Dispunerea reciprocă a două cercuri. Dispunerea reciprocă a două cercuri pe un plan. Zubarev Evgheni Vladimirovici

Ministerul Educației și Științei Federația Rusă

Bugetul municipal instituție educațională

orașul Novosibirsk „Gimnaziul nr. 4”

Sectiunea: matematica

CERCETARE

pe această temă:

PROPRIETĂȚI ALE DOUĂ CERCURI ATINGERE

Elevii din clasa a X-a:

Khaziakhmetov Radik Ildarovich

Zubarev Evgheni Vladimirovici

supraveghetor:

LL. Barinova

Profesor de matematică

Cea mai înaltă categorie de calificare

§ 1.Introducere………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 Aranjament reciproc două cercuri………………………...……………………3

§ 2 Proprietăți și dovezi ale acestora…………………………………………………………………………………….…4

§ 2.1 Proprietatea 1…………………………………………………..…………...….…4

§ 2.2 Proprietatea 2………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Proprietatea 3……………………………………………………..…………………………6

§ 2.4 Proprietatea 4……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Proprietatea 5……………………………………..…………………………………………………8

§ 2.6 Proprietatea 6……………………………………………………………………………………………9

§ 3 Sarcini…………………………………………………………..………………..…11

Referințe………………………………………………………………….………….13

§ unu. Introducere

Multe probleme care implică două cercuri tangente pot fi rezolvate mai concis și simplu prin cunoașterea unora dintre proprietățile care vor fi prezentate mai târziu.

Dispunerea reciprocă a două cercuri

Pentru început, vom discuta despre posibila aranjare reciprocă a celor două cercuri. Pot exista 4 cazuri diferite.

1. Cercurile nu se pot intersecta.

2. Cruce.

3. Atingeți la un moment dat afară.

4. Atingeți la un moment dat în interior.

§ 2. Proprietățile și dovezile lor

Să trecem direct la dovedirea proprietăților.

§ 2.1 Proprietatea 1

Segmentele dintre punctele de intersecție ale tangentelor cu cercurile sunt egale între ele și egale cu două razele medii geometrice ale acestor cercuri.

Dovada 1. O 1 A 1 și O 2 V 1 - raze trasate la punctele de contact.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (conform paragrafului 1)

1. ▲O 1 O 2 D - dreptunghiular, deoarece O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. Prin teorema lui Pitagora А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (demonstrat similar)

1) Desenați razele la punctele de intersecție ale tangentelor cu cercurile.

2) Aceste raze vor fi perpendiculare pe tangente și paralele între ele.

3) Coborâți perpendiculara de la centrul cercului mai mic la raza cercului mai mare.

4) Ipotenuza triunghiului dreptunghic rezultat este egală cu suma razelor cercurilor. Piciorul este egal cu diferența lor.

5) Prin teorema lui Pitagora se obține relația dorită.

§ 2.2 Proprietatea 2

Punctele de intersecție ale dreptei care intersectează punctul de tangență al cercurilor și nu se află în niciunul dintre ele, cu tangentele traversează segmentele tangentelor exterioare delimitate de punctele de tangență, în părți, fiecare dintre ele egală cu media geometrică a razelor acestor cercuri.

Dovada 1.DOMNIȘOARĂ= MA 1 (ca segmente de tangente)

2.MS = MV 1 (ca segmente de tangente)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N \u003d NB 2 \u003d √Rr (conform alineatelor 1 și 2 )

Afirmații utilizate în dovadă Segmentele tangentelor trase de la un punct la un cerc sunt egale. Folosim această proprietate pentru ambele cercuri date.

§ 2.3 Proprietatea 3

Lungimea segmentului tangentei interne cuprinse între tangentele externe este egală cu lungimea segmentului tangentei externe dintre punctele de contact și este egală cu două razele medii geometrice ale acestor cercuri.

Dovada Această concluzie rezultă din proprietatea anterioară.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Proprietatea 4

Triunghiul format din centrele cercurilor tangente și punctul mijlociu al segmentului tangentei dintre razele trasate la punctele de tangență este dreptunghiular. Raportul picioarelor sale este egal cu câtul rădăcinilor razelor acestor cercuri.

Dovada 1.MO 1 este bisectoarea unghiului A 1 MC, MO 2 este bisectoarea unghiului B 1 MC, deoarece Centrul unui cerc înscris într-un unghi se află pe bisectoarea acelui unghi.

2. Conform paragrafului 1 РО 1 МS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - drept. MS - înălțimea triunghiului O 1 MO 2, deoarece tangenta MN este perpendiculară pe razele trasate la punctele de contact → triunghiurile О 1 МС și MO 2 С sunt asemănătoare.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (prin similitudine)

Afirmații utilizate în dovadă 1) Centrul unui cerc înscris într-un unghi se află pe bisectoarea acelui unghi. Lamele unui triunghi sunt bisectoarele unghiurilor.

2) Folosind faptul ca unghiurile astfel formate sunt egale, obtinem ca unghiul pe care il cautam este un unghi drept. Conchidem că acest triunghi este într-adevăr un triunghi dreptunghic.

3) Demonstrăm asemănarea triunghiurilor în care înălțimea (întrucât tangenta este perpendiculară pe razele trasate în punctele de contact) împarte triunghiul dreptunghic, iar prin asemănare obținem raportul dorit.

§ 2.5 Proprietatea 5

Triunghiul format din punctul de contact al cercurilor între ele și punctele de intersecție ale cercurilor cu tangenta, este un triunghi dreptunghic. Raportul picioarelor sale este egal cu câtul rădăcinilor razelor acestor cercuri.

Dovada

1. ▲А 1 МС și ▲СМВ 1 sunt isoscele → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МS + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Dar RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - direct → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS și ▲CO 2 B 1 sunt similare → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Afirmații utilizate în dovadă 1) Pictăm suma unghiurilor triunghiurilor, folosind faptul că acestea sunt isoscele. Triunghiurile isoscele sunt dovedite folosind proprietatea despre egalitatea segmentelor tangente.

2) După ce am pictat suma unghiurilor în așa fel, obținem că în triunghiul luat în considerare există un unghi drept, deci este dreptunghiular. Prima parte a afirmației este dovedită.

3) Prin asemănarea triunghiurilor (când o justificăm, folosim semnul asemănării la două unghiuri) găsim raportul catetelor unui triunghi dreptunghic.

§ 2.6 Proprietatea 6

Patrulaterul format din punctele de intersecție ale cercurilor cu tangenta este un trapez în care poate fi înscris cercul.

Dovada 1.▲A 1 RA 2 și ▲B 1 RV 2 sunt isoscele deoarece A 1 P \u003d RA 2 și B 1 P \u003d PB 2 ca segmente de tangente → ▲A 1 RA 2 și ▲B 1 PB 2 sunt similare.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, deoarece unghiurile corespunzătoare formate la intersecția secantei A 1 B 1 sunt egale.

1. MN- linia de mijloc prin proprietatea 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr \u003d A 1 A 2 + B 1 B 2 → într-un trapez A 2 A 1 B 1 B 2 suma bazele este egală cu suma laturilor, iar aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru existența unui cerc înscris.

Afirmații utilizate în dovadă 1) Să folosim din nou proprietatea segmentelor tangente. Cu ajutorul lui, vom demonstra triunghiurile isoscele formate din punctul de intersecție al tangentelor și punctelor tangente.

2) De aici va urma asemănarea acestor triunghiuri și paralelismul bazelor lor. Pe această bază, concluzionăm că acest patrulater este un trapez.

3) Conform proprietății (2) pe care am demonstrat-o mai devreme, găsim linia mediană a trapezului. Este egal cu două razele medii geometrice ale cercurilor. În trapezul rezultat, suma bazelor este egală cu suma laturilor, iar aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru existența unui cerc înscris.

§ 3. Sarcini

Luați în considerare, folosind un exemplu practic, cum poate fi simplificată soluția problemei folosind proprietățile de mai sus.

Sarcina 1

În triunghiul ABC, latura AC = 15 cm În triunghi este înscris un cerc. Al doilea cerc atinge primul și laturile AB și BC. Punctul F este ales pe latura AB, iar punctul M este ales pe latura BC, astfel încât segmentul FM este o tangentă comună la cercuri. Aflați raportul dintre ariile triunghiului BFM și patrulaterului AFMC dacă FM are 4 cm, iar punctul M este de două ori mai departe de centrul unui cerc decât de centrul celuilalt.

Dat: FM tangentă comună AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Găsiți S BFM /S AFMC

Soluţie:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P și ▲BO 2 Q sunt similare → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC \u003d R * R ABC \u003d 4 * (61/3) \u003d 244/3 → S BFM / S AFMC \u003d (16/3): (244/3) \u003d 4/61

Sarcina 2

Două cercuri tangente cu punctul lor comun D și o tangentă comună FK care trece prin acest punct sunt înscrise într-un triunghi isoscel ABC. Aflați distanța dintre centrele acestor cercuri dacă baza triunghiului AC = 9 cm, iar segmentul laturii laterale a triunghiului cuprins între punctele de contact ale cercurilor este de 4 cm.

Dat: ABC este un triunghi isoscel; FK este tangenta comună a cercurilor înscrise. AC = 9 cm; NE = 4 cm

Soluţie:

Fie că liniile AB și CD se intersectează în punctul O. Atunci OA = OD, OB = OC, deci CD = AB = 2√Rr

Punctele O 1 și O 2 se află pe bisectoarea unghiului AOD. Bisectoare triunghi isoscel AOD este înălțimea sa, deci AD ┴ O 1 O 2 și BC ┴ O 1 O 2, deci

AD ║ BC și ABCD este un trapez isoscel.

Segmentul MN este linia sa mediană, deci AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Prin urmare, un cerc poate fi înscris în acest trapez.

Fie AP înălțimea trapezului, triunghiuri dreptunghiulare ARV și O 1 FO 2 sunt similare, prin urmare AP / O 1 F \u003d AB / O 1 O 2.

De aici aflăm că

Bibliografie

• Supliment la ziarul „Primul Septembrie” „Matematică” Nr.43, 2003
• USE 2010. Matematică. Sarcina C4. Gordin R.K.

Clasa 7G, ​​Z

Tema lecției: „Poziția relativă a două cercuri”
Scop: cunoașterea posibilelor cazuri de aranjare reciprocă a două cercuri; aplicarea cunoștințelor pentru a rezolva probleme.

Obiective: Educaționale: pentru a ajuta elevii să creeze și să consolideze o reprezentare vizuală a posibilelor cazuri de localizare a două cercuri, elevii vor fi capabili să:

Stabiliți o legătură între aranjarea reciprocă a cercurilor, razele lor și distanța dintre centrele lor;

Analizați designul geometric și modificați-l mental,

Dezvoltați imaginația planimetrică.

Elevii vor fi capabili să aplice cunoștințele teoretice la rezolvarea problemelor.

Tip de lecție: o lecție de introducere și consolidare a noilor cunoștințe ale materialului.

Echipament: prezentare pentru lecție; busole, riglă, creion și manual pentru fiecare elev.

Tutorial: . „Geometrie Clasa 7”, Almaty „Atamura” 2012

În timpul orelor.

Organizarea timpului. Verificarea temelor.

3. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Repetați definițiile unui cerc, cerc, rază, diametru, coardă, distanță de la un punct la o linie.

1) 1) Ce cazuri de localizare a unei drepte și a unui cerc cunoașteți?

2) Ce dreptă se numește tangentă?

3) Ce dreptă se numește secanta?

4) Teorema despre diametrul perpendicular pe coardă?

5) Cum trece tangenta față de raza cercului?

6) Completați tabelul (pe cartonașe).

Elevii sub îndrumarea unui profesor rezolvă și analizează probleme.

1) Linia dreaptă a este tangentă la un cerc cu centrul O. Un punct A este dat pe o dreaptă a. Unghiul dintre tangentă și segmentul OA este 300. Aflați lungimea segmentului OA dacă raza este de 2,5 m .

2) Determinați poziția relativă a dreptei și a cercului dacă:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4,2cm 3. R=7,2cm, d=3,7cm 4. R=8cm, d=1,2cm 5. R=5 cm, d=50mm

a) o dreaptă și un cerc nu au puncte comune;

b) linia este tangentă la cerc;

c) o linie intersectează un cerc.

d este distanța de la centrul cercului la linia dreaptă, R este raza cercului.

3) Ce se poate spune despre poziția relativă a dreptei și a cercului, dacă diametrul cercului este de 10,3 cm, iar distanța de la centrul cercului la linie este de 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dat un cerc cu centrul O si punctul A. Unde este punctul A daca raza cercului este de 7 cm, iar lungimea segmentului OA este: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. Împreună cu elevii aflați tema lecției, formulați obiectivele lecției.

5. Introducerea de material nou.

Lucrări practice în grup.

Construiți 3 cercuri. Pentru fiecare cerc, construiți încă un cerc, astfel încât 1) 2 cercuri să nu se intersecteze, 2) 2 cercuri să se atingă, 3) două cercuri să se intersecteze. Aflați raza fiecărui cerc și distanța dintre centrele cercurilor, comparați rezultatele. Care poate fi concluzia?
2) Rezumați și scrieți într-un caiet, cazuri de aranjare reciprocă a două cercuri.

Dispunerea reciprocă a două cercuri pe un plan.

Cercurile nu au puncte comune (nu se intersectează). (R1 și R2 sunt raze de cerc)

Dacă R1 + R2< d,

d - Distanța dintre centrele cercurilor.

c) Cercurile au două puncte comune. (intersectează).

Dacă R1 + R2 > d,

Întrebare. Două cercuri pot avea trei puncte în comun?

6. Consolidarea materialului studiat.

Găsiți o eroare în date sau în declarație și corectați-o motivând opinia dvs.:
a) Două cercuri se ating. Razele lor sunt R = 8 cm și r = 2 cm, distanța dintre centre este d = 6.
B) Două cercuri au cel puțin două puncte în comun.
C) R = 4, r = 3, d = 5. Cercurile nu au puncte comune.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Cercul mai mic este situat în interiorul celui mai mare.
E) Două cercuri nu pot fi localizate astfel încât unul să fie în interiorul celuilalt.

7. Rezultatele lecției. Ce ai învățat la lecție? Ce regula a fost stabilita?

Cum pot fi localizate două cercuri? În acest caz, cercurile au unul punct comun? Cum se numește punctul comun al două cercuri? Ce atingeri știi? Când se intersectează cercurile? Ce cercuri se numesc concentrice?

Să fie dat un cerc și un punct care nu coincid cu centrul său C (Fig. 205). Sunt posibile trei cazuri: punctul se află în interiorul cercului (Fig. 205, a), pe cerc (Fig. 205, b), în afara cercului (Fig. 205, c). Să tragem o linie dreaptă, acesta va intersecta cercul în punctele K și L (în cazul b), punctul va coincide cu unul dintre care va fi cel mai apropiat de punct în comparație cu toate celelalte puncte ale cercului) și altele - cele mai îndepărtate.

Deci, de exemplu, în fig. 205, iar punctul K al cercului este cel mai apropiat de . Într-adevăr, pentru orice alt punct al cercului, linia întreruptă este mai lungă decât segmentul CAG: dar și, prin urmare, dimpotrivă, pentru punctul L găsim (din nou, linia întreruptă este mai lungă decât segmentul de dreaptă). Lăsăm cititorului analiza celor două cazuri rămase. Rețineți că distanța cea mai mare este egală cu cea mai mică dacă sau dacă .

Să trecem la analiza cazurilor posibile de aranjare a două cercuri (fig. 206).

a) Centrele cercurilor coincid (Fig. 206, a). Astfel de cercuri se numesc concentrice. Dacă razele acestor cercuri nu sunt egale, atunci unul dintre ele se află în interiorul celuilalt. Dacă razele sunt egale, ele coincid.

b) Acum să fie diferite centrele cercurilor. Le conectăm cu o linie dreaptă, se numește linia centrelor unei perechi date de cercuri. Dispunerea reciprocă a cercurilor va depinde numai de raportul dintre valoarea segmentului d care leagă centrele lor și valorile razelor cercurilor R, r. Toate cazurile posibile, esențial diferite, sunt prezentate în Fig. 206 (considerăm).

1. Distanța dintre centre este mai mică decât diferența de raze:

(Fig. 206, b), un cerc mic se află în interiorul unuia mare. Aceasta include și cazul a) coincidența de centre (d = 0).

2. Distanța dintre centre este egală cu diferența razelor:

(Fig. 206, s). Cercul mic se află în interiorul celui mare, dar are un punct comun cu acesta pe linia de centre (se spune că există contact intern).

3. Distanța dintre centre este mai mare decât diferența razelor, dar mai mică decât suma lor:

(Fig. 206, d). Fiecare dintre cercuri se află parțial în interior, parțial în afara celuilalt.

Cercurile au două puncte de intersecție K și L, situate simetric față de linia de centre. Un segment este o coardă comună a două cercuri care se intersectează. Este perpendicular pe linia centrelor.

4. Distanța dintre centre este egală cu suma razelor:

(Fig. 206, e). Fiecare dintre cercuri se află în afara celuilalt, dar au un punct comun pe linia de centre (tangență externă).

5. Distanţa dintre centre este mai mare decât suma razelor: (Fig. 206, e). Fiecare dintre cercuri se află în întregime în afara celuilalt. Cercurile nu au puncte comune.

Clasificarea de mai sus rezultă complet din cea de mai sus. deasupra întrebării despre distanța cea mai mare și cea mai mică de la un punct la un cerc. Este necesar să luați în considerare doar două puncte pe unul dintre cercuri: cel mai apropiat și cel mai îndepărtat de centrul celui de-al doilea cerc. De exemplu, luați în considerare cazul Prin condiție . Dar punctul cercului mic care este cel mai îndepărtat de O este situat la o distanță de centrul O. Prin urmare, întregul cerc mic se află în interiorul celui mare. Alte cazuri sunt luate în considerare în același mod.

În special, dacă razele cercurilor sunt egale, atunci sunt posibile numai ultimele trei cazuri: intersecție, atingere externă, locație externă.

Subiectul lecției: " Dispunerea reciprocă a două cercuri pe un plan.

Ţintă :

educational - stăpânirea noilor cunoștințe despre poziția relativă a două cercuri, pregătirea pentru munca de control

Educational - dezvoltarea abilităților de calcul, dezvoltarea gândirii logice și structurale; formarea deprinderilor pentru găsirea de soluții raționale și obținerea rezultatelor finale; dezvoltarea activității cognitive și a gândirii creative.

Educational – formarea responsabilitatii elevilor, consecventa; dezvoltarea calităților cognitive și estetice; formarea culturii informaţionale a elevilor.

Corecţional - dezvolta gândirea spațială, memoria, abilitățile motorii ale mâinii.

Tip de lecție: studiul materialului educațional nou, consolidare.

Tip de lecție: lectie mixta.

Metoda de predare: verbal, vizual, practic.

Forma de studiu: colectiv.

Mijloace de educatie: bord

ÎN CURILE:

1. Etapa organizatorică

- Salutari;

- verificarea gradului de pregătire pentru lecție;

2. Actualizarea cunoștințelor de bază.
Ce subiecte am abordat în lecțiile anterioare?

Vedere generală a ecuației cercului?

Execută oral:

Sondaj Blitz

3. Introducerea de material nou.

Ce parere aveti si ce cifra vom lua in considerare astazi.... Dacă sunt două?

Cum pot fi localizati???

Copiii arată cu mâinile lor (vecinii) cum pot fi localizate cercurile ( educație fizică)

Ei bine, ce crezi că ar trebui să luăm în considerare astăzi?Astăzi ar trebui să luăm în considerare poziția relativă a celor două cercuri. Și află care este distanța dintre centre în funcție de locație.

Subiectul lecției:« Dispunerea reciprocă a două cercuri. Rezolvarea problemelor.»

1. Cercuri concentrice

2. Cercuri care nu se intersectează

3. Atingere externă

4. Cercuri care se intersectează

5. Atingere internă

Deci haideți să concluzionam

4. Formarea deprinderilor și abilităților

Găsiți o eroare în date sau în declarație și corectați-o motivând opinia dvs.:

a) Două cercuri se ating. Razele lor sunt R = 8 cm și r = 2 cm, distanța dintre centre este d = 6.
B) Două cercuri au cel puțin două puncte în comun.

C) R = 4, r = 3, d = 5. Cercurile nu au puncte comune.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. Cercul mai mic este situat în interiorul celui mai mare.

E) Două cercuri nu pot fi localizate astfel încât unul să fie în interiorul celuilalt.

5. Consolidarea deprinderilor și abilităților.

Cercurile se ating în exterior. Raza cercului mai mic este de 3 cm, raza celui mai mare este de 5 cm.Care este distanta dintre centre?

Soluție: 3+5=8(cm)

Cercurile se ating în interior. Raza cercului mai mic este de 3 cm.Raza cercului mai mare este de 5 cm.Care este distanta dintre centrele cercurilor?

Soluție: 5-3=2(cm)

Cercurile se ating în interior. Distanța dintre centrele cercurilor este de 2,5 cm.Care sunt razele cercurilor?

răspuns: (5,5 cm și 3 cm), (6,5 cm și 4 cm), etc.

VERIFICAREA ÎNȚELEGEREI

1) Cum pot fi localizate două cercuri?

2) Când au cercurile un punct comun?

3) Cum se numește punctul comun al două cercuri?

4) Ce atingeri știi?

5) Când se intersectează cercurile?

6) Ce cercuri se numesc concentrice?

Sarcini suplimentare pe tema: Vectori. Metoda coordonatelor'(daca este timp)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Aflați:

a) coordonatele vectorilor EF,GH

b) lungimea vectorului FG

c) coordonatele punctului O - mijlocul lui EF

coordonatele punctului W - punctul mijlociu GH

d) ecuația cercului cu diametrul FG

e) ecuaţia dreptei FH

6. Teme pentru acasă

& 96 #1000. Care dintre aceste ecuații sunt ecuații în cerc. Găsiți Centrul și Raza

7. Rezumând lecția(3 min.)

(oferiți o evaluare calitativă a activității clasei și a elevilor individuali).

8. Stadiul reflecției(2 minute.)

(inițiați reflecția elevilor asupra stării lor emoționale, activităților lor, interacțiunii cu profesorul și colegii cu ajutorul desenelor)