Proprietățile unui trapez isoscel. Trapez dreptunghiular și isoscel: proprietăți și caracteristici. Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Trapez este un patrulater cu două laturi paralele, care sunt bazele, și două laturi neparalele, care sunt laturile.

Există și nume precum isoscel sau isoscel.

Este un trapez cu unghiuri drepte pe partea laterală.

Elemente de trapez

a, b bazele unui trapez(a paralelă cu b),

m, n — laturi trapez,

d 1 , d 2 — diagonalele trapez,

h- înălţime trapez (un segment care leagă bazele și, în același timp, perpendicular pe acestea),

MN- linia de mijloc (un segment care leagă punctele medii ale laturilor).

Zona trapezului

1. Prin jumătate din suma bazelor a, b și a înălțimii h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
2. Prin linia mediană MN și înălțimea h : S = MN\cdot h
3. Prin diagonalele d 1 , d 2 și unghiul (\sin \varphi ) dintre ele: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Proprietăți trapezoid

Linia mediană a trapezului

linia de mijloc paralel cu bazele, egal cu jumătatea sumei lor, și împarte fiecare segment cu capete situate pe linii drepte care conțin bazele (de exemplu, înălțimea figurii) în jumătate:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Suma unghiurilor unui trapez

Suma unghiurilor unui trapez, adiacent fiecărei laturi, este egal cu 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Triunghiuri cu arie egală ale unui trapez

De dimensiuni egale, adică având arii egale, sunt segmentele diagonalelor și triunghiurile AOB și DOC formate din laturi.

Asemănarea triunghiurilor trapezoidale formate

triunghiuri similare sunt AOD și COB, care sunt formate din bazele și segmentele diagonale ale acestora.

\triangle AOD \sim \triangle COB

coeficient de similitudine k se gaseste prin formula:

k = \frac(AD)(BC)

Mai mult, raportul ariilor acestor triunghiuri este egal cu k^(2) .

Raportul dintre lungimile segmentelor și bazelor

Fiecare segment care leagă bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct în raport cu:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Acest lucru va fi valabil și pentru înălțimea cu diagonalele în sine.

1. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate din diferența bazelor
2. Triunghiurile formate din bazele trapezului și segmentele diagonalelor până la punctul de intersecție sunt asemănătoare
3. Triunghiuri formate din segmente ale diagonalelor unui trapez, ale căror laturi se află pe laturile trapezului - zonă egală (au aceeași zonă)
4. Dacă extindem laturile trapezului spre baza mai mică, atunci ele se vor intersecta într-un punct cu linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor
5. Segmentul care leagă bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului este împărțit la acest punct într-o proporție egală cu raportul dintre lungimile bazelor trapezului.
6. Un segment paralel cu bazele trapezului și trasat prin punctul de intersecție al diagonalelor este traversat de acest punct, iar lungimea sa este 2ab / (a ​​​​+ b), unde a și b sunt bazele trapezului

Proprietățile unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez

Conectați punctele medii ale diagonalelor trapezului ABCD, în urma căruia vom avea un segment LM.
Un segment de dreaptă care unește punctele medii ale diagonalelor unui trapez se află pe linia mediană a trapezului.

Acest segment paralel cu bazele trapezului.

Lungimea segmentului care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egală cu jumătatea diferenței bazelor sale.

LM = (AD - BC)/2
sau
LM = (a-b)/2

Proprietățile triunghiurilor formate din diagonalele unui trapez

Triunghiurile care sunt formate din bazele trapezului și punctul de intersecție al diagonalelor trapezului - Sunt asemănătoare.
Triunghiurile BOC și AOD sunt similare. Deoarece unghiurile BOC și AOD sunt verticale, ele sunt egale.
Unghiurile OCB și OAD sunt transversale interne situate la liniile paralele AD și BC (bazele trapezului sunt paralele între ele) și linia secantă AC, prin urmare, sunt egale.
Unghiurile OBC și ODA sunt egale din același motiv (încrucișare internă).

Deoarece toate cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu unghiurile corespunzătoare ale altui triunghi, aceste triunghiuri sunt similare.

Ce rezultă din asta?

Pentru a rezolva probleme de geometrie, asemănarea triunghiurilor este utilizată după cum urmează. Dacă cunoaștem lungimile celor două elemente corespondente ale triunghiurilor similare, atunci găsim coeficientul de asemănare (împărțim unul la celălalt). De unde lungimile tuturor celorlalte elemente sunt legate între ele prin exact aceeași valoare.

Proprietățile triunghiurilor situate pe partea laterală și pe diagonalele unui trapez

Luați în considerare două triunghiuri situate pe laturile trapezului AB și CD. Acestea sunt triunghiuri AOB și COD. În ciuda faptului că dimensiunile laturilor individuale ale acestor triunghiuri pot fi complet diferite, dar ariile triunghiurilor formate de laturile si punctul de intersectie al diagonalelor trapezului sunt, adică triunghiurile sunt egale.

Dacă laturile trapezului sunt extinse spre baza mai mică, atunci punctul de intersecție al laturilor va fi coincid cu o linie dreaptă care trece prin punctele medii ale bazelor.

Astfel, orice trapez poate fi extins la un triunghi. în care:

• Triunghiurile formate din bazele unui trapez cu un vârf comun în punctul de intersecție al laturilor extinse sunt similare
• Linia dreaptă care leagă punctele medii ale bazelor trapezului este, în același timp, mediana triunghiului construit

Proprietățile unui segment care leagă bazele unui trapez

Dacă desenați un segment ale cărui capete se află pe bazele trapezului, care se află în punctul de intersecție al diagonalelor trapezului (KN), atunci raportul segmentelor sale constitutive din partea bazei la punctul de intersecție al diagonale (KO / ON) va fi egal cu raportul bazelor trapezului(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Această proprietate rezultă din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare (vezi mai sus).

Proprietățile unui segment paralel cu bazele unui trapez

Dacă desenați un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, atunci acesta va avea următoarele proprietăți:

• Distanță prestabilită (KM) bisectează punctul de intersecție al diagonalelor trapezului
• Lungimea tăiată, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului și paralel cu bazele, este egal cu KM = 2ab/(a + b)

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez

a, b- bazele unui trapez

c, d- laturile trapezului

d1 d2- diagonalele unui trapez

α β - unghiuri cu baza mai mare a trapezului

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez prin baze, laturi și unghiuri de la bază

Primul grup de formule (1-3) reflectă una dintre principalele proprietăți ale diagonalelor trapezoidale:

1. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez este egală cu suma pătratelor laturilor plus de două ori produsul bazelor sale. Această proprietate a diagonalelor unui trapez poate fi demonstrată ca o teoremă separată

2 . Această formulă se obține prin transformarea formulei anterioare. Pătratul celei de-a doua diagonale este aruncat peste semnul egal, după care rădăcina pătrată este extrasă din părțile din stânga și din dreapta expresiei.

3 . Această formulă pentru găsirea lungimii diagonalei unui trapez este similară cu cea anterioară, cu diferența că o altă diagonală rămâne în partea stângă a expresiei

Următorul grup de formule (4-5) are sens similar și exprimă o relație similară.

Grupul de formule (6-7) vă permite să găsiți diagonala unui trapez dacă cunoașteți baza mai mare a trapezului, o latură și unghiul de la bază.

Formule pentru găsirea diagonalelor unui trapez în termeni de înălțime

Notă. În această lecție este dată soluția problemelor de geometrie despre trapeze. Dacă nu ați găsit o soluție la problema de geometrie de tipul care vă interesează - puneți o întrebare pe forum.

O sarcină.
Diagonalele trapezului ABCD (AD | | BC) se intersectează în punctul O. Aflați lungimea bazei BC a trapezului dacă baza AD = 24 cm, lungimea AO = 9 cm, lungimea OS = 6 cm.

Soluţie.
Soluția acestei sarcini este absolut identică cu sarcinile anterioare din punct de vedere ideologic.

Triunghiurile AOD și BOC sunt similare în trei unghiuri - AOD și BOC sunt verticale, iar unghiurile rămase sunt egale pe perechi, deoarece sunt formate prin intersecția unei linii și a două linii paralele.

Deoarece triunghiurile sunt similare, atunci toate dimensiunile lor geometrice sunt legate între ele, ca dimensiunile geometrice ale segmentelor AO și OC cunoscute nouă prin condiția problemei. i.e

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / î.Hr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Răspuns: 16 cm

O sarcină .
În trapezul ABCD se știe că AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Găsiți aria trapezului.

Soluție.
Pentru a găsi înălțimea unui trapez de la vârfurile bazei mai mici B și C, coborâm două înălțimi pe baza mai mare. Deoarece trapezul este inegal, notăm lungimea AM = a, lungimea KD = b ( a nu se confunda cu simbolurile din formulă găsirea ariei unui trapez). Deoarece bazele trapezului sunt paralele și am omis două înălțimi perpendiculare pe baza mai mare, atunci MBCK este un dreptunghi.

Mijloace
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Triunghiurile DBM și ACK sunt dreptunghiulare, deci unghiurile lor drepte sunt formate de înălțimile trapezului. Să notăm înălțimea trapezului ca h. Apoi după teorema lui Pitagora

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
Și
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Luați în considerare că a \u003d 16 - b, apoi în prima ecuație
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Înlocuiți valoarea pătratului înălțimii în a doua ecuație, obținută prin teorema lui Pitagora. Primim:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Astfel, KD = 12
Unde
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Găsiți aria unui trapez folosind înălțimea acestuia și jumătate din suma bazelor
, unde a b - bazele trapezului, h - înălțimea trapezului
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Răspuns: aria unui trapez este de 80 cm2.

În acest articol, vom încerca să reflectăm proprietățile trapezului cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre aspecte comuneși proprietățile unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și despre un cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile luate în considerare vă va ajuta să rezolvați lucrurile în cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele una cu cealaltă (acestea sunt bazele). Și două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi omisă - perpendicular pe baze. Se desenează linia de mijloc și diagonalele. Și, de asemenea, din orice unghi al trapezului este posibil să se deseneze o bisectoare.

Despre diferitele proprietăți asociate tuturor acestor elemente și combinațiile lor, vom vorbi acum.

Proprietățile diagonalelor unui trapez

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

1. Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul XT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: XT \u003d (a - b) / 2.
2. În fața noastră este același trapez ACME. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să considerăm triunghiurile AOE și IOC formate din segmentele diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de similitudine al k triunghiuri este exprimat prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
   Raportul ariilor triunghiurilor AOE și IOC este descris de coeficientul k 2 .
3. Tot același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiuri pe care segmentele diagonale le-au format împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO sunt egale - ariile lor sunt aceleași.
4. O altă proprietate a unui trapez include construcția diagonalelor. Deci, dacă continuăm părțile laterale ale AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta până la un punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin punctele medii ale bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
   Dacă extindem acum dreapta XT, atunci ea va uni punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și punctele medii ale bazelor lui X și T.
5. Prin punctul de intersecție al diagonalelor, desenăm un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică a lui KM, X - pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OH = KM/AE.
6. Și acum prin punctul de intersecție al diagonalelor desenăm un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea unui segment folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

1. Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
2. Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea bisectoarei unui trapez

Alegeți orice unghi al trapezului și trageți o bisectoare. Luați, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat construcția pe cont propriu, puteți vedea cu ușurință că bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiului trapezoid

1. Oricare dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor dintr-o pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0 .
2. Conectați punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX este ușor de calculat pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unghiului unui trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (isoscel).

1. Într-un trapez isoscel, unghiurile la oricare dintre baze sunt egale.
2. Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce este vorba. Privește cu atenție baza lui AE - vârful bazei opuse a lui M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia mediană a unui trapez isoscel sunt egale.
3. Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
4. Numai lângă un trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater 180 0 este o condiție prealabilă pentru aceasta.
5. Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă un trapez, acesta este isoscel.
6. Din caracteristicile unui trapez isoscel, urmează proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
7. Desenați din nou linia TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
8. De data aceasta coborâți la baza mai mare (să-i spunem a) înălțimea de la vârful opus al trapezului. Veți obține două tăieturi. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a+b)/2. O obținem pe a doua când o scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, unde este centrul cercului în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să nu fii prea leneș să ridici un creion și să desenezi ceea ce se va discuta mai jos. Deci vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

1. Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală poate ieși din partea de sus a unui trapez în unghi drept față de lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
2. Diagonala și latura se pot întâlni și la un unghi ascuțit - atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
3. Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza mare a acestuia, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latura laterală.
4. Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½ MY.
5. Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza cercului circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Veți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R \u003d AE / 2 * sinAME. În mod similar, formula poate fi scrisă pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
6. Metoda a doua: găsim raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți înscrie un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Mai multe despre asta mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

1. Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
2. Pentru un ACME trapez, circumscris unui cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
3. Din această proprietate a bazelor unui trapez rezultă afirmația inversă: în acel trapez poate fi înscris un cerc, a cărui suma bazelor este egală cu suma laturilor.
4. Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura laterală în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
5. Și încă o proprietate. Pentru a nu fi confuz, desenați singur acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, circumscris în jurul unui cerc. În ea sunt desenate diagonale, intersectându-se în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și ale laturilor sunt dreptunghiulare.
   Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului este aceeași cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular, unul dintre colțurile căruia este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

1. Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile perpendiculare pe baze.
2. Înălțimea și latura trapezului adiacent unghi drept, sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
3. Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor trapezului deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovezi ale unor proprietăți ale unui trapez

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

• Probabil ați ghicit deja că aici avem nevoie din nou de trapezul ACME - desenați un trapez isoscel. Desenați o dreaptă MT de la vârful M paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că trapezul ACME este isoscel:

• Pentru început, să desenăm o linie dreaptă МХ – МХ || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază - MX || KE și KM || EX).

∆AMH este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

S-a dovedit că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM \u003d KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE \u003d MXE. Putem concluziona că AK = ME și, prin urmare, rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de repetat

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu o bază mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Ceea ce înseamnă că însumează 1800. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezului).

Luați în considerare acum ∆ANK dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără alte dovezi). Din aceasta găsim înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este un catet, care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Aria trapezului se găsește prin formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile de mai sus cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți un rezumat detaliat al tuturor proprietăți comune trapez. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

În materiale de diverse lucrări de control iar examenele sunt foarte frecvente sarcini pentru trapez, a cărui soluție necesită cunoașterea proprietăților sale.

Să aflăm ce proprietăți interesante și utile are un trapez pentru rezolvarea problemelor.

După ce am studiat proprietățile liniei mediane a unui trapez, putem formula și dovedi proprietatea unui segment care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez. Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor unui trapez este egal cu jumătate de diferență a bazelor.

MO - linie de mijloc triunghiul ABCși egal cu 1/2BC (Fig. 1).

MQ este linia mediană a triunghiului ABD și este egal cu 1/2AD.

Atunci OQ = MQ – MO, deci OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Când rezolvați multe probleme pe un trapez, unul dintre trucurile principale este să țineți două înălțimi în el.

Luați în considerare următoarele sarcină.

Fie BT înălțimea unui trapez isoscel ABCD cu bazele BC și AD, unde BC = a, AD = b. Aflați lungimile segmentelor AT și TD.

Soluţie.

Rezolvarea problemelor nu este dificilă (Fig. 2), dar vă permite să obțineți proprietatea înălțimii unui trapez isoscel desenat din vârful unui unghi obtuz: înălțimea unui trapez isoscel, trasă din vârful unui unghi obtuz, împarte baza mai mare în două segmente, dintre care cel mai mic este jumătate din diferența bazelor, iar cel mai mare este jumătate din suma bazelor.

Când studiați proprietățile unui trapez, trebuie să acordați atenție unei astfel de proprietăți ca asemănarea. Deci, de exemplu, diagonalele unui trapez îl împart în patru triunghiuri, iar triunghiurile adiacente bazelor sunt similare, iar triunghiurile adiacente laturilor sunt egale. Această afirmație poate fi numită proprietatea triunghiurilor în care un trapez este împărțit cu diagonalele sale. Mai mult, prima parte a afirmației se dovedește foarte ușor prin semnul asemănării triunghiurilor în două unghiuri. Să demonstrăm partea a doua a declarației.

Triunghiurile BOC și COD au aceeași înălțime (Fig. 3), dacă luăm ca baze segmentele BO și OD. Atunci S BOC /S COD = BO/OD = k. Prin urmare, S COD = 1/k · S BOC .

În mod similar, triunghiurile BOC și AOB au o înălțime comună dacă luăm ca baze segmentele CO și OA. Atunci S BOC /S AOB = CO/OA = k și S A O B = 1/k · S BOC .

Din aceste două propoziții rezultă că S COD = S A O B.

Nu ne vom opri asupra afirmației formulate, ci vom găsi relația dintre ariile triunghiurilor în care un trapez este împărțit cu diagonalele sale. Pentru a face acest lucru, vom rezolva următoarea problemă.

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. Se știe că ariile triunghiurilor BOC și AOD sunt egale cu S 1 și respectiv S 2 . Găsiți aria trapezului.

Deoarece S COD \u003d S A O B, atunci S ABC D \u003d S 1 + S 2 + 2S COD.

Din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD, rezultă că BO / OD \u003d √ (S₁ / S 2).

Prin urmare, S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), și deci S COD = √(S 1 S 2).

Atunci S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 S 2) = (√S 1 + √S 2) 2 .

Folosind asemănarea, se poate demonstra proprietatea unui segment de dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez paralel cu bazele.

Considera sarcină:

Fie punctul O punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD cu bazele BC și AD. BC=a, AD=b. Aflați lungimea segmentului PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele. În ce segmente se împarte PK cu punctul O (Fig. 4)?

Din asemănarea triunghiurilor AOD și BOC rezultă că АO/OC = AD/BC = b/a.

Din asemănarea triunghiurilor AOP și ACB rezultă că AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Prin urmare, PO = BC b / (a ​​+ b) = ab/(a + b).

În mod similar, din asemănarea triunghiurilor DOK și DBC rezultă că OK = ab/(a + b).

Prin urmare, PO = OK și PK = 2ab/(a + b).

Deci, proprietatea dovedită poate fi formulată astfel: un segment paralel cu bazele trapezului, care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor și care leagă două puncte pe laturi, este împărțit la punctul de intersecție al diagonalelor. Lungimea sa este media armonică a bazelor trapezului.

Ca urmare a proprietatea a patru puncte: într-un trapez, punctul de intersecție al diagonalelor, punctul de intersecție al continuării laturilor, punctele medii ale bazelor trapezului se află pe aceeași linie.

Triunghiurile BSC și ASD sunt similare (Fig. 5) iar în fiecare dintre ele medianele ST și SG împart unghiul de vârf S în părți egale. Prin urmare, punctele S, T și G se află pe aceeași dreaptă.

În mod similar, punctele T, O și G sunt situate pe aceeași linie.Aceasta rezultă din asemănarea triunghiurilor BOC și AOD.

Prin urmare, toate cele patru puncte S, T, O și G se află pe aceeași dreaptă.

Puteți găsi, de asemenea, lungimea segmentului care împarte trapezul în două similare.

Dacă trapezele ALFD și LBCF sunt similare (Fig. 6), atunci a/LF = LF/b.

Prin urmare LF = √(ab).

Astfel, segmentul care împarte trapezul în două trapeze asemănătoare are lungimea egală cu media geometrică a lungimilor bazelor.

Să demonstrăm proprietatea unui segment de dreaptă care împarte un trapez în două părți egale.

Fie aria trapezului S (Fig. 7). h 1 și h 2 sunt părți ale înălțimii, iar x este lungimea segmentului dorit.

Atunci S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 și

S \u003d (h 1 + h 2) (a + b) / 2.

Să facem un sistem

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 (a + x) = (h 1 + h 2) (a + b)/2.

Rezolvând acest sistem, obținem x \u003d √ (1/2 (a 2 + b 2)).

În acest fel, lungimea segmentului care împarte trapezul în două egale este √ ((a 2 + b 2) / 2)(lungimile pătrate medii ale bazelor).

Deci, pentru trapezul ABCD cu bazele AD și BC (BC = a, AD = b) am demonstrat că segmentul:

1) MN, care leagă punctele medii ale laturilor trapezului, este paralel cu bazele și egal cu jumătatea lor (media aritmetică a numerelor a și b);

2) PK care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor trapezului paralel cu bazele este egal cu
2ab/(a + b) (media armonică a numerelor a și b);

3) LF, împărțind trapezul în două trapeze asemănătoare, are lungimea egală cu media geometrică a numerelor a și b, √(ab);

4) EH care împarte trapezul în două egale are lungimea √((a 2 + b 2)/2) (rădăcina medie pătrată a numerelor a și b).

Semnul și proprietatea unui trapez înscris și circumscris.

Proprietatea unui trapez înscris: Un trapez poate fi înscris într-un cerc dacă și numai dacă este isoscel.

Proprietățile trapezului descris. Un trapez poate fi circumscris unui cerc dacă și numai dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor.

Consecințele utile ale faptului că un cerc este înscris într-un trapez:

1. Înălțimea trapezului circumscris este egală cu două raze ale cercului înscris.

2. Latura laterală a trapezului circumscris este vizibilă din centrul cercului înscris în unghi drept.

Primul este evident. Pentru a demonstra cel de-al doilea corolar, este necesar să se stabilească că unghiul COD este unul drept, ceea ce, de asemenea, nu este dificil. Dar cunoașterea acestei consecințe ne permite să folosim un triunghi dreptunghic în rezolvarea problemelor.

Noi concretizăm consecințe pentru trapezul circumscris isoscel:

Înălțimea unui trapez circumscris isoscel este media geometrică a bazelor trapezului
h = 2r = √(ab).

Proprietățile luate în considerare vor permite o cunoaștere mai profundă a trapezului și vor asigura succesul în rezolvarea problemelor privind aplicarea proprietăților acestuia.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi problemele trapezului?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Cu o astfel de formă ca un trapez, ne întâlnim destul de des în viață. De exemplu, orice pod care este făcut din blocuri de beton este un prim exemplu. O opțiune mai vizuală poate fi considerată direcția fiecărui vehicul și așa mai departe. Proprietățile figurii erau deja cunoscute în Grecia antică , care a fost descris mai detaliat de Aristotel în a lui munca stiintifica"Start". Și cunoștințele care au fost dezvoltate cu mii de ani în urmă sunt și astăzi relevante. Prin urmare, ne vom familiariza cu ele mai detaliat.

In contact cu

Noțiuni de bază

Figura 1. Forma clasică a unui trapez.

Un trapez este în esență un patrulater, format din două segmente care sunt paralele și alte două care nu sunt paralele. Vorbind despre această cifră, este întotdeauna necesar să ne amintim concepte precum: baze, înălțime și linie de mijloc. Două segmente ale unui patrulater care se numesc baze unul față de celălalt (segmente AD și BC). Înălțimea se numește segmentul perpendicular pe fiecare dintre baze (EH), adică. se intersectează la un unghi de 90° (așa cum se arată în Fig. 1).

Dacă adunăm toate măsurile gradelor interne, atunci suma unghiurilor trapezului va fi egală cu 2π (360 °), ca orice patrulater. Un segment ale cărui capete sunt punctele medii ale pereților laterali (IF) numită linia de mijloc. Lungimea acestui segment este suma bazelor BC și AD împărțită la 2.

Există trei tipuri figură geometrică: drept, regulat și isoscel. Dacă cel puțin un unghi de la vârfurile bazei este drept (de exemplu, dacă ABD = 90 °), atunci un astfel de patrulater se numește trapez drept. Dacă segmentele laterale sunt egale (AB și CD), atunci se numește isoscel (respectiv, unghiurile de la baze sunt egale).

Cum să găsești zona

Pentru asta, pentru a găsi aria unui patrulater ABCD folosește următoarea formulă:

Figura 2. Rezolvarea problemei găsirii zonei

Pentru un exemplu mai ilustrativ, haideți să rezolvăm o problemă ușoară. De exemplu, bazele superioare și inferioare să fie egale cu 16 și, respectiv, 44 cm, iar laturile să fie de 17 și 25 cm. Să construim un segment perpendicular de la vârful D astfel încât DE II BC (așa cum se arată în Figura 2). Prin urmare, obținem asta

Lasă DF - va fi. Din ΔADE (care va fi echilateral), obținem următoarele:

Adică, în termeni simpli, am găsit mai întâi înălțimea ΔADE, care este și înălțimea trapezului. De aici calculăm deja formula binecunoscuta zona patrulaterului ABCD, cu înălțimea DF deja cunoscută.

Prin urmare, aria dorită ABCD este de 450 cm³. Adică se poate spune cu certitudine că Pentru a calcula aria unui trapez, aveți nevoie doar de suma bazelor și lungimea înălțimii.

Important! La rezolvarea problemei, nu este necesar să se găsească separat valoarea lungimilor; este foarte posibil dacă se aplică alți parametri ai figurii, care, cu dovezi adecvate, vor fi egali cu suma bazelor.

Tipuri de trapez

În funcție de ce laturi are figura, ce unghiuri se formează la baze, există trei tipuri de patrulatere: dreptunghiulare, laterale și echilaterale.

Versatil

Există două forme: acută și obtuză. ABCD este acut numai dacă unghiurile de bază (AD) sunt acute și lungimile laturilor sunt diferite. Dacă valoarea unui unghi este numărul Pi / 2 în plus (măsura gradului este mai mare de 90 °), atunci obținem un unghi obtuz.

Dacă laturile sunt egale ca lungime

Figura 3. Vedere a unui trapez isoscel

Dacă laturile neparalele sunt egale în lungime, atunci ABCD se numește isoscel (corect). Mai mult, pentru un astfel de patrulater, măsura gradului unghiurilor de la bază este aceeași, unghiul lor va fi întotdeauna mai mic decât cel drept. Din acest motiv, isoscelul nu este niciodată împărțit în acut și obtuz. Un patrulater cu această formă are propriile diferențe specifice, care includ:

1. Segmentele care leagă vârfuri opuse sunt egale.
2. Unghiurile ascuțite cu o bază mai mare sunt de 45 ° (un exemplu ilustrativ în Figura 3).
3. Dacă adăugați grade de unghiuri opuse, atunci în total vor da 180 °.
4. În jurul oricărui trapez obișnuit poate fi construit.
5. Dacă adăugați măsura gradului de unghiuri opuse, atunci aceasta este egală cu π.

Mai mult, datorită aranjamentului geometric al punctelor, există proprietățile de bază ale unui trapez isoscel:

Valoarea unghiului la bază 90°

Perpendicularitatea laturii laterale a bazei este o caracteristică încăpătoare a conceptului de „trapez dreptunghiular”. Nu pot exista două laturi cu colțuri la bază, pentru că altfel va fi deja un dreptunghi. În patrulatere de acest tip, a doua latură se va forma întotdeauna colt ascutit cu o bază mare, iar cu una mai mică - obtuz. În acest caz, latura perpendiculară va fi și înălțimea.

Segment între mijlocul pereților laterali

Dacă conectăm punctele de mijloc ale laturilor, iar segmentul rezultat va fi paralel cu bazele și egal în lungime cu jumătate din suma lor, atunci linia dreaptă formată va fi linia de mijloc. Valoarea acestei distanțe se calculează cu formula:

Pentru un exemplu mai ilustrativ, luați în considerare o problemă folosind linia de mijloc.

O sarcină. Linia mediană a trapezului este de 7 cm, se știe că una dintre laturi este cu 4 cm mai mare decât cealaltă (Fig. 4). Aflați lungimile bazelor.

Figura 4. Rezolvarea problemei găsirii lungimii bazei

Soluţie. Fie ca baza mai mică a DC să fie egală cu x cm, apoi baza mai mare va fi egală cu (x + 4) cm. De aici, folosind formula pentru linia de mijloc a trapezului, obținem:

Se pare că baza mai mică a DC este de 5 cm, iar cea mai mare este de 9 cm.

Important! Conceptul de linie mediană este cheia pentru rezolvarea multor probleme din geometrie. Pe baza definiției sale, se construiesc multe dovezi pentru alte figuri. Folosind conceptul în practică, este posibilă o soluție mai rațională și căutarea valorii cerute.

Determinarea înălțimii și cum să o găsiți

După cum sa menționat mai devreme, înălțimea este un segment care intersectează bazele la un unghi de 2Pi / 4 și este cea mai scurtă distanță dintre ele. Înainte de a afla înălțimea trapezului, este necesar să se determine ce valori de intrare sunt date. Pentru o mai bună înțelegere, luați în considerare problema. Aflați înălțimea trapezului, cu condiția ca bazele să aibă 8 și 28 cm, laturile să aibă 12 și, respectiv, 16 cm.

Figura 5. Rezolvarea problemei găsirii înălțimii unui trapez

Să desenăm segmentele DF și CH în unghi drept față de baza AD.Conform definiției, fiecare dintre ele va fi înălțimea unui trapez dat (Fig. 5). În acest caz, cunoscând lungimea fiecărui perete lateral, folosind teorema lui Pitagora, aflăm care este înălțimea în triunghiuri AFD și BHC.

Suma segmentelor AF și HB este egală cu diferența bazelor, adică:

Fie lungimea lui AF egală cu x cm, apoi lungimea segmentului HB = (20 - x) cm. După cum a fost stabilit, DF=CH , deci .

Apoi obținem următoarea ecuație:

Rezultă că segmentul AF din triunghiul AFD este de 7,2 cm, de aici calculăm înălțimea trapezului DF folosind aceeași teoremă a lui Pitagora:

Acestea. înălțimea trapezului ADCB va fi de 9,6 cm. După cum puteți vedea, calculul înălțimii este un proces mai mecanic și se bazează pe calculele laturilor și unghiurilor triunghiurilor. Dar, într-o serie de probleme de geometrie, pot fi cunoscute doar grade de unghiuri, caz în care calculele se vor face prin raportul laturilor triunghiurilor interioare.

Important!În esență, un trapez este adesea gândit ca două triunghiuri sau ca o combinație de dreptunghi și triunghi. Pentru a rezolva 90% din toate problemele găsite în manualele școlare, proprietățile și caracteristicile acestor cifre. Majoritatea formulelor pentru acest GMT sunt derivate bazându-se pe „mecanismele” pentru aceste două tipuri de cifre.

Cum se calculează rapid lungimea bazei

Înainte de a găsi baza trapezului, trebuie să determinați ce parametri sunt deja dați și cum să îi utilizați rațional. O abordare practică este extragerea lungimii bazei necunoscute din formula liniei mediane. Pentru o percepție mai clară a imaginii, vom arăta cum se poate face acest lucru folosind un exemplu de sarcină. Să se știe că linia de mijloc a trapezului are 7 cm, iar una dintre baze are 10 cm. Aflați lungimea celei de-a doua baze.

Rezolvare: Știind că linia de mijloc este egală cu jumătate din suma bazelor, se poate argumenta că suma lor este de 14 cm.

(14cm=7cm×2). Din starea problemei, știm că unul dintre este egal cu 10 cm, deci latura mai mică a trapezului va fi egală cu 4 cm (4 cm = 14 - 10).

Mai mult, pentru o rezolvare mai confortabilă a problemelor de acest gen, vă recomandăm să învățați bine astfel de formule din zona trapezului ca:

• linia de mijloc;
• zonă;
• înălţime;
• diagonalele.

Cunoscând esența (mai exact esența) acestor calcule, puteți afla cu ușurință valoarea dorită.

Video: trapez și proprietățile sale

Video: caracteristici trapezoidale

Ieșire

Din exemplele de probleme considerate, putem trage o concluzie simplă că trapezul, din punct de vedere al problemelor de calcul, este una dintre cele mai simple figuri din geometrie. Pentru a rezolva cu succes problemele, în primul rând, nu este necesar să se decidă ce informații se cunosc despre obiectul descris, în ce formule pot fi aplicate și să se decidă ce trebuie găsit. Prin executarea acestui algoritm simplu, nicio sarcină care folosește această figură geometrică nu va fi fără efort.