Care este centrul unui poligon regulat. Poligon regulat. Numărul de laturi ale unui poligon regulat. Proprietățile poligoanelor regulate

Teorema 1. Un cerc poate fi circumscris oricărui poligon regulat.

Fie ABCDEF (Fig. 419) un poligon regulat; este necesar să se demonstreze că în jurul lui se poate circumscrie un cerc.

Știm că este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă; prin urmare, este întotdeauna posibil să se deseneze un cerc care va trece prin oricare trei vârfuri ale unui poligon regulat, de exemplu, prin vârfurile E, D și C. Fie punctul O centrul acestui cerc.

Să demonstrăm că acest cerc va trece și prin al patrulea vârf al poligonului, de exemplu, prin vârful B.

Segmentele OE, OD și OS sunt egale între ele și fiecare este egal cu raza cercului. Să desenăm un alt segment al OB; este imposibil să spunem imediat despre acest segment că este și el egal cu raza cercului, acest lucru trebuie demonstrat. Luați în considerare triunghiurile OED și ODC, ele sunt isoscele și egale, prin urmare, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Dacă unghiul interior al unui poligon dat este α, atunci ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; dar dacă ∠4= α / 2 , atunci ∠5 = α / 2 , adică. ∠4 = ∠5.

Din aceasta concluzionăm că (Delta)OSD = (Delta)OSV și, prin urmare, OB = OS, adică segmentul OB este egal cu raza cercului desenat. De aici rezultă că cercul va trece și prin vârful B al poligonului regulat.

În același mod, vom demonstra că cercul construit va trece prin toate celelalte vârfuri ale poligonului. Aceasta înseamnă că acest cerc va fi circumscris poligonului regulat dat. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2. Un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat.

Fie ABCDEF un poligon regulat (Fig. 420), trebuie să demonstrăm că în el poate fi înscris un cerc.

Din teorema anterioară se știe că un cerc poate fi circumscris lângă un poligon regulat. Fie punctul O centrul acestui cerc.

Conectați punctul O la vârfurile poligonului. Triunghiurile rezultate OED, ODC etc. sunt egale între ele, ceea ce înseamnă că înălțimile lor trase din punctul O sunt de asemenea egale, adică OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Prin urmare, un cerc circumscris punctului O ca din centru cu raza egală cu segmentul OK va trece prin punctele K, L, M, N, P și Q, iar înălțimile triunghiurilor vor fi razele lui. cerc. Laturile poligonului sunt perpendiculare pe razele din acele puncte, deci sunt tangente la acel cerc. Și aceasta înseamnă că cercul construit este înscris în poligonul regulat dat.

Aceeași construcție poate fi realizată pentru orice poligon regulat, prin urmare, un cerc poate fi înscris în orice poligon regulat.

Consecinţă. Un cerc circumscris unui poligon regulat și înscris în el are un centru comun.

Definiții.

1. Centrul unui poligon regulat este centrul comun al cercurilor circumscrise acestui poligon și înscrise în el.

2. Perpendiculara coborâtă din centrul unui poligon regulat pe latura sa se numește apotema unui poligon regulat.

Exprimarea laturilor poligoanelor regulate în funcție de raza cercului circumscris

Prin intermediul funcții trigonometrice se poate exprima latura oricărui poligon regulat în termenii razei cercului circumscris acestuia.

Fie AB partea corectă n-gon înscris într-un cerc de rază OA = R (Fig.).

Să desenăm o atemă OD a unui poligon obișnuit și să considerăm un triunghi dreptunghic AOD. În acest triunghi

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

dar AB = 2AD și deci AB = 2R sin 180° / n .

Lungimea laterală corectă n-gon înscris într-un cerc este de obicei notat un n, deci formula rezultată poate fi scrisă după cum urmează:

un n= 2R sin 180° / n .

Consecințe:

1. Lungimea laterală a unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula dar 6=R, deoarece

dar 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Lungimea laturii unui patrulater regulat (pătrat) înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula dar 4 = R√2 , deoarece

dar 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Lungimea laturii unui triunghi echilateral înscris într-un cerc cu rază R , este exprimat prin formula dar 3 = R√3 , deoarece.

dar 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Aria unui poligon regulat

Să fie dat cel corect n-gon (orez). Este necesar să-și determine zona. Notați latura poligonului prin dar iar centrul prin O. Conectați segmentele centrului cu capetele oricărei laturi ale poligonului, obținem un triunghi în care desenăm apotema poligonului.

Aria acestui triunghi este Ah / 2. Pentru a determina aria întregului poligon, trebuie să înmulțiți aria triunghiului osos cu numărul de triunghiuri, adică cu n. Se obține: S = Ah / 2 n = ahn / 2 dar un este egal cu perimetrul poligonului. Să-i spunem R.

În cele din urmă obținem: S = P h / 2. unde S este aria unui poligon regulat, P este perimetrul acestuia, h- apotema.

Aria unui poligon regulat este egală cu jumătate din produsul perimetrului și apotema acestuia.

Derivarea ariei unui n-gon regulat este legată de raza cercului înscris în acest n-gon și de raza cercului descris în jurul acestuia. La derivarea acestei formule, se folosește o partiție a unui n-gon în n triunghiuri. Dacă este aria unui poligon regulat dat, a este latura acestuia, este perimetrul și ai sunt razele cercurilor înscrise și, respectiv, circumscrise, atunci. Să demonstrăm: prin conectarea centrului poligonului dat la vârfurile sale, așa cum se arată în Figura 2.7.1, îl vom împărți în n triunghiuri egale, fiecare dintre ele având o zonă de. Prin urmare,. Mai departe,.

Figura 2.7.1

Figura 2.7.1

Exemplul 2.7.1.

Un pătrat dat cu latura a este tăiat la colțuri astfel încât să se formeze un octogon regulat. Găsiți aria acestui octogon.

Soluţie:

Fie (figura 2.7.2). Atunci sau unde

Figura 2.7.2

Prin urmare, zona necesară

Răspuns:

Exemplul 2.7.2.

Întregul arc de cerc cu raza R este împărțit în patru părți mari și patru mici, care alternează una după alta. Partea mai mare este de două ori mai lungă decât cea mai mică. Găsiți aria unui octogon ale cărui vârfuri sunt punctele de diviziune ale arcului de cerc.

Soluţie:

Lăsați arcul mic să conțină grade. Atunci, de unde, deci, octogonul conține patru triunghiuri cu un unghi central (aria lor totală) și patru triunghiuri cu un unghi central (aria lor totală). Zona necesară este

Răspuns:

Exemplul 2.7.3.

Dat un pătrat cu o latură. Un trapez este construit pe fiecare parte a pătratului în afara acestuia, astfel încât bazele superioare ale acestor trapeze și laturile lor să formeze un dodecagon regulat. Calculați-i aria.

Soluţie:

Aria dorită, unde și sunt razele unui cerc circumscris unui pătrat și un dodecagon (Figura 2.7.3). Deoarece latura pătratului este , atunci . Avem unde ⏊ Dar , din moment ce . În acest fel,

, adică

Figura 2.7.3

Răspuns:

3 Sarcini de planimetrie din testarea centralizată

Opțiunea 1

LA 8.Într-un triunghi isoscel, linii drepte și (D AB; E AC) sunt trasate prin vârfurile bazei și punctului (se află la înălțimea trasă la bază și o împarte în relație, numărând de la bază). Aflați aria triunghiului dacă aria trapezului este 64.

Soluţie:

Să introducem notația:

Din figură rezultă că

Facem un sistem:

Figura 3.1

Din sistem obținem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Inlocuim in a doua ecuatie a sistemului, obtinem:

Găsiți aria unui triunghi

Răspuns:

Opțiunea 1

A8.Într-un triunghi isoscel cu laturi și o altitudine este trasă în lateral. Dacă și sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor și, atunci distanța dintre punctele și este egală cu...

Soluţie:

Starea problemei nu spune în mod specific cu ce sunt egale laturile și baza. Dacă a, atunci inegalitatea triunghiului nu este valabilă. De aceea , dar. În continuare, trebuie să vă amintiți faptul că centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei. Prin urmare, centrele cercurilor descrise lângă triunghiuri și , punctele și sunt punctele mijlocii ale laturilor și, respectiv.

Figura 3.2

Astfel, este linia mediană a triunghiului și

Răspuns:

Opțiunea 1

B4. Un patrulater este înscris într-un cerc. Dacă,,, atunci măsura gradului unghiului dintre linii este egală cu...

Soluţie:

Deoarece prin condiție ni se dă că ,,, atunci Atunci Știm că un patrulater poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă sumele unghiurilor sale opuse sunt egale.

Figura 3.3

Și de aici rezultă că Din triunghi puteți găsi unghiul de care avem nevoie. Deci, înțelegem asta

Răspuns:

Opțiunea 1

A12. Baza mai mare a trapezului este 114. Aflați baza mai mică a trapezului dacă distanța dintre punctele medii ale diagonalelor sale este 19.

Soluţie:

Figura 3.4

Indicați baza mai mică a trapezului

Triunghiuri și similare. Obținem raportul:

Din asemănarea triunghiurilor obținem:

Împărțiți a doua ecuație la prima:

Prin urmare:

Obținem că baza mai mică a trapezului este

Răspuns:

Opțiunea 1

A11. O linie este trasată paralelă cu o latură a unui triunghi și intersectează latura într-un punct astfel încât . Dacă aria unui triunghi este 50, atunci aria trapezului rezultat este...

Soluţie:

Figura 3.5

Să Din condiția ni se dă că

De aici atunci, Prin urmare, acum găsim aria trapezului. Obținem asta

Răspuns:

Opțiunea 1

A13.Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat de ipotenuză îl împarte într-un segment ale cărui lungimi sunt legate ca 1:4. Dacă înălțimea este 8, atunci ipotenuza este...

Soluţie:

Lungimea înălțimii unui triunghi dreptunghic trasat la ipotenuză poate fi găsită prin formula:

Imagine 3.6

Prin presupunere, ni se oferă că. Mijloace,

Prin urmare, obținem asta. Apoi

Răspuns:

Opțiunea 1

A12. Valorile celor două unghiuri ale triunghiului sunt egale cu și, iar înălțimea trasă de la vârful unghiului mai mare este 9. Aflați latura mai mică a triunghiului.

Soluţie:

Figura 3.7

Să , înseamnă din moment ce-

înălțimea triunghiului , atunci . Deoarece triunghiul este dreptunghic, catetul unui triunghi dreptunghic situat opus unui unghi de 30 este egal cu jumătate din ipotenuză.

Din proprietate obținem: Deci,

Răspuns:

Opțiunea 1

A16. Un cerc de arie este înscris într-un romb cu arie. Partea unui romb este...

Soluţie:

;

Deoarece aria rombului este egală cu , atunci Apoi,

Prin urmare, obținem asta

Figura 3.8

Răspuns:

Opțiunea 1

A11. Un patrulater în care este înscris într-un cerc. Aflați măsura gradului unghiului.

Soluţie:

Un patrulater poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă sumele unghiurilor sale opuse sunt egale

Figura 3.9

Răspuns:

Opțiunea 1

IN 3. Baza unui triunghi isoscel acut este 10 iar sinusul unghiului opus este . Găsiți aria triunghiului.

Soluţie:

Figura 3.10

1. Aflați cosinusul unghiului folosind formula

Deoarece unghiul este ascuțit, alegem semnul „”:

2. Pentru a afla lungimea laturii laterale (Figura 3.10), aplicăm teorema cosinusului:

sau sau sau

3. Găsiți aria unui triunghi folosind formula:

;

Răspuns: .

Opțiunea 1

Sarcina B3. Un triunghi este înscris într-un cerc cu raza 6, ale cărui lungimi a două laturi sunt egale cu 6 și 10. Aflați lungimea înălțimii triunghiului trasat pe a treia latură.

Soluţie:

Să facem un desen auxiliar pentru a rezolva problema. Fie un triunghi dat cu .

Desenați înălțimea triunghiului.

Figura 3.11

În astfel de sarcini, cel mai dificil moment este să înțelegeți cum să relaționați parametrii triunghiului (unghiuri sau laturi) cu parametrii cercului. La urma urmei, rezolvăm problema despre un triunghi, totuși, deoarece este dată raza cercului circumscris, aceasta trebuie utilizată cumva pentru a obține informațiile lipsă despre triunghiul însuși.

Una dintre cele mai cunoscute conexiuni dintre un triunghi și cercul circumscris este dovedită în teorema sinusului. Să scriem concluziile acestei teoreme pentru unghiul:

Aici este raza cercului circumscris triunghiului. De aici obținem:

Găsim înălțimea dintr-un triunghi dreptunghic:

REPEȚI MATERIAL

a este partea octogonului,

R - raza cercului circumscris,

r este raza cercului înscris.

Suma unghiurilor interioare ale unui n-gon regulat

180(n-2).

Măsura în grade a unghiului intern al unui n-gon

180(n-2): n.

Partea corectă a n

Raza unui cerc înscris într-un poligon regulat

Aria corectă a n

EXERCIȚII

1. a) Suma unghiurilor interioare ale unui hexagon este:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Suma unghiurilor interioare ale unui octogon este:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Soluţie:
a) Conform formulei, suma unghiurilor hexagonului este: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Raspuns: 720 ° .


2. a) Latura unui poligon regulat este de 5 cm, unghiul intern este de 144°
a) Latura unui poligon regulat este de 7 cm, unghiul intern este de 150° . Aflați perimetrul poligonului.
Soluţie:
a) 1) Aflați numărul de laturi ale poligonului:
144=180(n-2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Aflați perimetrul decagonului: P=5*10=50 cm.
Raspuns: 50 cm.


3. a) Perimetrul unui pentagon regulat este de 30 cm.Aflați diametrul cercului circumscris pentagonului.
b) Diametrul cercului este de 10 cm.Aflați perimetrul pentagonului înscris în el.
Soluţie:
a) 1) Aflați latura pentagonului: 30:5=6 cm.
2) Aflați raza cercului circumscris:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin(180 ° :5);
R=3:sin 36 ° \u003d 3: 0,588 \u003d 5,1 cm
Răspuns: 5,1 cm.


4. a) Suma unghiurilor interioare ale unui poligon regulat este 2520°
b) Suma unghiurilor interioare ale unui poligon regulat este 1800° . Aflați numărul de laturi ale poligonului.
Soluţie:
a) Aflați numărul de laturi ale poligonului:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Răspuns: 16 laturi.


5. a) Raza unui cerc care circumscrie un dodecagon regulat este de 5 cm.Aflați aria poligonului.
b) Raza unui cerc care circumscrie un octogon regulat este de 6 cm. Aflați aria poligonului.
Soluţie:
a) Aflați aria dodecagonului:
S=0,5* R2 *n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° =75 cm 2 .
Raspuns: 75 cm 2 .


6. Găsiți aria hexagonului dacă aria părții umbrite este cunoscută:

Aria triunghiului ABC este de 0,5*AB*BC*sin120° și este egal prin condiția 48.

7. a) Aflați numărul de laturi ale unui poligon regulat dacă unghiul său exterior al vârfului este 18° .
b) Aflați numărul de laturi ale unui poligon regulat dacă unghiul său exterior al vârfului este 45° .
Soluţie:
a) Suma unghiurilor externe ale unui poligon regulat este 360 ° .
Aflați numărul de laturi: 360 ° :18 ° =20.
Răspuns: 20 de laturi.


8. Calculați aria inelului dacă coarda AB este egală cu:
a) 8 cm; b) 10 cm.

1) OB este raza cercului exterior, OH este raza cercului interior. Aria inelului poate fi găsită folosind formula: S a inelului = S a cercului exterior - S a cercului interior.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Luați în considerare triunghiul ABO - isoscel (OA \u003d OB ca raze). OH este înălțimea și mediana în triunghiul ABO, prin urmare, AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Se consideră triunghiul ONV - dreptunghiular: HB 2 =OB 2 -ESTE EL 2 , Prin urmare

OV 2 -ESTE EL 2 =16.

4) Găsiți aria inelului:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .

Răspuns:16 π cm 2 .

P=6*AB;

10. Demonstrați că într-un octogon regulat aria părții umbrite este egală cu:
a) un sfert din aria unui octogon; b) jumătate din aria octogonului:

1) Să desenăm bisectoarele unghiurilor octogonului, acestea se intersectează în punctul O. Aria octogonului este egală cu suma ariilor celor opt triunghiuri egale rezultate, adică. S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) Patrulaterul ABEF este un paralelogram (AB//EF și AB=EF). Diagonalele unui paralelogram sunt egale: AE=BF (ca diametrele unui cerc circumscris unui octogon), prin urmare, ABEF este un dreptunghi. Diagonalele unui dreptunghi îl împart în patru triunghiuri de suprafață egală.

3) Aflați aria patrulaterului AFKM:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Găsiți raportul dintre aria octogonului și aria părții umbrite:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2*S(OEF))=4.

Q.E.D.

1) AB=AC=2R. Unghiul BAC este drept, pentru că aria sectorului BAC este egală cu un sfert din aria cercului .

2) Luați în considerare patrulaterul AO 2 MO 1 . Este un romb, pentru că toate laturile sunt egale cu raza, iar din moment ce Unul dintre unghiurile lor este de 90°, apoi AO 2 MO 1 - pătrat.

SARCINI PENTRU SOLUȚIE INDEPENDENTĂ

1. Care este suma unghiurilor externe ale pentagonului?

2. Care este aria octogonului dacă aria zonei umbrite este 20.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Triunghi, pătrat, hexagon - aceste cifre sunt cunoscute de aproape toată lumea. Dar nu toată lumea știe ce este un poligon obișnuit. Dar acesta este același Poligon regulat se numește cel care are unghiuri și laturi egale. Există o mulțime de astfel de cifre, dar toate au aceleași proprietăți și li se aplică aceleași formule.

Proprietățile poligoanelor regulate

Orice poligon regulat, fie el un pătrat sau un octogon, poate fi înscris într-un cerc. Această proprietate de bază este adesea folosită la construirea unei figuri. În plus, un cerc poate fi înscris și într-un poligon. În acest caz, numărul punctelor de contact va fi egal cu numărul laturilor sale. Este important ca un cerc înscris într-un poligon regulat să aibă un centru comun cu el. Aceste figuri geometrice supuse acelorași teoreme. Orice latură a unui n-gon obișnuit este asociată cu raza R a cercului circumscris din jurul acestuia.De aceea, poate fi calculată folosind următoarea formulă: a = 2R ∙ sin180°. Prin intermediul puteți găsi nu numai laturile, ci și perimetrul poligonului.

Cum să găsiți numărul de laturi ale unui poligon obișnuit

Oricare constă dintr-un anumit număr de segmente egale între ele, care, atunci când sunt conectate, formează o linie închisă. În acest caz, toate colțurile figurii formate au aceeași valoare. Poligoanele sunt împărțite în simple și complexe. Primul grup include un triunghi și un pătrat. Poligoanele complexe au mai multe laturi. Acestea includ și figuri în formă de stea. Pentru poligoane regulate complexe, laturile sunt găsite prin înscrierea lor într-un cerc. Să dăm o dovadă. Desenați un poligon regulat cu un număr arbitrar de laturi n. Descrie un cerc în jurul lui. Specificați raza R. Acum imaginați-vă că este dat un n-gon. Dacă punctele unghiurilor sale se află pe un cerc și sunt egale între ele, atunci laturile pot fi găsite prin formula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Aflarea numărului de laturi ale unui triunghi dreptunghic înscris

Un triunghi echilateral este un poligon regulat. Se aplică aceleași formule ca și pătratului și n-gonului. Un triunghi va fi considerat corect dacă are laturile de aceeași lungime. În acest caz, unghiurile sunt de 60⁰. Construiți un triunghi cu lungimea laturii dată a. Cunoscând mediana și înălțimea acestuia, puteți găsi valoarea laturilor sale. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda de a găsi prin formula a \u003d x: cosα, unde x este mediana sau înălțimea. Deoarece toate laturile triunghiului sunt egale, obținem a = b = c. Atunci următoarea afirmație este adevărată: a = b = c = x: cosα. În mod similar, puteți găsi valoarea laturilor într-un triunghi isoscel, dar x va fi înălțimea dată. În același timp, ar trebui proiectat strict pe baza figurii. Deci, cunoscând înălțimea x, găsi o parte dar triunghi isoscel conform formulei a \u003d b \u003d x: cosα. După ce ați găsit valoarea lui a, puteți calcula lungimea bazei c. Să aplicăm teorema lui Pitagora. Vom căuta valoarea jumătate a bazei c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Atunci c = 2xtanα. Într-un mod atât de simplu, puteți găsi numărul de laturi ale oricărui poligon înscris.

Calcularea laturilor unui pătrat înscris într-un cerc

Ca orice alt poligon regulat înscris, un pătrat are laturile și unghiurile egale. I se aplică aceleași formule ca și triunghiului. Puteți calcula laturile unui pătrat folosind valoarea diagonalei. Să luăm în considerare această metodă mai detaliat. Se știe că diagonala bisectează unghiul. Inițial, valoarea sa a fost de 90 de grade. Astfel, după împărțire, se formează două. Unghiurile lor la bază vor fi egale cu 45 de grade. În consecință, fiecare latură a pătratului va fi egală, adică: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, unde e este diagonala pătratului sau baza lui triunghiul dreptunghic format după împărțire. Acesta nu este singurul mod de a găsi laturile unui pătrat. Să înscriem această figură într-un cerc. Cunoscând raza acestui cerc R, găsim latura pătratului. O vom calcula după cum urmează a4 = R√2. Razele poligoanelor regulate sunt calculate prin formula R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), unde a este lungimea laturii.

Cum se calculează perimetrul unui n-gon

Perimetrul unui n-gon este suma tuturor laturilor sale. Este ușor de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți valorile tuturor părților. Pentru unele tipuri de poligoane, există formule speciale. Ele vă permit să găsiți perimetrul mult mai rapid. Se știe că orice poligon regulat are laturile egale. Prin urmare, pentru a-i calcula perimetrul, este suficient să cunoști cel puțin unul dintre ele. Formula va depinde de numărul de laturi ale figurii. În general, arată astfel: P \u003d an, unde a este valoarea laturii și n este numărul de unghiuri. De exemplu, pentru a găsi perimetrul unui octogon obișnuit cu latura de 3 cm, trebuie să-l înmulțiți cu 8, adică P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pentru un hexagon cu latura de 5 cm, calculăm astfel: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.Si asa pentru fiecare poligon.

Aflarea perimetrului unui paralelogram, pătrat și romb

În funcție de câte laturi are un poligon obișnuit, se calculează perimetrul acestuia. Acest lucru face sarcina mult mai ușoară. Într-adevăr, spre deosebire de alte figuri, în acest caz nu este necesar să-i cauți toate laturile, doar una este suficientă. După același principiu, găsim perimetrul patrulagurilor, adică un pătrat și un romb. În ciuda faptului că acestea sunt cifre diferite, formula pentru ele este aceeași P = 4a, unde a este latura. Să luăm un exemplu. Dacă latura unui romb sau pătrat este de 6 cm, atunci găsim perimetrul după cum urmează: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Un paralelogram are doar părți opuse. Prin urmare, perimetrul său este găsit folosind o metodă diferită. Deci, trebuie să cunoaștem lungimea a și lățimea b a figurii. Apoi aplicăm formula P \u003d (a + c) ∙ 2. Un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile dintre ele sunt egale, se numește romb.

Aflarea perimetrului unui triunghi echilateral și dreptunghic

Perimetrul celui corect poate fi găsit prin formula P \u003d 3a, unde a este lungimea laturii. Dacă este necunoscut, poate fi găsit prin mediană. ÎN triunghi dreptunghic doar două laturi sunt egale. Baza poate fi găsită prin teorema lui Pitagora. După ce devin cunoscute valorile tuturor celor trei laturi, calculăm perimetrul. Poate fi găsit prin aplicarea formulei P \u003d a + b + c, unde a și b sunt laturi egale, iar c este baza. Amintiți-vă că într-un triunghi isoscel a \u003d b \u003d a, prin urmare, a + b \u003d 2a, apoi P \u003d 2a + c. De exemplu, latura unui triunghi isoscel este de 4 cm, găsiți baza și perimetrul acestuia. Calculăm valoarea ipotenuzei conform teoremei lui Pitagora c \u003d √a 2 + în 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Acum calculăm perimetrul P \u003d 5 \u003d 2 + 5 \u003d 2. u003d 13,65 cm.

Cum să găsiți unghiurile unui poligon regulat

Un poligon obișnuit apare în viața noastră în fiecare zi, de exemplu, un pătrat, triunghi, octogon obișnuit. S-ar părea că nu este nimic mai ușor decât să construiești singur această cifră. Dar asta este doar la prima vedere. Pentru a construi orice n-gon, trebuie să cunoașteți valoarea unghiurilor sale. Dar cum le gasesti? Chiar și oamenii de știință din antichitate au încercat să construiască poligoane regulate. Au ghicit să le încadreze în cercuri. Și apoi au marcat-o punctele necesare legate prin linii drepte. Pentru cifre simple, problema construcției a fost rezolvată. S-au obţinut formule şi teoreme. De exemplu, Euclid, în celebra sa lucrare „The Beginning” a fost angajat în rezolvarea problemelor pentru 3-, 4-, 5-, 6- și 15-gons. A găsit modalități de a le construi și de a găsi unghiuri. Să vedem cum să facem asta pentru un 15-gon. Mai întâi trebuie să calculați suma unghiurilor sale interne. Este necesar să se folosească formula S = 180⁰(n-2). Deci, ni se dă un 15-gon, ceea ce înseamnă că numărul n este 15. Înlocuim datele pe care le cunoaștem în formulă și obținem S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Am găsit suma tuturor unghiurilor interioare ale unui 15-gon. Acum trebuie să obținem valoarea fiecăruia dintre ele. În total sunt 15 unghiuri.Facem calculul 2340⁰: 15 = 156⁰. Aceasta înseamnă că fiecare unghi intern este de 156⁰, acum folosind o riglă și o busolă, puteți construi un 15-gon obișnuit. Dar cum rămâne cu n-gonurile mai complexe? Timp de secole, oamenii de știință s-au străduit să rezolve această problemă. A fost găsit abia în secolul al XVIII-lea de Carl Friedrich Gauss. El a reușit să construiască un 65537-gon. De atunci, problema a fost considerată oficial rezolvată complet.

Calculul unghiurilor de n-goni în radiani

Desigur, există mai multe moduri de a găsi colțurile poligoanelor. Cel mai adesea ele sunt calculate în grade. Dar le puteți exprima și în radiani. Cum să o facă? Este necesar să procedați după cum urmează. Mai întâi, aflăm numărul de laturi ale unui poligon obișnuit, apoi scădem din acesta 2. Deci, obținem valoarea: n - 2. Înmulțim diferența găsită cu numărul n ("pi" \u003d 3,14). Acum rămâne doar să împărțim produsul rezultat la numărul de unghiuri din n-gon. Luați în considerare aceste calcule folosind exemplul aceluiași cincisprezece laturi. Deci, numărul n este 15. Să aplicăm formula S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Desigur, aceasta nu este singura modalitate de a calcula un unghi în radiani. Puteți împărți pur și simplu dimensiunea unghiului în grade la numărul 57,3. La urma urmei, atâtea grade echivalează cu un radian.

Calculul valorii unghiurilor în grade

Pe lângă grade și radiani, puteți încerca să găsiți valoarea unghiurilor unui poligon obișnuit în grad. Acest lucru se face în felul următor. Scădeți 2 din numărul total de unghiuri, împărțiți diferența rezultată la numărul de laturi ale unui poligon regulat. Înmulțim rezultatul găsit cu 200. Apropo, o astfel de unitate de măsură a unghiurilor ca grade nu este practic utilizată.

Calculul colțurilor externe ale n-gonilor

Pentru orice poligon obișnuit, pe lângă cel intern, puteți calcula și unghiul extern. Valoarea sa se regăsește în același mod ca și pentru alte cifre. Deci, pentru a găsi colțul exterior al unui poligon obișnuit, trebuie să cunoașteți valoarea celui interior. Mai mult, știm că suma acestor două unghiuri este întotdeauna de 180 de grade. Prin urmare, calculele le facem astfel: 180⁰ minus valoarea unghiului intern. Găsim diferența. Acesta va fi egal cu valoarea unghiului adiacent acestuia. De exemplu, colțul interior al unui pătrat are 90 de grade, deci unghiul exterior va fi 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. După cum vedem, nu este greu să-l găsim. Unghiul exterior poate lua o valoare de la +180⁰ la, respectiv, -180⁰.