Acasă » clasa a 3-a » Transformarea expresiilor raționale, tipuri de transformări, exemple. Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor Transformarea identitară a expresiilor raționale fracționale

Transformarea expresiilor raționale, tipuri de transformări, exemple. Informații de bază despre expresiile raționale și transformările lor Transformarea identitară a expresiilor raționale fracționale

În primul rând, pentru a învăța cum să lucrezi cu fracții raționale fără erori, trebuie să înveți formulele de înmulțire abreviată. Și nu doar pentru a învăța - ele trebuie recunoscute chiar și atunci când sinusurile, logaritmii și rădăcinile acționează ca termeni.

Cu toate acestea, instrumentul principal este factorizarea numărătorului și numitorului unei fracții raționale. Acest lucru poate fi realizat în trei moduri diferite:

De fapt, conform formulei de înmulțire prescurtată: vă permit să restrângeți un polinom în unul sau mai mulți factori;
Prin factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant. Aceeași metodă face posibilă verificarea faptului că orice trinom nu poate fi factorizat deloc;
Metoda de grupare este cel mai complex instrument, dar este singurul care funcționează dacă cele două anterioare nu au funcționat.

După cum probabil ați ghicit din titlul acestui videoclip, vom vorbi din nou despre fracțiile raționale. Literal acum câteva minute, am terminat o lecție cu un elev de clasa a zecea și acolo am analizat tocmai aceste expresii. Prin urmare, această lecție va fi destinată special elevilor de liceu.

Cu siguranță mulți vor avea acum o întrebare: „De ce elevii din clasele 10-11 învață lucruri atât de simple precum fracțiile raționale, pentru că asta se face în clasa a 8-a?”. Dar asta e necazul, că majoritatea oamenilor doar „trec prin” acest subiect. Ei din clasa a 10-a-11-a nu-și mai amintesc cum se fac înmulțirea, împărțirea, scăderea și adunarea fracțiilor raționale din clasa a 8-a și tocmai pe aceste cunoștințe simple se construiesc în continuare construcții mai complexe, cum ar fi rezolvarea logaritmică, ecuații trigonometriceși multe alte expresii complexe, așa că practic nu este nimic de făcut în liceu fără fracții raționale.

Formule pentru rezolvarea problemelor

Sa trecem la treaba. În primul rând, avem nevoie de două fapte - două seturi de formule. În primul rând, trebuie să cunoașteți formulele pentru înmulțirea prescurtată:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ este pătratul sumei sau al diferenței ;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

În forma lor pură, ele nu se găsesc în niciun exemplu și în expresii reale serioase. Prin urmare, sarcina noastră este să învățăm să vedem construcții mult mai complexe sub literele $a$ și $b$, de exemplu, logaritmi, rădăcini, sinusuri etc. Poate fi învățat doar printr-o practică constantă. De aceea rezolvarea fracțiilor raționale este absolut necesară.

A doua formulă, destul de evidentă, este factorizarea unui trinom pătrat:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sunt rădăcini.

Ne-am ocupat de partea teoretică. Dar cum să rezolvi fracțiile raționale reale, care sunt luate în considerare în clasa a 8-a? Acum mergem să exersăm.

Sarcina 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să încercăm să aplicăm formulele de mai sus la rezolvarea fracțiilor raționale. În primul rând, vreau să explic de ce este necesară factorizarea. Cert este că, la prima vedere la prima parte a sarcinii, vreau să reduc cubul cu pătratul, dar acest lucru este absolut imposibil, deoarece sunt termeni la numărător și la numitor, dar în niciun caz nu sunt factori. .

Ce este mai exact o abreviere? Reducerea este utilizarea regulii de bază pentru a lucra cu astfel de expresii. Proprietatea principală a unei fracții este că putem înmulți numărătorul și numitorul cu același număr, altul decât „zero”. În acest caz, când reducem, atunci, dimpotrivă, împărțim la același număr, altul decât „zero”. Cu toate acestea, trebuie să împărțim toți termenii din numitor la același număr. Nu poți face asta. Și avem dreptul să reducem numărătorul cu numitorul numai atunci când ambele sunt factorizate. S-o facem.

Acum trebuie să vedeți câți termeni sunt într-un anumit element, în conformitate cu acesta, aflați ce formulă trebuie să utilizați.

Să transformăm fiecare expresie într-un cub exact:

Să rescriem numărătorul:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Să ne uităm la numitor. Îl extindem conform formulei diferenței de pătrate:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ dreapta)\]

Acum să ne uităm la a doua parte a expresiei:

Numărător:

Rămâne să ne ocupăm de numitorul:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Să rescriem întreaga construcție, ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuanțe ale înmulțirii fracțiilor raționale

Concluzia cheie a acestor construcții este următoarea:

Nu orice polinom poate fi factorizat.
Chiar dacă este descompus, este necesar să ne uităm cu atenție la ce formulă specială pentru înmulțirea prescurtată.

Pentru a face acest lucru, mai întâi, trebuie să estimăm câți termeni există (dacă sunt doi, atunci tot ce putem face este să-i extindem fie prin suma diferenței pătratelor, fie prin suma sau diferența cuburilor; și dacă sunt trei dintre ele, apoi aceasta , în mod unic, fie pătratul sumei, fie pătratul diferenței). Se întâmplă adesea ca fie numărătorul, fie numitorul să nu necesite deloc factorizare, poate fi liniar sau discriminantul său va fi negativ.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

În general, schema de rezolvare a acestei probleme nu este diferită de cea anterioară - pur și simplu vor exista mai multe acțiuni și vor deveni mai diverse.

Să începem cu prima fracție: uită-te la numărătorul ei și fă posibile transformări:

Acum să ne uităm la numitor:

Cu a doua fracție: nu se poate face nimic la numărător, deoarece este o expresie liniară și este imposibil să scoți vreun factor din ea. Să ne uităm la numitor:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]

Trecem la a treia fracțiune. Numărător:

Să ne ocupăm de numitorul ultimei fracții:

Să rescriem expresia ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \dreapta))\]

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, nu totul și nu întotdeauna se bazează pe formulele de înmulțire abreviate - uneori este suficient să puneți în paranteză o constantă sau o variabilă. Există însă și situația inversă, când există atât de mulți termeni sau sunt construiți în așa fel încât formula de înmulțire prescurtată la ei este în general imposibilă. În acest caz, ne vine în ajutor un instrument universal și anume metoda grupării. Aceasta este ceea ce vom aplica acum în următoarea problemă.

Sarcina #3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Să aruncăm o privire la prima parte:

\[((a)^(2))+ab=a\stanga(a+b\dreapta)\]

\[=5\left(ab\dreapta)-\left(ab\dreapta)\left(a+b\right)=\left(ab\dreapta)\left(5-1\left(a+b\right) )\dreapta)=\]

\[=\stanga(a-b\dreapta)\stanga(5-a-b\dreapta)\]

Să rescriem expresia originală:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(ab \right)\left(5-ab \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \dreapta)\]

Deoarece două elemente nu au putut fi grupate, am grupat trei. Rămâne să ne ocupăm doar de numitorul ultimei fracții:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\stanga(a-b \dreapta)\stanga(a+b \dreapta)\]

Acum să rescriem întreaga noastră structură:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(ab\right)\left(5-ab \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(ab \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(ab \right))^(2)))\]

Problema este rezolvată și nu se mai poate simplifica nimic aici.

Nuanțe ale soluției

Ne-am dat seama de grupare și am primit un alt instrument foarte puternic care extinde posibilitățile de factorizare. Dar problema este că în viata reala nimeni nu ne va da exemple atât de rafinate, unde există mai multe fracții, pentru care trebuie doar să factorizați numărătorul și numitorul și apoi, dacă este posibil, să le reduceți. Expresiile reale vor fi mult mai complicate.

Cel mai probabil, pe lângă înmulțire și împărțire, vor exista scăderi și adunări, tot felul de paranteze - în general, va trebui să țineți cont de ordinea acțiunilor. Dar cel mai rău lucru este că atunci când se scad și se adună fracții cu numitori diferiți, acestea vor trebui reduse la una comună. Pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele va trebui să fie descompus în factori, iar apoi aceste fracții vor fi transformate: dați altele similare și multe altele. Cum să o faci corect, rapid și, în același timp, să obții răspunsul corect fără ambiguități? Despre aceasta vom vorbi acum folosind exemplul construcției următoare.

Sarcina #4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \dreapta)\]

Să scriem prima fracție și să încercăm să o rezolvăm separat:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Să trecem la al doilea. Să calculăm discriminantul numitorului:

Nu se factorizează, așa că scriem următoarele:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Scriem separat numeratorul:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Prin urmare, acest polinom nu poate fi factorizat.

Maximul pe care l-am putut face și descompune, l-am făcut deja.

În total, rescriem construcția noastră originală și obținem:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Totul, sarcina este rezolvată.

Sincer să fiu, nu a fost o sarcină atât de dificilă: totul a fost ușor de luat în calcul acolo, termeni similari au fost dați rapid și totul a fost frumos redus. Deci acum să încercăm să rezolvăm problema mai serios.

Sarcina numărul 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

În primul rând, să ne ocupăm de prima paranteză. De la bun început, factorăm separat numitorul celei de-a doua fracții:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \dreapta)\stanga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să lucrăm cu a doua fracție:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ stânga(x-2 \dreapta))(\stanga (x-2 \dreapta)\stanga (x+2 \dreapta))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Ne întoarcem la designul nostru original și scriem:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Puncte cheie

Încă o dată, faptele cheie ale tutorialului video de astăzi:

Trebuie să știi pe de rost formulele de înmulțire prescurtată – și nu doar să știi, ci să poți vedea în acele expresii pe care le vei întâlni în probleme reale. O regulă minunată ne poate ajuta cu asta: dacă există doi termeni, atunci aceasta este fie diferența de pătrate, fie diferența sau suma cuburilor; dacă trei, poate fi doar pătratul sumei sau al diferenței.
Dacă orice construcție nu poate fi descompusă folosind formule de înmulțire abreviate, atunci ne vine în ajutor fie formula standard pentru factorizarea trinoamelor în factori, fie metoda grupării.
Dacă ceva nu funcționează, priviți cu atenție expresia originală - și dacă sunt necesare transformări cu ea. Poate că va fi suficient doar să scoateți multiplicatorul din paranteză, iar aceasta este de multe ori doar o constantă.
În expresiile complexe în care trebuie să efectuați mai multe acțiuni la rând, nu uitați să aduceți la un numitor comun și numai după aceea, când toate fracțiile sunt reduse la acesta, asigurați-vă că aduceți același lucru în noul numărător și apoi factorizează din nou noul numărător - este posibil ca - să fie redus.

Atât am vrut să vă spun astăzi despre fracțiile raționale. Dacă ceva nu este clar, există încă o mulțime de tutoriale video pe site, precum și o mulțime de sarcini pentru o soluție independentă. Asa ca ramai cu noi!

>> Matematică: Transformarea expresiilor raționale

Conversia expresiilor raționale

Acest paragraf rezumă tot ce am spus încă din clasa a VII-a despre limbajul matematic, simbolismul matematic, numerele, variabilele, puterile, polinoamele și fracții algebrice. Dar mai întâi, să facem o scurtă digresiune în trecut.

Amintește-ți cum în note mai mici cazul a fost cu studiul numerelor și al expresiilor numerice.

Și, să zicem, o singură etichetă poate fi atașată unei fracții - un număr rațional.

Situația este similară cu expresiile algebrice: prima etapă a studiului lor sunt numerele, variabilele, grade („numerele”); a doua etapă a studiului lor este monomiile („numere naturale”); a treia etapă a studiului lor este polinoamele („numere întregi”); a patra etapă a studiului lor – fracțiile algebrice
("numere rationale"). Mai mult, fiecare etapă următoare, așa cum spune, o absoarbe pe cea anterioară: de exemplu, numerele, variabilele, gradele sunt cazuri speciale de monomii; monomiile sunt cazuri speciale de polinoame; polinoamele sunt cazuri speciale de fracții algebrice. Apropo, în algebră se folosesc uneori următorii termeni: un polinom este un număr întreg expresie, o fracție algebrică este o expresie fracțională (acest lucru nu face decât să întărească analogia).

Să continuăm cu analogia de mai sus. Știți că orice expresie numerică, după efectuarea tuturor operațiilor aritmetice incluse în ea, capătă o anumită valoare numerică - un număr rațional (desigur, se poate dovedi a fi un număr natural, un întreg sau o fracție - nu nu contează). În mod similar, orice expresie algebrică compusă din numere și variabile care utilizează operații aritmetice și ridică la un natural grad, după transformări, ia forma unei fracții algebrice și din nou, în special, se poate dovedi a nu fi o fracție, ci un polinom sau chiar un monom). Pentru astfel de expresii în algebră se folosește termenul expresie rațională.

Exemplu. Dovediți identitatea

Soluţie.
A dovedi o identitate înseamnă a stabili că pentru toate valorile admisibile ale variabilelor, părțile din stânga și din dreapta acesteia sunt expresii identice egale. În algebră, identitățile sunt dovedite în diferite moduri:

1) efectuați transformări ale părții stângi și obțineți ca rezultat partea dreaptă;

2) efectuați transformări ale părții drepte și obțineți ca rezultat partea stângă;

3) convertiți separat părțile din dreapta și din stânga și obțineți aceeași expresie în primul și al doilea caz;

4) faceți diferența dintre părțile din stânga și din dreapta și, ca urmare a transformărilor sale, obțineți zero.

Ce metodă să alegeți depinde de tipul specific identități pe care vi se cere să dovediți. În acest exemplu, este recomandabil să alegeți prima metodă.

Pentru a converti expresiile raționale, se adoptă aceeași procedură ca și pentru conversia expresiilor numerice. Aceasta înseamnă că mai întâi sunt efectuate acțiunile dintre paranteze, apoi acțiunile etapei a doua (înmulțire, împărțire, exponențiere), apoi acțiunile primei etape (adunare, scădere).

Să facem transformări prin acțiuni, pe baza acelor reguli, algoritmi care au fost dezvoltate în paragrafele precedente.

După cum puteți vedea, am reușit să transformăm partea stângă a identității testate în forma părții drepte. Aceasta înseamnă că identitatea a fost dovedită. Totuși, reamintim că identitatea este valabilă numai pentru valorile admisibile ale variabilelor. Cele din acest exemplu sunt orice valori ale lui a și b, cu excepția celor care transformă numitorii fracțiilor la zero. Aceasta înseamnă că orice pereche de numere (a; b) sunt admisibile, cu excepția celor pentru care cel puțin una dintre egalități este îndeplinită:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovich A. G., Algebră. Nota 8: Proc. pentru invatamantul general instituţii.- ed. a III-a, finalizat. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: ill.

O listă completă de subiecte pe clasă, un plan calendaristic conform curiculumul scolar la matematică online, material video la matematică pentru clasa a 8-a descărcare

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole cipuri pentru pătuțuri curioase manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment în manual elemente de inovare în lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte planul calendaristic pentru anul instrucțiuni programe de discuții Lecții integrate

Lecție și prezentare pe tema: „Transformarea expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VIII-a
Manual pentru manualul Muravina G.K. Manual pentru manualul Makarychev Yu.N.

Conceptul de exprimare rațională

Conceptul de „expresie rațională” este similar cu conceptul de „fracție rațională”. Expresia este reprezentată și ca o fracție. Numai în numărătorii noștri nu sunt numere, ci diferite tipuri de expresii. Cel mai adesea acesta este un polinom. O fracție algebrică este o expresie fracțională formată din numere și variabile.

La rezolvarea multor probleme din clasele elementare, după efectuarea operațiilor aritmetice, am primit valori numerice specifice, cel mai adesea fracții. Acum, după efectuarea operațiilor, vom primi fracții algebrice. Băieți, amintiți-vă: pentru a obține răspunsul corect, trebuie să simplificați cât mai mult expresia cu care lucrați. Trebuie să obțineți cel mai mic grad posibil; expresiile identice în numărători și numitori ar trebui reduse; cu expresii care pot fi prăbușite, trebuie să faci asta. Adică, după efectuarea unei serii de acțiuni, ar trebui să obținem cea mai simplă fracție algebrică posibilă.

Ordinea operațiilor cu expresii raționale

Procedura de efectuare a operațiilor cu expresii raționale este aceeași ca și pentru operațiile aritmetice. Mai întâi se efectuează operații între paranteze, apoi înmulțirea și împărțirea, exponențiarea și, în final, adunarea și scăderea.

A demonstra o identitate înseamnă a arăta că pentru toate valorile variabilelor, părțile din dreapta și din stânga sunt egale. Există o mulțime de exemple cu dovada identităților.

Principalele metode de rezolvare a identităților sunt:

Transformați partea stângă la egalitate cu dreapta.
Transformă partea dreaptă în egalitate cu stânga.
Transformați părțile stânga și dreapta separat până când se obține aceeași expresie.
Partea dreaptă este scăzută din partea stângă, iar rezultatul ar trebui să fie zero.

Transformarea expresiilor raționale. Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1
Dovediți identitatea:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Soluţie.
Evident, trebuie să transformăm partea stângă.
Să facem mai întâi parantezele:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

Este necesar să încercați să scoateți la maximum multiplicatorii comuni.
2) Să transformăm expresia cu care împărțim:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Efectuați operația de împărțire:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Efectuați operația de adăugare:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Părțile din dreapta și din stânga se potriveau. Deci identitatea este dovedită.
Băieți, când am rezolvat acest exemplu, aveam nevoie de cunoștințe despre multe formule și operații. Vedem că după transformare, expresia mare s-a transformat într-una complet mică. Când se rezolvă aproape toate problemele, transformările duc de obicei la expresii simple.

Exemplul 2
Simplificați expresia:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Soluţie.
Să începem cu primele paranteze.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Să transformăm a doua paranteză.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((ab )(a+b))=\frac(a(ab)-a^2)((ab)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Să facem împărțirea.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((ab)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((ab)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Răspuns: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Exemplul 3
Urmați acești pași:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Soluţie.
Ca întotdeauna, începeți cu paranteze.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Acum să facem împărțirea.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Să folosim proprietatea: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Să efectuăm operația de scădere.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

După cum am spus mai devreme, este necesar să simplificăm cât mai mult posibil fracția.
Răspuns: $\frac(k)(k-4)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Demonstrați identitatea:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplificați expresia:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Urmați pașii:

$(\frac(ab)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((ab)(a+b))+\frac(ab)((ab)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

În lecția anterioară a fost deja introdus conceptul de expresie rațională, în lecția de astăzi continuăm să lucrăm cu expresii raționale și să ne concentrăm pe transformările acestora. Folosind exemple concrete, vom lua în considerare metode de rezolvare a problemelor privind transformările expresiilor raționale și demonstrarea identităților asociate acestora.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Conversia expresiilor raționale

Să ne amintim mai întâi definiția unei expresii raționale.

Definiție.Raţionalexpresie- o expresie algebrică care nu conține rădăcini și include doar operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire (exponentiare).

Prin termenul „transforma o expresie rațională” înțelegem, în primul rând, simplificarea ei. Și aceasta se realizează în ordinea acțiunilor cunoscute nouă: mai întâi, acțiunile între paranteze, apoi produs al numerelor(exponentiație), împărțirea numerelor și apoi operații de adunare/scădere.

Scopul principal al lecției de astăzi va fi de a câștiga experiență în rezolvarea unor probleme mai complexe de simplificare a expresiilor raționale.

Exemplul 1

Soluţie. La început poate părea că aceste fracții pot fi reduse, deoarece expresiile din numărătorii fracțiilor sunt foarte asemănătoare cu formulele pentru pătratele complete ale numitorilor corespunzători. În acest caz, este important să nu vă grăbiți, ci să verificați separat dacă este așa.

Să verificăm numărătorul primei fracții: . Acum al doilea numărător: .

După cum puteți vedea, așteptările noastre nu au fost justificate, iar expresiile din numărători nu sunt pătrate perfecte, deoarece nu au o dublare a produsului. Astfel de expresii, dacă ne amintim de cursul clasei a VII-a, se numesc pătrate incomplete. Ar trebui să fii foarte atent în astfel de cazuri, deoarece confundarea formulei pătrate complete cu una incompletă este o greșeală foarte frecventă, iar astfel de exemple testează atenția elevului.

Deoarece reducerea este imposibilă, vom efectua adăugarea fracțiilor. Numitorii nu au factori comuni, așa că pur și simplu se înmulțesc pentru a obține cel mai mic numitor comun, iar factorul suplimentar pentru fiecare fracție este numitorul celeilalte fracții.

Desigur, apoi puteți deschide parantezele și apoi aduceți termeni similari, totuși, în acest caz, vă puteți descurca cu mai puțin efort și puteți observa că la numărător primul termen este formula pentru suma cuburilor, iar al doilea este diferența de cuburi. Pentru comoditate, amintim aceste formule în formă generală:

În cazul nostru, expresiile din numărător sunt pliate după cum urmează:

, a doua expresie este similară. Avem:

Răspuns..

Exemplul 2 Simplificați expresia rațională .

Soluţie. Acest exemplu este similar cu cel precedent, dar este imediat clar că există pătrate incomplete în numărătorii fracțiilor, deci reducerea cu stadiul inițial solutiile sunt imposibile. În mod similar cu exemplul anterior, adăugăm fracții:

Aici noi, în mod similar cu metoda indicată mai sus, am observat și am restrâns expresii conform formulelor pentru suma și diferența de cuburi.

Răspuns..

Exemplul 3 Simplificați expresia rațională.

Soluţie. Puteți vedea că numitorul celei de-a doua fracții este descompus în factori conform formulei sumei cuburilor. După cum știm deja, factorizarea numitorilor este utilă pentru a găsi în continuare cel mai mic numitor comun al fracțiilor.

Indicăm cel mai mic numitor comun al fracțiilor, acesta este egal cu:, deoarece este împărțit la numitorul celei de-a treia fracții, iar prima expresie este în general un număr întreg și orice numitor este potrivit pentru aceasta. După ce am indicat factorii suplimentari evidenti, scriem:

Răspuns.

Luați în considerare un exemplu mai complex cu fracții „cu mai multe etaje”.

Exemplul 4 Demonstrați identitatea pentru toate valorile admisibile ale variabilei.

Dovada. Pentru a demonstra această identitate, vom încerca să simplificăm partea stângă (complexă) la forma simplă care ni se cere. Pentru a face acest lucru, vom efectua toate acțiunile cu fracții în numărător și numitor, apoi vom împărți fracțiile și vom simplifica rezultatul.

Dovedit pentru toate valorile admisibile ale variabilei.

Dovedit.

În lecția următoare, vom arunca o privire mai atentă la exemple mai complexe de transformare a expresiilor raționale.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.

2. Desfăşurarea lecţiei, prezentări, note de clasă ().

Teme pentru acasă

1. Nr 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra 8. - Ed. a V-a. - M.: Educație, 2010.

2. Simplificați expresia .

3. Simplificați expresia.

4. Demonstrați identitatea.

Expresiile și fracțiile raționale sunt piatra de temelie a întregului curs al algebrei. Cei care învață să lucreze cu astfel de expresii, le simplifică și le factorizează, de fapt, vor fi capabili să rezolve orice problemă, deoarece transformarea expresiilor este parte integrantă a oricărei ecuații serioase, inegalități și chiar a unei probleme de cuvinte.

În acest tutorial video, vom vedea cum să aplicăm corect formulele de înmulțire abreviate pentru a simplifica expresiile și fracțiile raționale. Să învățăm să vedem aceste formule în care, la prima vedere, nu există nimic. În același timp, repetăm un truc atât de simplu precum factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant.

După cum probabil ați ghicit deja din formulele din spatele meu, astăzi vom studia formulele de înmulțire prescurtată, sau mai bine zis, nu formulele în sine, ci aplicarea lor pentru a simplifica și reduce expresiile raționale complexe. Dar, înainte de a trece la rezolvarea exemplelor, să aruncăm o privire mai atentă la aceste formule sau să le amintim:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
$((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ este pătratul sumei;
$((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ este diferența la pătrat;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(ab \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

Aș dori, de asemenea, să subliniez că noastre sistem scolar educația este aranjată în așa fel încât să fie cu studiul acestei teme, i.e. expresii raționale, precum și rădăcini, module, toți elevii au aceeași problemă, pe care o voi explica acum.

Cert este că chiar la începutul studierii formulelor de înmulțire prescurtată și, în consecință, a acțiunilor de reducere a fracțiilor (este vorba despre clasa a 8-a), profesorii spun așa ceva: „Dacă ceva nu îți este clar, atunci nu-ți face griji. , vom reveni asupra acestui subiect de mai multe ori, în liceu cu siguranță. O să ne dăm seama mai târziu.” Ei bine, atunci la trecerea claselor 9-10, aceiași profesori le explică acelorași elevi care încă nu știu să rezolve fracții raționale, ceva de genul: „Unde ați fost în ultimii doi ani? La fel s-a studiat la algebră în clasa a VIII-a! Ce poate fi de neînțeles aici? Este atât de evident!”

Cu toate acestea, pentru elevii obișnuiți, astfel de explicații nu le ușurează: amândoi aveau o mizerie în cap și o mai au, așa că acum vom analiza două exemple simple, pe baza căruia vom vedea cum să evidențiem aceste expresii în probleme reale, ceea ce ne va conduce la formulele de înmulțire abreviată și cum să le aplicăm apoi pentru a transforma expresii raționale complexe.

Reducerea fracțiilor raționale simple

Sarcina 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Primul lucru pe care trebuie să-l învățăm este să distingem pătratele exacte și puterile mai mari în expresiile originale, pe baza cărora apoi putem aplica formulele. Să vedem:

Să ne rescriem expresia ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Răspuns: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Sarcina #2

Să trecem la a doua sarcină:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Nu este nimic de simplificat aici, pentru că numărătorul este o constantă, dar am propus această problemă tocmai pentru a învăța cum să factorizezi polinoame care conțin două variabile. Dacă în locul lui ar fi scris un polinom mai jos, cum l-am descompune?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Să rezolvăm ecuația și să găsim $x$ pe care îl putem pune în locul punctelor:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Putem rescrie trinomul după cum urmează:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Am învățat cum să lucrăm cu un trinom pătrat - pentru aceasta a trebuit să înregistrăm această lecție video. Dar dacă, pe lângă $x$ și constantă, există și $y$? Să le privim ca pe un alt element al coeficienților, adică. Să ne rescriem expresia după cum urmează:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Scriem descompunerea construcției noastre pătrate:

\[\stanga(x-y\dreapta)\stanga(x+6y\dreapta)\]

În total, dacă revenim la expresia originală și o rescriem ținând cont de modificări, obținem următoarele:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Ce ne oferă un astfel de record? Nimic, pentru că nu se poate reduce, nu se înmulțește sau se împarte cu nimic. Cu toate acestea, de îndată ce această fracție este parte integrantă expresie mai complexă, o astfel de descompunere va fi utilă. Prin urmare, de îndată ce vedeți un trinom pătrat (indiferent dacă este împovărat cu parametri suplimentari sau nu), încercați întotdeauna să îl factorizați.

Nuanțe ale soluției

Amintiți-vă regulile de bază pentru transformarea expresiilor raționale:

Toți numitorii și numărătorii trebuie factorizați fie prin formule de înmulțire abreviate, fie prin discriminant.
Trebuie să lucrăm după acest algoritm: atunci când ne uităm și încercăm să evidențiem formula de înmulțire prescurtată, atunci, în primul rând, încercăm să traducem totul la gradul maxim posibil. După aceea, scoatem gradul general din paranteze.
Foarte des vor exista expresii cu un parametru: alte variabile vor apărea ca coeficienți. Le găsim folosind formula de expansiune pătratică.

Astfel, de îndată ce vedeți fracții raționale, primul lucru de făcut este să factorizați atât numărătorul, cât și numitorul în factori (în expresii liniare), în timp ce folosim formulele de înmulțire redusă sau discriminantul.

Să ne uităm la câteva astfel de expresii raționale și să încercăm să le descompunem.

Rezolvarea de exemple mai complexe

Sarcina 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Rescriem și încercăm să extindem fiecare termen:

Să rescriem întreaga noastră expresie rațională ținând cont de aceste fapte:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\stanga(3a\dreapta))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Răspuns: $-1$.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Să ne uităm la toate fracțiile.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\stanga(x-2 \dreapta))^(2))\]

Să rescriem întreaga structură ținând cont de modificări:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

Deci, ce tocmai am învățat:

Nu orice trinom pătrat este factorizat, în special, acest lucru se aplică pătratului incomplet al sumei sau diferenței, care se găsesc foarte des ca părți ale cuburilor sumei sau diferențelor.
Constante, adică numerele obișnuite care nu au variabile cu ele pot acționa și ca elemente active în procesul de descompunere. În primul rând, ele pot fi scoase dintre paranteze, iar în al doilea rând, constantele în sine pot fi reprezentate ca puteri.
Foarte des, după descompunerea tuturor elementelor în factori, apar construcții opuse. Trebuie să reduceți aceste fracții cu mare atenție, deoarece atunci când le tăiați fie de sus, fie de jos, apare un factor suplimentar $-1$ - aceasta este tocmai consecința faptului că sunt opuse.

Rezolvarea problemelor complexe

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să luăm în considerare fiecare termen separat.

Prima fracție:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\stanga(b-2 \dreapta)\stanga(b+2 \dreapta)\]

Putem rescrie întregul numărător al celei de-a doua fracții după cum urmează:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Acum să ne uităm la numitor:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right) ))^(2))\]

Să rescriem întreaga expresie rațională ținând cont de faptele de mai sus:

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Răspuns: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuanțe ale soluției

După cum am văzut încă o dată, pătratele incomplete ale sumei sau pătratele incomplete ale diferenței, care se găsesc adesea în expresii raționale reale, totuși, nu vă temeți de ele, deoarece după transformarea fiecărui element aproape întotdeauna se anulează. În plus, în niciun caz nu trebuie să vă fie frică de construcții mari în răspunsul final - este foarte posibil ca aceasta să nu fie greșeala dvs. (mai ales dacă totul este luat în considerare), dar autorul a conceput un astfel de răspuns.

În concluzie, aș vrea să analizez încă una exemplu complex, care nu mai are legătură directă cu fracțiile raționale, ci conține tot ce te așteaptă la teste și examene reale și anume: factorizarea, reducerea la numitor comun, reducerea termenilor similari. Exact asta vom face acum.

Rezolvarea unei probleme complexe de simplificare și transformare a expresiilor raționale

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

Mai întâi, luați în considerare și extindeți prima paranteză: în ea vedem trei fracții separate cu numitori diferiți, deci primul lucru pe care trebuie să-l facem este să aducem toate cele trei fracții la un numitor comun și, pentru aceasta, fiecare dintre ele ar trebui să fie factorizată:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \dreapta)\]

Să rescriem întreaga noastră structură după cum urmează:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ stânga(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acesta este rezultatul calculelor din prima paranteză.

Tratând cu a doua paranteză:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ dreapta)\]

Să rescriem a doua paranteză, ținând cont de modificări:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\stanga(x-2\dreapta)\stanga(x+2\dreapta))\]

Acum să scriem întreaga construcție originală:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Răspuns: $\frac(1)(x+2)$.

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, răspunsul s-a dovedit a fi destul de sănătos. Cu toate acestea, vă rugăm să rețineți: de foarte multe ori cu astfel de calcule la scară mare, când singura variabilă este doar la numitor, elevii uită că acesta este numitorul și ar trebui să fie în partea de jos a fracției și scrie această expresie la numărător - aceasta este o greșeală gravă.

În plus, aș dori să vă atrag atenția în mod deosebit asupra modului în care sunt formalizate astfel de sarcini. În orice calcule complexe, toți pașii sunt executați pas cu pas: mai întâi, numărăm primul parantez separat, apoi al doilea paranteză separat și abia la sfârșit combinăm toate părțile și calculăm rezultatul. Astfel, ne asigurăm de greșelile stupide, notăm cu atenție toate calculele și, în același timp, nu pierdem timp în plus, așa cum ar părea la prima vedere.

Vizualizări