Cum să găsiți liniile mediane ale unui triunghi. Cum să găsiți linia mediană a unui triunghi
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
Uneori, subiectele care sunt explicate la școală pot să nu fie întotdeauna clare prima dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru o materie precum matematica. Dar lucrurile devin mult mai complicate atunci când această știință începe să fie împărțită în două părți: algebră și geometrie.
Fiecare elev poate avea capacitatea într-una din două direcții, dar mai ales în școală primară este important să înțelegem baza atât a algebrei, cât și a geometriei. În geometrie, unul dintre subiectele principale este considerat a fi secțiunea despre triunghiuri.
Cum să găsiți linia mediană a unui triunghi? Să ne dăm seama.
Noțiuni de bază
Pentru început, pentru a vă da seama cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi, este important să înțelegeți ce este.
Nu există restricții pentru trasarea liniei mediane: triunghiul poate fi oricare (isoscel, echilateral, dreptunghic). Și toate proprietățile care se referă la linia de mijloc vor funcționa.
Linia mediană a unui triunghi este un segment de linie care leagă punctele de mijloc a două dintre laturile sale. Prin urmare, orice triunghi poate avea 3 astfel de drepte.
Proprietăți
Pentru a ști cum să găsim linia de mijloc a unui triunghi, să notăm proprietățile sale care trebuie reținute, altfel fără ele va fi imposibil să rezolvi problemele cu necesitatea de a desemna lungimea liniei de mijloc, deoarece toate datele obținute trebuie să să fie fundamentate și argumentate cu teoreme, axiome sau proprietăți.
Astfel, pentru a răspunde la întrebarea: „Cum să găsești linia mediană a triunghiului ABC?”, este suficient să cunoști una dintre laturile triunghiului.
Să dăm un exemplu
Aruncă o privire la desen. Reprezintă triunghiul ABC cu linia mediană DE. Rețineți că este paralel cu baza AC în triunghi. Prin urmare, indiferent de valoarea lui AC, linia de mijloc DE va fi la jumătate mai mare. De exemplu, AC=20 înseamnă DE=10 etc.
În moduri atât de simple, puteți înțelege cum să găsiți linia de mijloc a unui triunghi. Amintiți-vă proprietățile și definiția lui de bază și atunci nu veți avea niciodată probleme în a-i găsi valoarea.
1 Construcție suplimentară care duce la teorema pe linia mediană a unui triunghi, trapez și proprietăți de similaritate ale triunghiurilor.
Si ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Consecința 1.
Consecința 2.
De aici este clar că 
1 Toate triunghiurile dreptunghiulare cu același unghi ascuțit sunt similare. O privire asupra funcțiilor trigonometrice.
Triunghiurile cu laturile amorsate și neamorsate sunt similare în ceea ce privește egalitatea celor două unghiuri. Prin urmare, unde
Aceasta înseamnă că aceste relații depind doar de unghiul ascuțit al triunghiului dreptunghic și, de fapt, îl determină. Acesta este unul dintre motivele apariției funcțiilor trigonometrice:
Adesea înregistrarea funcțiilor trigonometrice ale unghiului în triunghiuri dreptunghiulare similare este mai clară decât înregistrarea relațiilor de similitudine!
2 Un exemplu de construcție suplimentară este înălțimea coborâtă până la ipotenuză. Derivarea teoremei lui Pitagora pe baza asemănării triunghiurilor.
Să coborâm altitudinea CH până la ipotenuza AB. Avem trei triunghiuri similare ABC, AHC și CHB. Să scriem expresii pentru funcțiile trigonometrice:
De aici este clar că . Adăugând, obținem teorema lui Pitagora, deoarece:
Pentru o altă demonstrație a teoremei lui Pitagora, vezi comentariul la problema 4.
3 Un exemplu important de construcție suplimentară este construcția unui unghi egal cu unul dintre unghiurile unui triunghi.
Conducand de sus unghi drept un segment de dreaptă care face un unghi cu cateta CA egal cu unghiul CAB al unui triunghi dreptunghic dat ABC. Ca rezultat, obținem un triunghi isoscel ACM cu unghiuri la bază. Dar celălalt triunghi rezultat dintr-o astfel de construcție va fi și el isoscel, deoarece fiecare dintre unghiurile sale de la bază este egal (prin proprietatea unghiurilor unui triunghi dreptunghic și prin construcție, unghiul a fost „scăzut” din dreapta unghi). Datorită faptului că triunghiurile BMC și AMC sunt isoscele cu o latură comună MC, avem egalitatea MB=MA=MC, adică. MC- mediana trasată la ipotenuza unui triunghi dreptunghic, si ea egal cu jumătate din ipotenuză.
Consecința 1. Punctul de mijloc al ipotenuzei este centrul cercului circumscris acestui triunghi, deoarece s-a dovedit că punctul de mijloc al ipotenuzei este echidistant de vârfurile triunghiului dreptunghic.
Consecința 2. Linia mediană a unui triunghi dreptunghic, care leagă punctul de mijloc al ipotenuzei și punctul de mijloc al catetei, este paralelă cu catetul opus și egală cu jumătatea acestuia.
În triunghiurile isoscele BMC și AMC, să coborâm înălțimile MH și MG la baze. Pentru că în triunghi isoscel, înălțimea coborâtă până la bază este și mediana (și bisectoarea), atunci MH și MG sunt liniile unui triunghi dreptunghic care leagă punctul de mijloc al ipotenuzei cu punctele medii ale catetelor. Prin construcție, ele se dovedesc a fi paralele cu picioarele opuse și egale cu jumătățile lor, deoarece triunghiurile sunt egale cu MHC și MGC sunt egale (mai mult, MHCG este un dreptunghi). Acest rezultat stă la baza demonstrării teoremei pe dreapta mediană a unui triunghi arbitrar și, în continuare, a dreptei mediane a unui trapez și a proprietății de proporționalitate a segmentelor tăiate de drepte paralele pe două drepte care le intersectează.
Sarcini
Utilizarea proprietăților de similaritate -1
Utilizarea proprietăților de bază - 2
Folosind versiunea suplimentară 3-4
1 2 3 4
Înălțimea căzută de la vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este egală cu rădăcina pătrată a lungimii segmentelor în care împarte ipotenuza.
Soluția pare evidentă dacă cunoașteți derivarea teoremei lui Pitagora din asemănarea triunghiurilor:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
de unde \(h^2=c_1c_2\).
Aflați locul punctelor (GMT) al intersecției medianelor tuturor triunghiurilor dreptunghic posibile, a căror ipotenuză AB este fixă.
Punctul de intersecție al medianelor oricărui triunghi separă o treime din mediană, numărând din punctul de intersecție cu latura corespunzătoare. Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din unghiul drept este jumătate din ipotenuză. Prin urmare, GMT-ul dorit este un cerc de rază egală cu 1/6 din lungimea ipotenuzei, cu un centru în mijlocul acestei ipotenuze (fixe).
Cum să găsiți punctul de mijloc al unui triunghi: o problemă de geometrie. Principalele probleme elementare din geometria euclidiană ne-au venit din antichitate. Ele conțin esența primară și cunoștințele de bază necesare despre percepția formelor spațiale de către o persoană. O astfel de problemă este problema găsirii punctului mijlociu al unui triunghi. Astăzi, această sarcină este considerată o metodă de predare pentru dezvoltarea abilităților intelectuale ale școlarilor. În lumea antică, cunoașterea modului de găsire a mijlocului unui triunghi era aplicată și în practică: în gestionarea terenurilor, în fabricarea diferitelor mecanisme etc. Care este esența acestui puzzle geometric?
Ce este mediana? Înainte de a rezolva problema, trebuie să vă familiarizați cu cea mai simplă terminologie geometrică referitoare la triunghiuri. În primul rând, fiecare triunghi are trei vârfuri, trei laturi și trei unghiuri, din care numele acestuia figură geometrică. Este important să știți cu ce sunt liniile care leagă vârfurile părți opuse: înălțime, bisectoare și mediană.
Înălțime - o linie perpendiculară pe latura opusă vârfului din care este desenată; bisectoare - împarte unghiul la jumătate; mediana împarte latura opusă vârfului de ieșire în jumătate. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să știți cum să găsiți coordonatele mijlocului segmentului, deoarece este punctul de intersecție al medianelor triunghiului care este mijlocul acestuia.
Aflați punctele medii ale laturilor triunghiului. Găsirea punctului de mijloc al unui segment este, de asemenea, clasică. problema geometrica, pentru a cărui soluție aveți nevoie de o busolă și o riglă fără diviziuni. Punem acul busolei la capătul segmentului și desenăm un semicerc mai mare de jumătate din segment în mijlocul acestuia din urmă. Facem același lucru și pe cealaltă parte a segmentului. Semicercurile rezultate se vor intersecta în mod necesar în două puncte, deoarece razele lor sunt mai mari decât jumătate din segmentul original.
Conectăm cele două puncte de intersecție ale cercului cu o linie dreaptă folosind o riglă. Această linie intersectează segmentul original exact în mijlocul său. Acum, știind cum să găsim punctul de mijloc al segmentului, facem asta cu fiecare latură a triunghiului. După ce găsiți toate punctele de mijloc ale laturilor triunghiului, sunteți gata să construiți propriul punct de mijloc.
Construim mijlocul triunghiului. Conectând vârfurile triunghiului cu punctele mijlocii ale laturilor lor opuse cu linii drepte, obținem trei mediane. Acest lucru poate surprinde pe cineva, dar una dintre legile armoniei acestei figuri geometrice este că toate cele trei mediane se intersectează întotdeauna într-un punct. Acest punct va fi punctul de mijloc dorit al triunghiului, care nu este atât de greu de găsit dacă știi cum să construiești punctul de mijloc al segmentului.
De asemenea, este interesant că punctul de intersecție al medianelor nu este doar mijlocul geometric, ci și „fizic” al triunghiului. Adică, dacă, de exemplu, tăiați un triunghi din placaj, găsiți mijlocul acestuia și plasați acest punct pe vârful acului, atunci în mod ideal o astfel de cifră se va echilibra și nu va cădea. Geometria elementară poartă multe astfel de „mistere”, a căror cunoaștere ajută la înțelegerea armoniei lumii înconjurătoare și a naturii lucrurilor mai complexe.
Linia mediană a unui triunghi este un segment de linie care leagă punctele de mijloc a două dintre laturile sale. În consecință, fiecare triunghi are trei drepte mediane. Cunoscând calitatea liniei mediane, precum și lungimile laturilor triunghiului și unghiurile sale, este posibil să găsiți lungimea liniei mediane.
Vei avea nevoie
- Laturile unui triunghi, unghiurile unui triunghi
Instruire
1. Fie într-un triunghi ABC MN linia mediană care leagă punctele medii ale laturilor AB (punctul M) și AC (punctul N). Prin proprietate, linia mediană a triunghiului care leagă punctele mijlocii a două laturi este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătatea sa. Aceasta înseamnă că linia mediană MN va fi paralelă cu latura BC și egală cu BC/2. În consecință, pentru a determina lungimea liniei mediane a triunghiului, este suficient să cunoaștem lungimea laturii acestei a treia laturi.
2. Să cunoaștem acum laturile ale căror puncte medii sunt conectate prin dreapta mediană MN, adică AB și AC, precum și unghiul BAC dintre ele. Deoarece MN este linia de mijloc, atunci AM = AB/2, iar AN = AC/2. Atunci, conform teoremei cosinusului, obiectiv: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. De aici, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).
3. Dacă laturile AB și AC sunt cunoscute, atunci linia mediană MN poate fi găsită cunoscând unghiul ABC sau ACB. Să spunem, unghiul ABC să fie celebru. Deoarece, prin proprietatea liniei mediane, MN este paralel cu BC, atunci unghiurile ABC și AMN sunt corespondente și, în consecință, ABC = AMN. Apoi, prin legea cosinusurilor: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). În consecință, latura MN poate fi găsită din ecuația pătratică (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.
Sfat 2: Cum să găsiți latura unui triunghi pătrat
Un triunghi pătrat este mai corect denumit triunghi dreptunghic. Relațiile dintre laturile și unghiurile acestei figuri geometrice sunt considerate în detaliu în disciplina matematică a trigonometriei.
Vei avea nevoie
- - hartie;
- - pix;
- – mese Bradis;
- - calculator.
Instruire
1. Descoperi latură dreptunghiular triunghi cu suport pentru teorema lui Pitagora. Conform acestei teoreme, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c2 \u003d a2 + b2, unde c este ipotenuza triunghi, a și b sunt picioarele sale. Pentru a aplica această ecuație, trebuie să cunoașteți lungimea oricăror 2 laturi ale unui dreptunghi triunghi .
2. Dacă condițiile specifică dimensiunile catetelor, găsiți lungimea ipotenuzei. Pentru a face acest lucru, cu ajutorul unui calculator, extrageți rădăcina pătrată a sumei catetelor, fiecare dintre acestea fiind pătrat în avans.
3. Calculați lungimea unuia dintre catete, dacă se cunosc dimensiunile ipotenuzei și ale celuilalt catete. Folosind un calculator, luați rădăcina pătrată a diferenței dintre ipotenuza pătrată și catetul condus, de asemenea pătrat.
4. Dacă ipotenuza și unul dintre unghiurile ascuțite adiacente acesteia sunt date în problemă, utilizați tabelele Bradys. Ele dau valorile funcțiilor trigonometrice pentru un numar mare colțuri. Utilizați calculatorul cu funcții sinus și cosinus, precum și teoreme de trigonometrie care descriu relația dintre laturile și unghiurile unui dreptunghi. triunghi .
5. Găsiți catetele folosind funcțiile trigonometrice de bază: a = c*sin ?, b = c*cos ?, unde a este piciorul opus colțului?, b este piciorul adiacent colțului?. În mod similar, calculați dimensiunea laturilor triunghi, dacă ipotenuza și altele colt ascutit: b = c*sin ?, a = c*cos ?, unde b este piciorul opus coltului?, iar piciorul este adiacent coltului?.
6. În cazul în care conducem cateta a și unghiul ascuțit adiacent acestuia?, nu uitați că într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este invariabil egală cu 90 °: ? +? = 90°. Aflați valoarea unghiului opus catetului a:? = 90° -?. Sau folosește formule trigonometrice aruncă: păcat ? = sin (90° -?) = cos?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tan?.
7. Dacă păstrăm catetul a și unghiul ascuțit opus acestuia?, folosind tabele Bradis, un calculator și funcții trigonometrice, se calculează ipotenuza folosind formula: c=a*sin?, cateta: b=a*tg?.
Videoclipuri similare
