Acasă » Clasa a 9-a » Sarcini pe tema relațiilor directe și invers proporționale. Proporționalitate directă și inversă 6 proporțională

Sarcini pe tema relațiilor directe și invers proporționale. Proporționalitate directă și inversă 6 proporțională

Clasă: 6

În munca mea, folosesc diferite forme și metode de predare, încerc să folosesc o varietate de tehnici organizaționale. activități de învățare pentru a menține elevii interesați de învățare. Numai în acest caz, activitatea cognitivă a elevilor crește, gândirea începe să funcționeze mai productiv și creativ. Unul dintre mijloacele de creștere a interesului pentru subiect este utilizarea tehnologiei informației.

Utilizarea tehnologiei informatice la clasă vă permite să schimbați în mod continuu formele de lucru, să alternați constant exerciții orale și scrise, să implementați diferite abordări pentru rezolvarea problemelor matematice, iar acest lucru creează și menține în mod constant tensiunea intelectuală a elevilor, formează interesul lor constant pentru studiind acest subiect.

Munca în grup la clasă stimulează activitatea cognitivă a elevilor, promovează implicarea acestora în activități creative și de comunicare. În procesul muncii individuale, elevii înșiși se străduiesc să rezolve problemele, educația se transformă în autoeducație.

Efectuarea sarcinilor creative contribuie la aplicarea cunoștințelor școlare în situații din viața reală.

Tip de lecție: lecție combinată

Obiectivele lecției:

cognitive:
- să asigure asimilarea conștientă de către elevi a conceptului de proporționalitate directă și inversă în rezolvarea problemelor;
- verifica nivelul de cunostinte asupra subiectului prin diferite forme muncă.
Educational:
- să activeze activitatea mentală a elevilor prin participarea fiecăruia dintre ei la procesul de muncă;
- dezvoltarea atenției, memoriei, abilităților intelectuale și creative;
- dezvoltarea sferei emoționale a elevilor în procesul de învățare;
- dezvolta controlul și autocontrolul.
Educational:
- pentru a forma un sentiment de cooperare, asistență reciprocă;
- pentru a forma abilități practice;
- genera interes pentru subiectul studiat.

Planul lecției:

Moment organizatoric (2 min.)
Contul mental (4 min.)
Analiza problemelor rezolvate de elevi (5 min.)
Educație fizică (2 min.)
Consolidarea materialului studiat, lucru în grup (16 min.)
Muncă independentă(13 min.)
Rezumatul lecției (2 min.)
Teme pentru acasă(1 minut.)

ÎN CURILE CLASURILOR

1. Moment organizatoric

Salutare reciprocă, înregistrarea temei lecției. Organizarea muncii cu carduri de autocontrol.

2. Repetarea materialului

a) Rezolvarea de către doi elevi la tabla a problemelor de proporționalitate directă și inversă
b) restul repetă verbal conceptele de bază:

care sunt numele numerelor x și y în proporția x: a = b: y?
egalitatea a două relații se numește...
Ce este o relație direct proporțională?
ce fel de relație este invers proporțională?
o sutime dintr-un număr este...

Lucrați cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte - 1).

3. Contul mental

1. Jocul „Silent”

a) Care dintre egalităţi pot fi numite proporţii?

Dacă proporția este corectă, atunci elevii ridică cărțile verzi, dacă nu, atunci pe cele roșii.

b) Următoarele relații sunt direct sau invers proporționale?

1) numărul de cititori din numărul de cărți din bibliotecă;
2) traseul parcurs de mașină cu viteză și timp constant de deplasare a acestuia;
3) vârsta persoanei și mărimea pantofilor acesteia;
4) perimetrul pătratului și lungimea laturilor acestuia;
5) viteza și timpul în timpul parcurgerii aceluiași tronson de potecă.

Dacă afirmația este adevărată, atunci elevii ridică cărțile verzi, dacă nu, atunci pe cele roșii.

Lucrați cu carduri de autocontrol (scor maxim pentru scorul oral 2).

2. Analiza problemelor rezolvate de elevi la tablă.

a) O rândunica a zburat o anumită distanță în 0,5 ore cu o viteză de 50 km/h. În câte minute va zbura un iuteș pe aceeași distanță dacă viteza sa este de 100 km/h?

Soluţie:

Fie x ore timpul de zbor al rapidului.

50 km/h - 0,5 h
100 km/h - X h

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Răspuns: 15 minute.

b) La fabrica de zahăr se aducea sfeclă, din care se obține 12% zahăr. Cât zahăr se va obține din 30 de tone de sfeclă din acest soi?

Soluţie:

Lasă să iasă x tone de zahăr.

Răspuns: 3,6 tone

4. Educație fizică

5. Munca în grup

Ai cărți pe mese. Au 4 sarcini. Grupurile 1, 3, 5 decid începând cu #1. Grupurile 2, 4, 6 decid începând cu #4 (în ordine inversă).

1) 80 kg de cartofi conțin 14 kg de amidon. Găsiți procentul de amidon dintr-un astfel de cartof.

Soluţie:

Fie ca x% din amidon să se găsească în cartofi.

17,5% este amidon.

Răspuns: 17, 5 %

2) Puteți înota dintr-un sat în altul de-a lungul râului în 1,5 ore. Cât timp va dura o barcă cu motor pentru a face această călătorie dacă viteza bărcii este de 3 km/h și viteza bărcii este de 13,5 km /h?

Soluţie:

Fie x ore să fie ora bărcii


	3 km/h 13,5 km/h	– 1,5 ore – X h

Răspuns: 20 de minute

3) La curățarea semințelor de floarea soarelui, 28% este coaja. Câte cereale pure se vor obține din 150 de tone de semințe de floarea soarelui?

Soluţie:

Lasă x t boabe să iasă.

150 - 42 = 108 (t)

108 tone de cereale.

Răspuns: 108 tone

4) Pentru a transporta marfa au fost necesare 48 de mașini cu o capacitate de transport de 7,5 tone Câte mașini cu o capacitate de transport de 4,5 tone sunt necesare pentru a transporta aceeași marfă?

Soluţie:

Să fie luate x mașini cu o capacitate de transport de 4,5 tone.

Răspuns: 80 de mașini.

Verificarea soluționării problemelor de pe tablă.

Lucrați cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte - 8; fiecare sarcină 2 puncte)

5. Munca individuală independentă 4 variante.

eu optiunea

1) Tata a plătit 48 de ruble pentru 4 cutii identice de creioane. Cât costă 7 dintre aceste cutii de creioane?

2) Trei elevi au plivit grădina în 4 ore. Câte ore vor dura 2 elevi pentru a finaliza aceeași sarcină?

varianta II

1) La gătirea cărnii, rămâne 65% din masă. Câtă carne fiartă se va obține din 2 kg de carne crudă?

2) Patru zidari pot finaliza lucrarea în 15 zile. În câte zile pot termina această lucrare trei zidari?

varianta III

1) Floarea de tei pierde 74% din greutate. Câtă floare de tei uscată se poate obține din 300 kg de proaspăt?

2) Un motociclist a parcurs 3 ore cu viteza de 60 km/h. Câte ore îi va lua să parcurgă aceeași distanță cu o viteză de 45 km/h?

varianta IV

1) Fermierii cubanezi ne oferă trestie de zahăr pentru a produce zahăr. Trestia de zahăr, atunci când este procesată în zahăr, pierde 91% din masa inițială. Câtă trestie de zahăr este nevoie pentru a obține 900 kg de zahăr?

2) Într-o zi fierbinte, 6 cositoare au băut un butoi de kvas în 1,5 ore Câte cositoare vor bea același butoi în 3 ore?

7. Rezumând lecția

Ce tipuri de probleme am rezolvat la clasă?

Elevii rezumă lecția în fișe de autocontrol și dau note

16-17 puncte - "5"
13-15 puncte - "4"
9-12 puncte - "3"

– Obiectivele lecției au fost atinse și, cel mai important, munca s-a desfășurat într-o atmosferă creativă.

8. Tema pentru acasă

Repetați pașii 13-18.

Sarcina manuală: Nr. 817, Nr. 812, Nr. diferenţiat 818.

Literatură

Manual de matematică clasa a VI-a institutii de invatamant, autori: N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd, Moscova. „Mnemosyne”, 2011.
Colectie sarcini de testare pentru control tematic și final Matematică clasa a VI-a Moscova, „Centrul Intelect” 2009.
A. I. Ershova, V.V. Goloborodko. Matematică 6. Independentă şi hârtii de test.– M: Ileksa, 2011.

Dacă o mașină CNC produce 28 de piese în 2 ore, atunci de două ori mai mult timp, adică în 4 ore, va produce de două ori mai multe astfel de piese, adică 28 2 \u003d 56 de părți. De câte ori mai mult va funcționa mașina, de câte ori va produce mai multe piese. Aceasta înseamnă că rapoartele 4: 2 și 56: 28 sunt egale. Prin urmare, proporția 4: 2 \u003d 56: 28 este corectă. Asemenea cantități precum timpul de funcționare al mașinii și numărul de piese fabricate se numesc cantități direct proporționale .

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci rapoartele valorilor corespunzătoare acestor cantități sunt egale.

Lăsați un tren să circule din orașul A în orașul B în 12 ore cu o viteză de 40 km/h. e. 6 ore De câte ori va crește viteza de deplasare, timpul de mișcare va scădea cu aceeași cantitate. În acest caz, raportul de 80: 40 nu va fi egal cu raportul de 6: 12, ci raportul invers de 12: 6. Prin urmare, proporția corectă este 80: 40 = 12: 6. Asemenea cantități precum viteza și timpul se numește mărimi invers proporționale.

Dacă cantitățile sunt invers proporționale, atunci raportul dintre valorile unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare celeilalte cantități.

Nu fiecare două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale. De exemplu, înălțimea unui copil crește odată cu vârsta, dar aceste valori nu sunt proporționale, deoarece atunci când vârsta este dublată, înălțimea copilului nu se dublează.

Problemele proporționale pot fi rezolvate folosind proporții.

Sarcina 1. S-au plătit 115,2 ruble pentru 3,2 kg de mărfuri. Cât ar trebui să plătesc pentru 1,5 kg din acest articol?

Soluţie. Să notăm pe scurt starea problemei sub forma unui tabel, notând cu litera x costul (în ruble) a 1,5 kg din acest produs.

Intrarea va arăta astfel:

Relația dintre cantitatea de bunuri și costul de achiziție este direct proporțională, deoarece dacă cumpărați de mai multe ori mai multe bunuri, atunci prețul de achiziție va crește cu aceeași sumă. În mod convențional, notăm o astfel de dependență prin săgeți îndreptate în mod egal.

Să scriem proporția: .

Răspuns: 54 p.

Problema 2. Două dreptunghiuri au aceeași arie. Lungimea primului dreptunghi este de 3,6 m, iar lățimea este de 2,4 m. Lungimea celui de-al doilea dreptunghi este de 4,8 m. Aflați lățimea celui de-al doilea dreptunghi.

Soluţie. Indicând lățimea (în metri) a celui de-al doilea dreptunghi cu litera x, scriem pe scurt condiția problemei:

Relația dintre lățime și lungime pentru aceeași valoare a ariei dreptunghiului este invers proporțională, deoarece dacă măriți lungimea dreptunghiului de mai multe ori, atunci trebuie să reduceți lățimea cu aceeași cantitate. În mod convențional, notăm o astfel de dependență prin săgeți direcționate opus.

Să scriem proporția:

Acum să găsim termenul necunoscut al proporției:

Raspuns: 1,8 m.

Întrebări pentru autoexaminare

Ce cantități sunt direct proporționale? Ce se poate spune despre rapoartele valorilor corespunzătoare unor astfel de cantități?
Dați exemple de mărimi direct proporționale.
Ce mărimi se numesc invers proporționale? Ce se poate spune despre rapoartele valorilor corespunzătoare unor astfel de cantități?
Dați exemple de mărimi invers proporționale.
Dați exemple de mărimi a căror dependență nu este nici direct, nici invers proporțională.

Faceți exercițiile

782. Stabiliți dacă relația dintre mărimi este direct proporțională, invers proporțională sau nu:

a) traseul parcurs de mașină cu viteză constantă și timpul deplasării acestuia;
b) costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia;
c) aria pătratului și lungimea laturii acestuia;
d) masa barei de oțel și volumul acesteia;
e) numărul de lucrători care efectuează o anumită muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul necesar pentru finalizarea acestei lucrări;
f) costul mărfurilor și cantitatea acestora, cumpărate cu o anumită sumă de bani;
g) vârsta persoanei și mărimea pantofilor acesteia;
h) volumul cubului și lungimea muchiei acestuia;
i) perimetrul pătratului și lungimea laturii acestuia;
j) o fracție și numitorul ei, dacă numărătorul nu se modifică;
l) o fracție și numărătorul acesteia, dacă numitorul nu se modifică.

Rezolvați problemele nr. 783 - 794 făcând o proporție.

783. O bilă de oțel cu un volum de b cm 3 are o masă de 46,8 g. Care este masa unei bile din același oțel dacă volumul ei este de 2,5 cm 3?

784. Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei. Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?

785. Pentru construcția stadionului, 5 buldozere au degajat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța această zonă?

786. Pentru a transporta marfa au fost necesare 24 de camioane cu o capacitate de transport de 7,5 tone Câte camioane cu o capacitate de transport de 4,5 tone sunt necesare pentru a transporta aceeași marfă?

787. Pentru a determina germinarea semințelor, s-a semănat mazăre. Din 200 de mazăre însămânțată au încolțit 170. Ce procent de mazăre a germinat (rata de germinare)?

788. Primăvara, în timpul ecologizării orașului, pe stradă au fost plantate tei. 95% din toate teiul plantat au fost acceptate. Câți tei s-au plantat dacă s-au luat 57 de tei?

789. La secția de schi sunt 80 de studenți. Printre acestea, 32 de fete. Ce procent dintre participanții la secțiune sunt fete și ce procent sunt băieți?

790. Uzina trebuia să topească 980 de tone de oțel pe lună conform planului. Dar planul a fost îndeplinit cu 115%. Câte tone de oțel a mirosit planta?

791. Timp de 8 luni, muncitorul a finalizat 96% din planul anual. Ce procent din planul anual va îndeplini muncitorul în 12 luni dacă lucrează cu aceeași productivitate?

792. În trei zile au fost recoltate 16,5% din totalul sfeclei. Câte zile vor fi necesare pentru a recolta 60,5% din totalul sfeclei, dacă lucrați cu aceeași productivitate?

793. În minereul de fier, 7 părți de fier reprezintă 3 părți de impurități. Câte tone de impurități sunt într-un minereu care conține 73,5 tone de fier?

794. Pentru a pregăti borșul, pentru fiecare 100 g de carne, trebuie să luați 60 g de sfeclă. Câtă sfeclă ar trebui luată pentru 650 g de carne?

795. Calculați oral:

796. Exprimați ca sumă a două fracții cu un numărător de 1 fiecare dintre următoarele fracții: .

797. Din numerele 3, 7, 9 și 21, faceți două proporții corecte.

798. Membrii mijlocii ai proporției sunt 6 și 10. Care pot fi membrii extremi? Dă exemple.

799. La ce valoare a lui x este proporția corectă:

800. Găsiți relația:

a) 2 min la 10 s;
b) 0,3 m2 până la 0,1 dm2;
c) 0,1 kg până la 0,1 g;
d) 4 ore până la 1 zi;
e) 3 dm 3 până la 0,6 m 3.

801. Unde pe raza de coordonate ar trebui să fie situat numărul c pentru ca proporția să fie corectă (Fig. 34)?

Orez. 34

802. Dezvolta-ti memoria! Închideți masa cu o foaie de hârtie. Deschideți prima linie pentru câteva secunde și apoi, închizând-o din nou, încercați să repetați sau să notați cele trei numere ale acestei linii. Dacă ați reprodus corect toate numerele, mergeți la al doilea rând al tabelului. Dacă se face o greșeală în orice rând, scrieți-vă mai multe seturi din același număr de numere din două cifre ca și în rând și exersați-vă să le memorați. Dacă puteți reproduce cel puțin cinci numere din două cifre fără erori, aveți o memorie bună.

803. Rezolvați ecuația:

804. Este posibil să faceți proporția corectă a următoarelor numere:

805. Din egalitatea produselor 3 24 \u003d 8 9, faceți trei proporții corecte.

806. Lungimea segmentului AB este de 8 dm, iar lungimea segmentului CD este de 2 cm. Aflați raportul dintre lungimile segmentelor AB și CD. Ce parte din lungimea segmentului AB este lungimea segmentului CD?

807. În sanatoriu sunt 460 de turiști, dintre care 70% sunt adulți, iar restul sunt copii. Câți copii s-au odihnit în sanatoriu?

808. Aflați valoarea expresiei:

809. Rezolva problema:

La prelucrarea unei piese dintr-o turnare cu o greutate de 40 kg, s-au pierdut 3,2 kg. Ce procent este masa părții din masa turnării?
La sortarea cerealelor din 1750 kg, 105 kg au fost irosite. Ce procent de cereale a mai rămas?

810. Aflați valoarea expresiei:

6,0008: 2,6 + 4,23 0,4;
2,91 1,2 + 12,6288: 3,6.

811. Din 20 kg de mere se obtin 16 kg de sos de mere. Cât sos de mere se va face din 45 kg de mere?

812. Trei pictori pot termina lucrarea în 5 zile. Pentru a grăbi lucrarea, s-au adăugat încă doi pictori. Cât timp le va dura să termine treaba dacă toți pictorii lucrează la aceeași productivitate?

813. O placă de beton cu volumul de 2,5 m 3 are masa de 4,75 tone.Care este volumul unei plăci din același beton dacă masa ei este de 6,65 tone?

814. Sfecla de zahăr conține 18,5% zahăr. Cât zahăr conține 38,5 tone de sfeclă de zahăr? Rotunjiți răspunsul la zecimi de tonă.

815. Semințele de floarea soarelui din noul soi conțin 49,5% ulei. Câte kilograme de astfel de semințe ar trebui luate pentru a conține 29,7 kg de ulei?

816. 80 kg de cartofi conțin 14 kg de amidon. Găsiți procentul de amidon din astfel de cartofi.

817. Semințele de in conțin 47% ulei. Cât ulei este în 80 kg de semințe de in?

818. Orezul conține 75% amidon și orz 60%. Cât de mult orz trebuie luat pentru ca acesta să conțină la fel de mult amidon cât conțin 5 kg de orez?

819. Aflați valoarea expresiei:

a) 203,81: (141 - 136,42) + 38,4: 0,75;
b) 96: 7,5 + 288,51: (80 - 76,74).

Cele două mărimi sunt numite direct proportional, dacă atunci când unul dintre ele este mărit de mai multe ori, celălalt este mărit cu aceeași sumă. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de relație direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt direct proporționale;

3) costul unei mărfuri achiziționate la un preț este direct proporțional cu cantitatea acesteia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât în pădure este mai departe, cu atât mai multe lemne de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme pentru mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru fabricarea a 10 piese este nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va fi folosit pentru a face 12 astfel de piese?

(Ne argumentăm astfel:

1. În coloana completată, puneți săgeata în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Deci este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțim produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) S-au plătit 1680 de ruble pentru 15 metri de țesătură. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, puneți săgeata în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Deci este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este îndreptată în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Alcătuim proporția (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi membrul extrem necunoscut al proporției, împărțim produsul termenilor de mijloc la membrul extrem cunoscut al proporției:

Deci, 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.

Capitolul 3 RELAȚII ȘI PROPORȚII

Proporțiile pot fi folosite pentru a rezolva probleme.

Știți, de exemplu, că valoarea unei mărfuri depinde de cantitatea acesteia: cu cât o marfă este mai mult cumpărată, cu atât va fi mai mare valoarea acesteia. Astfel de mărimi se numesc direct proporționale.

Tine minte!

Se spune că două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când o cantitate crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă cantitate crește (descrește) de același număr de ori.

Sarcina 1. Pentru 2 kg de dulciuri au plătit 72 UAH. Cât vor costa 4,5 kg din aceste dulciuri?

Soluții.

Notă:

dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci proporția este formată din raportul valorilor corespunzătoare acestor mărimi.

În practică, pe lângă dependența direct proporțională a cantităților, există și o dependență invers proporțională. De exemplu, în drum spre școală, când timpul se scurge, îți mărești viteza de mișcare pentru a nu întârzia la cursuri. Prin urmare, viteza mișcării tale depinde de ora de mișcare: cu cât timpul de mișcare este mai scurt, cu atât viteza ta va fi mai mare. Astfel de mărimi sunt numite invers proporționale.

Tine minte!

Două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când o cantitate crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă cantitate scade (crește) de același număr de ori.

Sarcina 2. O mașină, care se deplasează cu o viteză de 90 km/h, a parcurs distanța de la Cerkassy la Kiev în 2 h 3 ce viteză s-a deplasat în direcția opusă, dacă a parcurs distanța de la Kiev la Cerkasi în 2,5 h?

Soluții.

Notă:

dacă două mărimi sunt invers proporționale, atunci proporția este formată din rapoartele reciproc inverse ale valorilor corespunzătoare acestor mărimi.

Două mărimi sunt întotdeauna direct proporționale sau invers proporționale? Sa discutam. De exemplu, în timpul unei boli, temperatura unui copil poate crește și scădea timp de câteva zile. Și aici nu există dependență, ceea ce înseamnă că nu poate exista proporționalitate. Dar creșterea copilului crește constant odată cu creșterea în vârstă. În consecință, există o relație între cantități, ceea ce înseamnă că există motive de analizat proporțional cu aceste cantități. Este clar că aici nu există o dependență proporțională, prin urmare, nu este necesar să aflăm exact cum sunt aceste mărimi proporționale direct sau invers. Dacă două mărimi sunt proporționale, atunci sunt posibile doar două opțiuni care se exclud reciproc - fie proporționalitate directă, fie proporționalitate inversă.

Află mai multe

Numele călugărului matematician italian este indirect legat de istoria secțiunii de aur. Leonardo din Pisa (1180-1240 p.), mai cunoscut sub numele de Fibonacci (fiul lui Bonacci).

A călătorit mult în Orient, a introdus în Europa cifrele indiene (arabe). În 1202, a fost publicată lucrarea sa de matematică „Cartea Abacului” (tablete de numărare), în care erau adunate toate problemele cunoscute la acea vreme. Una dintre sarcini a fost: „Câte perechi de iepuri se vor naște dintr-o pereche într-un an?”. Argumentând pe acest subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Acum această succesiune de numere este cunoscută sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea acestei secvențe de numere este că fiecare dintre membrii săi, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi anteriori:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

similare, iar raportul numerelor învecinate ale seriei se apropie de raportul secțiunii de aur. De exemplu:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

ȚINE minte LUCRURILE PRINCIPALE

1. Ce mărimi se numesc direct proporționale? Dă exemple.

2. Cum rezolvați problemele de proporționalitate directă?

3. Ce mărimi se numesc invers proporționale? Dă exemple.

4. Rezolv probleme de proporționalitate inversă?

5. Două mărimi sunt întotdeauna proporționale?

589". Două valori sunt direct proporționale. Cum se va schimba o valoare dacă cealaltă: a) crește de 5 ori; b) scade de 2 ori?

Explicați răspunsul.

590". După starea problemei, au făcut o înregistrare prescurtată:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Sunt aceste cantități direct proporționale?

591". Două valori sunt invers proporționale, cum se va schimba o valoare dacă cealaltă:

a) va crește de 4 ori; b) scade de 6 ori?

Explicați răspunsul.

592". După starea problemei, au făcut o înregistrare prescurtată:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Sunt aceste mărimi invers proporționale?

593°. Determinați dacă această dependență a cantităților este direct proporțională:

1) costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea de bunuri;

2) masa cutiei de dulciuri și numărul de dulciuri identice din cutie;

3) traseul pe care mașina a parcurs-o cu viteză constantă și timpul de deplasare;

4) viteza de mișcare și timpul de mișcare pentru a depăși o anumită distanță;

5) greutatea și înălțimea persoanei;

b) masa fructelor de pădure și masa zahărului pentru prepararea gemului;

7) perimetrul dreptunghiului și lungimea uneia dintre laturile acestuia;

8) lungimea laturii pătratului și perimetrul acestuia.

594°. Din notația abreviată a problemei, găsiți x dacă mărimile sunt direct proporționale.

1) 3 kg de dulciuri -36 UAH, 2) 15 părți - 3 ore,

6 kg dulciuri x; x -2 ore.

595°. Cât costă 10 kg de dulciuri dacă s-au plătit 128 UAH pentru 4 kg de astfel de dulciuri?

596°. Pentru 3 kg de mere au plătit 24 UAH. Cât costă 7 kg din aceste mere?

597°. Barca a parcurs 80 km în 4 ore. Cât de departe va călători barca în 2 ore cu aceeași viteză?

598°. Un turist a mers 20 km în 5 ore. Câte ore îi ia unui turist să parcurgă o distanță de 28 km, deplasându-se cu aceeași viteză?

599°. La coacerea pâinii din 1 kg de făină de secară se obține 1,4 kg de pâine. Câtă făină este necesară pentru a obține 42 de chintale de pâine?

600°. Din 3 kg boabe de cafea crude se obtin 2,5 kg boabe prajite. Câte kilograme de boabe de cafea crude trebuie să luați pentru a obține 10 kg de cafea prăjită?

601°. Mașina a parcurs o distanță de 210 km în 3 ore. Ce distanță este mai ușor pentru o mașină în 2 ore, care se deplasează cu aceeași viteză?

602°. O maimuță gibon fără coadă, sărind din copac în copac, parcurge o distanță de 32 km în 2 ore. Cât de departe va călători un gibon în 3 ore?

603°. Determinați dacă această dependență a cantităților este invers proporțională:

1) prețul mărfurilor și prețul de cumpărare;

2) masa cutiei cu dulciuri și costul acesteia;

3) viteza de mișcare și timpul de mișcare pentru a depăși o anumită distanță;

4) viteza mașinii și traseul pe care a parcurs-o cu viteză constantă;

5) cantitatea de muncă efectuată și timpul realizării acesteia;

6) productivitatea muncii și timpul pentru implementarea acesteia a unei anumite cantități de muncă;

7) numărul de mașini și încărcătura pe care acestea le vor transporta într-un anumit timp;

8) lungimea laturii pătratului și aria acestuia.

604°. Folosind notația prescurtată a problemei, găsiți x dacă mărimile sunt invers proporționale.

1) 3 h - 80 km/h, 2) 5 -8 zile lucrătoare,

4 h - x; x -10 zile.

605°. 3 tâmplari au finalizat o comandă pentru fabricarea mobilei în 12 zile. În câte zile vor fi nevoie de 6 dulgheri pentru a finaliza comanda dacă productivitatea muncii lor este aceeași?

606°, În câte zile vor finaliza sarcina 6 lucrători dacă 2 lucrători pot finaliza această sarcină în 9 zile?

607°. Cangurul roșu s-a deplasat timp de 3 ore cu o viteză de 55 km/h. Care ar trebui să fie viteza unui cangur pentru a putea parcurge această distanță în 2,5 ore?

608°. Care ar trebui să fie viteza trenului conform noului orar pentru a parcurge distanța dintre două stații în 4 ore, dacă după vechiul program, deplasându-se cu viteza de 100 km/h, a parcurs-o în 5 ore ?

609. Pentru 4 kg de fursecuri au plătit 56 UAH. Cât vor costa 3 kg de dulciuri cu 2 UAH mai mult decât prețul fursecurilor?

610. 5 kg de mere costă 40 UAH. Găsiți costul a 2 kg de pere, al căror preț este cu 4 UAH mai mult decât prețul merelor.

611. Pendulul ceasului de perete face 730 de balansări în 15 minute. Câte oscilații va face într-o oră? Cât timp durează pendulul să facă 2190 de oscilații?

612. Natalia a plătit 60 UAH pentru 24 de caiete. Cât costă 20 din aceste caiete? Câte dintre aceste notebook-uri pot fi cumpărate cu 45 UAH?

613. Într-o cutie sunt 12 litri de lapte. A fost turnat în mod egal în 6 cutii. Câți litri de lapte sunt în fiecare borcan? Câte borcane de trei litri pot fi umplute cu lapte din această cutie?

614. 6 litri de apă curg printr-un robinet de apă într-un minut. Câtă apă va curge de la robinet într-o jumătate de oră? Cât timp va dura 27 de litri de apă să curgă prin robinet?

615. Distanța dintre stații este de 360 km. Cât va dura un tren pentru a parcurge 90 km într-o oră? Care trebuie să fie viteza trenului pentru a parcurge această distanță în 4 ore și 30 de minute?

616. Distanţa dintre sate este de 18 km. Cât de mai ușoară este distanța pentru un biciclist a cărui viteză este de 12 km/h? Cu ce viteză trebuie să se deplaseze pietonul pentru a parcurge această distanță în 6 ore?

617. Două tractoare au arat câmpul în 6 zile. Câte zile vor dura 4 tractoare pentru a săpa acest câmp dacă lucrează cu aceeași productivitate a muncii? Câte tractoare sunt necesare pentru a ara acest câmp în 2 zile?

618. Opt camioane pot transporta marfă în 3 zile. In cate zile vor putea transporta marfa 6 astfel de camioane? Câte camioane vor fi necesare pentru a transporta această marfă în 2 zile?

619. Compune și rezolvă o problemă pentru:

1) proporționalitate directă, pentru soluția căreia trebuie să faceți o proporție

2) proporționalitate inversă, pentru soluția căreia trebuie să alcătuiți proporția x: 4 \u003d 120: 160.

620. Alcătuiți și rezolvați problema pentru: 1) proporționalitate directă, pentru a cărei rezolvare trebuie să faceți o proporție

2) proporționalitate inversă, pentru soluția căreia este necesar să se facă o proporție de 3: x \u003d 90: 60.

621*. Tarasik poate merge pe jos de la gară la sat în 20 de minute. Cât timp îi va lua să meargă cu bicicleta de la gară la sat dacă viteza lui pe bicicletă este de 2 ori mai mare decât viteza pe jos?

622*. Maestrul, lucrând independent, finalizează munca în 3 zile, iar împreună cu studentul - în 2 zile. În câte zile poate elevul să finalizeze singur această lucrare?

623*. Dima alergă 4 ture pe banda de alergare în același timp cu Katya alergă 3 ture. Katya a alergat 12 ture. Câte ture a făcut Dima în acest timp?

624*. Apa poate fi pompată din piscină în 1 oră și 15 minute. Cât timp după începerea lucrărilor în piscină va fi 0,2 din cantitatea de apă care era la început?

APLICĂ ÎN PRACTICĂ

625. Pentru tipărirea cărții trebuia să pună 28 de rânduri pe fiecare pagină, câte 40 de litere pe fiecare rând. Cu toate acestea, s-a dovedit că este mai oportun să plasați 35 de rânduri pe fiecare pagină. În acest caz, câte litere vor fi plasate în fiecare rând de litere în timpul tipăririi acestei cărți, dacă numărul de litere pe pagină nu se modifică?

626. Pentru a pregăti 12 prăjituri, trebuie să luați proteina unui ou și 3 linguri de zahăr. Câte dintre aceste produse ar trebui luate pentru a pregăti 24 de astfel de stive? Câte prăjituri vei primi dacă ai 3 ouă?

SARCINI DE REPETIȚIE

627. Ce număr trebuie introdus în ultima celulă a lanțului?

628. Rezolvați ecuația:

Cel mai simplu mod de a înțelege o relație direct proporțională este să folosiți exemplul unei mașini care fabrică piese cu o viteză constantă. Dacă în două ore face 25 de părți, atunci în 4 ore va face de două ori mai multe părți - 50. De câte ori va lucra mai mult, de câte ori va produce mai multe detalii.

Matematic arata asa:

4: 2 = 50: 25 sau așa: 2:4 = 25:50

Cantitățile direct proporționale aici sunt timpul de funcționare al mașinii și numărul de piese fabricate.

Ei spun: numărul de piese este direct proporțional cu timpul de funcționare al mașinii.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci rapoartele cantităților corespunzătoare sunt egale. (În exemplul nostru, acesta este raportul dintre timpul 1 și timpul 2 = raportul dintre numărul de părți în timp 1 la numărul de părți în timp 2)

Proporționalitate inversă

O relație invers proporțională se găsește adesea în problemele de viteză. Viteza și timpul sunt invers proporționale. Într-adevăr, cu cât un obiect se mișcă mai repede, cu atât va dura mai puțin timp pentru a călători.

De exemplu:

Dacă cantitățile sunt invers proporționale, atunci raportul valorilor unei cantități (viteza în exemplul nostru) este egal cu raportul invers al celeilalte cantități (timp în exemplul nostru). (În exemplul nostru, raportul dintre prima viteză și a doua viteză este egal cu raportul dintre a doua oară și prima oară.