. Vectorul de direcție v 1 ¯ coordonatele are (0; 2). Pentru a construi un paralelogram, selectăm un punct aparținând dreptei. De exemplu, un punct cu coordonate (3; 1). Atunci vectorul celei de-a doua laturi a paralelogramului va avea coordonatele:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Acum ar trebui să calculați produsul vectorilor care definesc laturile paralelogramului:

Inlocuim aceasta valoare in formula, obtinem distanta d de la M la dreapta:

Metoda 2. Acum să găsim în alt mod nu numai distanța, ci și coordonatele proiecției lui M pe linie dreaptă, așa cum este cerut de condiția problemei. După cum am menționat mai sus, pentru a rezolva problema, este necesar să se compună un sistem de ecuații. Acesta va lua forma:

(x1-5)*0+(y1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Să rezolvăm acest sistem:

Proiecția punctului inițial al coordonatei are M 1 (3; -3). Atunci distanța dorită este:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

După cum puteți vedea, ambele metode de rezolvare au dat același rezultat, ceea ce indică corectitudinea operațiilor matematice efectuate.

Proiectia unui punct pe un plan

Acum luați în considerare care este proiecția unui punct dat în spațiu pe un anumit plan. Este ușor de ghicit că această proiecție este și un punct, care, împreună cu cel original, formează un vector perpendicular pe plan.

Să presupunem că proiecția pe planul punctului M are următoarele coordonate:

Planul în sine este descris de ecuația:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Pe baza acestor date, putem formula ecuația unei drepte care intersectează planul în unghi drept și care trece prin M și M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Aici, variabilele cu indici zero sunt coordonatele punctului M. Poziția pe planul punctului M 1 poate fi calculată pe baza faptului că coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ambele ecuații scrise. Dacă aceste ecuații nu sunt suficiente la rezolvarea problemei, atunci se poate folosi condiția de paralelism a lui MM 1 ¯ și vectorul de ghidare pentru un plan dat.

Evident, proiecția unui punct aparținând planului coincide cu ea însăși, iar distanța corespunzătoare este zero.

Problemă cu punctul și planul

Fie dat un punct M(1; -1; 3) și un plan, care este descris prin următoarele ecuație generală:

Ar trebui să calculați coordonatele proiecției pe planul punctului și să calculați distanța dintre aceste obiecte geometrice.

Pentru început, construim ecuația unei drepte care trece prin M și perpendiculară pe planul specificat. Arată ca:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Să notăm punctul în care această dreaptă intersectează planul, M 1 . Egalitățile pentru un plan și o dreaptă trebuie să fie îndeplinite dacă coordonatele M 1 sunt substituite în ele. Scriind în mod explicit ecuația unei linii drepte, obținem următoarele patru egalități:

X1 + 3*y1-2*z1 + 4 = 0;

y 1 \u003d -1 + 3 * α;

Din ultima egalitate obținem parametrul α, apoi îl substituim în penultima și în a doua expresie, obținem:

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2

Inlocuim expresia pentru y 1 si x 1 in ecuatia pentru plan, avem:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

De unde obținem:

y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3,5 \u003d 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Am stabilit că proiecția punctului M pe un plan dat corespunde coordonatelor (4/7; 2/7; 15/7).

Acum să calculăm distanța |MM 1 ¯|. Coordonatele vectorului corespunzător sunt:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Distanța necesară este:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Trei puncte de proiecție

În timpul pregătirii desenelor, este adesea necesar să se obțină proiecții ale secțiunilor pe trei planuri reciproc perpendiculare. Prin urmare, este util să luăm în considerare care vor fi proiecțiile unui punct M cu coordonate (x 0 ; y 0 ; z 0) pe trei planuri de coordonate.

Nu este greu de demonstrat că planul xy este descris de ecuația z = 0, planul xz corespunde expresiei y = 0, iar planul yz rămas este notat cu egalitatea x = 0. Este ușor de ghicit că proiecțiile unui punct pe 3 plane vor fi egale:

pentru x = 0: (0; y 0; z 0);

pentru y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

pentru z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Unde este important să cunoaștem proiecțiile unui punct și distanțele acestuia față de avioane?

Determinarea poziției proiecției punctelor pe un plan dat este importantă atunci când se găsesc cantități precum aria suprafeței și volumul pentru prisme și piramide înclinate. De exemplu, distanța de la vârful piramidei până la planul bazei este înălțimea. Acesta din urmă este inclus în formula pentru volumul acestei cifre.

Formulele și metodele luate în considerare pentru determinarea proiecțiilor și distanțelor de la un punct la o dreaptă și un plan sunt destul de simple. Este important doar să vă amintiți formele corespunzătoare ale ecuațiilor planului și dreptei și, de asemenea, să aveți o bună imaginație spațială pentru a le aplica cu succes.