Combinație liniară de funcții. Dependența liniară a vectorilor. Combinație liniară de vectori. Coliniaritatea vectorilor. Complanaritatea vectorilor. Sarcini pentru soluție independentă
Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin
În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni de matematică superioară și vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.
Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare este departe de a fi întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta în plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni 
. Sau vectorul meteo, pe care tocmai am fost la Gismeteo pentru: - temperatura si respectiv presiunea atmosferica. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...
Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva sarcini tipice ale algebrei. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?
Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine
Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:
1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este în mod clar suficient, trei vectori sunt prea mult.
2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.
Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.
Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.
Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.
Astfel de vectori se numesc dependent liniar.
Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile, expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).
Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.
Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală
Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei: 
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.
Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.
De exemplu, se poate spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau se poate spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.
Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.
Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele 
Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.
Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:
Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:
Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.
Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:
origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar departe de a fi întotdeauna) desenate.
Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.
Vectorii de coordonate trebuie să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:
O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.
! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul abscisei conține 4 cm, o unitate de-a lungul ordonatei conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „nestandard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.
Și a doua întrebare, la care de fapt s-a răspuns deja - este necesar ca unghiul dintre vectorii de bază să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.
Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :
Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen: 
După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el. Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.
Iar concluzia este că cel mai convenabil caz particular al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)
Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.
Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?
Lucru tipic. Pentru doi vectori plani 
sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.
Exemplul 1
a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari 
.
b) Vectorii formează o bază? 
?
Soluţie:
a) Aflați dacă există pentru vectori 
coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite: 
Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:
Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:
Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,
Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:
Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin altul. În acest caz, există egalități 
. Valabilitatea lor poate fi verificată cu ușurință prin operații elementare cu vectori: 
b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate 
. Să creăm un sistem: 
Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.
Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.
O versiune simplificată a soluției arată astfel:
Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor 
:
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.
De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: 
. Sau cam asa: 
. Sau cam asa: 
. Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.
Răspuns: a), b) formă.
Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:
Exemplul 2
La ce valoare a vectorilor parametri 
va fi coliniar?
În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.
Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:
Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.
Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.
Sper foarte, foarte mult că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile care au apărut.
Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani 
sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.
Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:
a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor 
:
, deci acești vectori sunt coliniari.
b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor 
:
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.
Răspuns: a), b) formă.
Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.
Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.
Exemplul 3
Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.
Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram
Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.
Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .
Demonstrăm:
1) Găsiți vectorii: 
2) Găsiți vectorii: 
Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor: 
, deci acești vectori sunt coliniari și .
Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.
Cifre mai bune și diferite:
Exemplul 4
Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.
Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.
Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfârșitul lecției.
Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:
Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?
Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.
Exemplul 5
Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A) ;
b)
V) 
Soluţie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:
Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.
„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.
Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.
b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.
Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, această metodă este tratată în articol Produsul încrucișat al vectorilor.
Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.
Bun venit la a doua secțiune:
Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine
Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.
Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, sunt necesari trei vectori spațiali pentru a construi baza. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.
Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)
În continuare, să punem o întrebare importantă, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.
De remarcat că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali s-a desprins așa =)).
Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.
Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: 
(și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).
Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu se exprimă în niciun fel unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.
Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată
Ca o reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.
Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru cazul plan, un punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:
origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional
:
Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, în sistemul de coordonate afine al spațiului, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa.
Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, așa cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:
punct din spațiu numit origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului
. poza familiara: 
Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:
Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.
Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.
Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:
Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: 
.
Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.
Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate că sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?
Exemplul 6
Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:
Soluţie: De fapt, toată soluția se rezumă la calcularea determinantului.
a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie): 
, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.
Răspuns: acești vectori formează baza
b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Există și sarcini creative:
Exemplul 7
La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?
Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: 
În esență, este necesar să se rezolve o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri: 
Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară: 
Răspuns: la
Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că 
prin redeschiderea acestuia.
În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:
Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată
Exemplul 8
Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.
Soluţie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este complet același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:
Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor: 
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.
! Important : coordonate vectoriale Neapărat scrie în coloane determinant, nu șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.
În conformitate cu acest criteriu de compromis, pentru fiecare soluție se determină o combinație liniară a profiturilor minime și maxime.
A doua opțiune implică concentrarea pe un criteriu. Poate fi fie ales ca unul dintre indicatorii standard care au o interpretare economică complet de înțeles (de exemplu, unul dintre indicii de lichiditate, rata de acoperire a dobânzii etc.), fie acest criteriu este dezvoltat sub forma unui indicator artificial care generalizează criterii particulare. Pentru acest criteriu generalizat se stabilește o valoare prag, cu care se face o comparație a valorii efective a criteriului calculată pentru un potențial împrumutat. Principala dificultate în implementarea acestei abordări constă în metoda de construire a unui indicator generalizat. Cel mai adesea, este o combinație liniară de criterii parțiale, fiecare dintre acestea fiind inclusă în indicatorul general cu un anumit coeficient de greutate. Această abordare a fost folosită de E. Altman atunci când a dezvoltat criteriul Z pentru prezicerea falimentului.
Un rând e se numește o combinație liniară de rânduri e, e-..., em ale unei matrice dacă
Conceptul de combinație liniară, dependență liniară și independență a vectorilor e, e2. f em sunt similare conceptelor corespunzătoare pentru rândurile matricei e, e2,..., em (11.5).
După cum se arată în , pentru mulțimile admisibile mărginite și convexe (2.14), vectorul x% 0 care satisface constrângerea A xk bk poate fi reprezentat ca o combinație liniară convexă a unei mulțimi finite de puncte extreme
Procedura de optimizare pentru calcularea valorilor limită ale elementelor a și combinațiilor lor liniare este în mare parte lipsită de aceste neajunsuri.
Este evident că punctul (X1, q) obținut prin combinația liniară a lui (A/, q) și (L., q") este și o soluție a sistemului (4.43), (4.44).
În această secțiune, vom lua în considerare regulile de calcul a așteptărilor matematice și a varianței unei variabile aleatoare multivariate, care este o combinație liniară de variabile aleatoare corelate
Prin urmare, pentru o combinație liniară a unui număr arbitrar de variabile aleatoare, obținem
Luați în considerare cazul în care investiția se face în mai multe active (portofoliu). Un portofoliu este o combinație liniară de active, fiecare dintre ele având propriile randamente așteptate și dispersia rentabilității.
Spre deosebire de o combinație liniară arbitrară de variabile aleatoare, ponderile activelor respectă regula de normalizare
În paragraful anterior, s-a arătat că atunci când coeficientul de corelație între active este mai mic de 1, diversificarea portofoliului poate îmbunătăți raportul dintre randamentul așteptat și riscul așteptat. Acest lucru se datorează faptului că randamentul așteptat al unui portofoliu este o combinație liniară a randamentelor așteptate ale activelor incluse în portofoliu, iar varianța portofoliului este o funcție pătratică a s.d. incluse în portofoliul de active.
Deoarece funcția discriminantă depinde doar de o combinație liniară de intrări, neuronul este un discriminator liniar. În unele situații cele mai simple, un discriminator liniar este cel mai bun posibil, și anume, în cazul în care probabilitățile de apartenență la clasa k a vectorilor de intrare sunt date de distribuții gaussiene.
Pentru a fi mai precis, ieșirile rețelei Oya sunt combinații liniare ale primelor componente principale W. Pentru a obține exact componentele principale în sine, este suficient în regula Oya să înlocuiți sumarea tuturor ieșirilor cu
Vectorii b formează, de asemenea, așa-numita bază minimă. Și anume, acesta este numărul minim de vectori, cu ajutorul unei combinații liniare a cărei toți vectorii memorați pot fi reprezentați
Următoarea procedură sistematică este capabilă să extragă în mod iterativ cele mai semnificative caracteristici care sunt combinații liniare ale variabilelor de intrare X = W X (un subset de intrări este un caz special al unei combinații liniare, adică formal se poate găsi o soluție mai bună decât ceea ce este disponibil prin selectând cele mai semnificative combinații de intrări).
În cursul analizei, pentru a caracteriza diverse aspecte ale stării financiare, acestea sunt utilizate ca. indicatori absoluti și indicatori financiari, care sunt indicatori relativi ai stării financiare. Acestea din urmă sunt calculate ca rapoarte ale indicatorilor absoluti ai stării financiare sau combinațiile lor liniare. Conform clasificării lui N.A. Blatov, unul dintre fondatorii științei echilibrului, indicatorii relativi ai stării financiare sunt împărțiți în coeficienți de distribuție și sunt utilizați în cazurile în care este necesar să se determine care parte dintr-unul sau altul.
3.3. Independența liniară a vectorilor. Bază.Liniar combinaţie sisteme vectoriale
numit vector
unde a 1 , a 2 , ..., a n - numere arbitrare.
Dacă tot un i = 0, atunci se numește combinația liniară banal . În acest caz, evident
Definiția 5.
|
Dacă pentru un sistem de vectori
există o combinație liniară non-trivială (cel puțin una a i ¹ 0) egal cu vectorul zero: atunci se numeste sistemul de vectori liniar dependent. Dacă egalitatea (1) este posibilă numai dacă toate un i =0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent . |
Teorema 2 (Condiții de dependență liniară).
Definiția 6.
Din teorema 3 rezultă că, dacă o bază este dată în spațiu, apoi adăugându-i un vector arbitrar, obținem un sistem de vectori dependent liniar. În conformitate cu Teorema 2 (1) , unul dintre ele (se poate arăta că vectorul ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a restului:
.
Definiția 7.
|
Numerele numit coordonate vectori în bază (notat
|
Dacă vectorii sunt considerați pe un plan, atunci baza va fi o pereche ordonată de vectori necoliniari
iar coordonatele vectorului din această bază sunt o pereche de numere:
Observația 3. Se poate arăta că pentru o bază dată, coordonatele vectorului sunt determinate în mod unic . Din aceasta, în special, rezultă că dacă vectorii sunt egali, atunci coordonatele lor corespunzătoare sunt egale și invers .
Astfel, dacă o bază este dată în spațiu, atunci fiecărui vector al spațiului îi corespunde un triplu ordonat de numere (coordonate vectoriale în această bază) și invers: fiecărui triplu de numere îi corespunde un vector.
Pe plan se stabilește o corespondență similară între vectori și perechi de numere.
Teorema 4 (Operații liniare prin coordonatele vectorilor).
|
Dacă într-o anumită bază Și A este un număr arbitrar, atunci în această bază |
Cu alte cuvinte:
când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr ;
când se adaugă vectori, se adaugă coordonatele corespunzătoare .
Exemplul 1 . În anumite baze, vectoriiau coordonate
Arătați că vectorii formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.
Vectorii formează o bază dacă nu sunt coplanari, prin urmare (conform Teorema 3(2) ) sunt liniar independente.
Prin definiție 5 aceasta înseamnă că egalitatea
posibil doar atunci cândX = y = z = 0.
O combinație liniară de vectori este o expresie de forma: 
, unde sunt numere reale, numite coeficienții combinației liniare.
Definiția independenței liniare a vectorilor
Un sistem de vectori А 1 ,А 2 ,...А n se numește liniar independent dacă combinația liniară a acestor vectori λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An este egală cu vectorul zero numai pentru o mulțime zero de numerele λ1, λ2,..., λn, adică sistemul de ecuații: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ are o soluție unică zero.
Determinarea dependenței liniare a vectorilor
Doi vectori plani sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coliniari.
Se spune că doi vectori sunt coliniari dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.
Teorema dependenței liniare a vectorilor
Teoremă privind reprezentarea unui șir ca o combinație liniară de șiruri independente
Fiecare rând al matricei A poate fi reprezentat ca o combinație liniară de rânduri independente ale matricei A.
Fie ca matricea A să aibă rangul r, atunci există un minor de ordinul r diferit de 0, adăugați rândul i și coloana j la acest minor
| un 11 | un 12 | … | un 1r | a 1j |
| un 21 | un 22 | … | un 2r | un 2j |
| … | … | … | … | … |
| un 41 | un 42 | … | un 4r | a4j |
| un i1 | un i2 | … | aer | aij |
M r =
Mr+1 =0; deoarece rang A=r (ca minor de ordin mai mare decât r).Acest minor poate fi extins în ultima coloană.
[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0
Împărțiți totul la M r și introduceți A ij /((-1) i+j M r)=λ i
a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, unde j=r+1 această egalitate este valabilă și pentru j=1 m
81. Teorema privind reprezentarea unei coloane ca o combinație liniară de independente coloane
Teoremă privind relația dintre rangul unei matrice și numărul de rânduri/coloane independente
Rangul matricei A este egal cu numărul de rânduri/coloane independente ale acesteia Fie matricea A (m*n) să aibă rang r
| un 11 | un 12 | … | un 1r |
| un 21 | un 22 | … | un 2r |
| … | … | … | … |
| un 21 | un 22 | … | un 2r |
Există un minor de ordinul r = 0; (e 1….. e r ) sunt liniar independente
Fie opusul: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1
Să efectuăm conversia ele-s. neschimbarea determinantului acestui minor (M r)
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2
e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1
Deci, obținem ultimul rând format din 0, dar apoi M r = 0, presupunerea noastră este greșită!
Determinanți
Proprietățile determinanților. Nr. 01. (Transpunere)
Determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale: .
Dovada. Prin definitie,
La transpunerea unei matrice A există doar o rearanjare a termenilor din această sumă.
Proprietățile determinanților. Nr. 02. (Rearanjarea rândurilor sau coloanelor).
Dacă oricare două rânduri sau două coloane sunt interschimbate în determinant, atunci determinantul își schimbă semnul în opus.
Dovada. Prin teorema 1, orice transpunere modifică paritatea permutației. Prin urmare, atunci când două rânduri (coloane) sunt permutate, fiecare sumand își schimbă semnul în opus.
Cursul 6
Vectorii …, se numesc dependenți liniar dacă există numere , , … , printre care există cel puțin unul diferit de zero astfel încât
Suma produselor numerelor și vectorilor, adică vector
se numește combinație liniară de vectori.
Dacă un vector este reprezentat ca o combinație liniară de vectori, atunci se spune că vectorul este de asemenea descompus în vectori.
Definiția dependenței liniare a vectorilor dată mai sus este echivalentă cu aceasta: vectorii sunt dependenți liniar dacă unul dintre ei poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți (sau extins în termenii celorlalți).
Teorema 1. Pentru doi vectori și pentru a fi liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari.
Dovada nevoie. Dați: vectori și sunt liniar dependenți. Este necesar să se demonstreze că acestea sunt coliniare. Deoarece vectorii și sunt dependenți liniar, există numere și care nu sunt egale cu zero în același timp și astfel încât
Fie, de exemplu, ; Apoi
de aici rezultă că vectorii și sunt coliniari.
Dat: vectori și sunt coliniari. Este necesar să se demonstreze că acestea sunt dependente liniar.
Dacă , atunci egalitatea este valabilă, ceea ce înseamnă că vectorii și sunt dependenți liniar.
Dacă , atunci presupunând , găsim , sau ; deci vectorii și sunt liniar dependenți.
Se spune că trei vectori sunt coplanari dacă, atunci când sunt reprezentați din același punct, se află în același plan.
Teorema 2. Pentru ca trei vectori , , să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari.
Dat: vectorii , , sunt dependenti liniar. Trebuie să dovedim că sunt coplanari.
Întrucât vectorii , , sunt dependenți liniar, există numere , , , printre care există cel puțin unul ; astfel încât
Fie, de exemplu, ; Apoi
Vectorii și sunt coliniari, respectiv, cu vectorii și ; prin urmare, suma acestor vectori, i.e. vectorul va fi coplanar cu vectorii și .
Dovada de suficiență. Dat: vectorii , , sunt coplanari. Este necesar să se demonstreze că acești vectori sunt dependenți liniar.
Dacă vectorii și sunt coliniari, atunci ei sunt dependenți liniar (Teorema 1 a acestei secțiuni), adică. există numere și , dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero și astfel încât , dar apoi și , i.e. vectorii , , sunt dependenți liniar .
Fie vectorii și necoliniari. Lăsați deoparte vectorii și din același punct DESPRE:
Deoarece vectorii , , sunt coplanari, punctele DESPRE, se află în același plan. Proiectați un punct pe o dreaptă paralelă cu dreapta; lăsa R este această proiecție. Atunci și de atunci
apoi, presupunând
adică vectorii , , sunt dependenți liniar.
Teorema 3. Oricare patru vectori , , , din spațiu sunt dependenți liniar.
Dovada. Să presupunem că vectorii , , sunt necoplanari. Lăsați deoparte toți vectorii , , , din același punct DESPRE:
Lăsa R- proiecția unui punct pe un plan paralel cu o dreaptă și - proiecția unui punct R pe o linie paralelă cu linia. Apoi .
Vectorii sunt respectiv coliniari cu vectorii , și . Presupunând ; ; obține ; ;
și, prin urmare:
acestea. vectorii , , , sunt dependenti liniar.
Teorema 4. Pentru doi vectori nenuli și pentru a fi coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor să fie proporționale.
Să demonstrăm teorema pentru cazul în care vectorii sunt dați de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu.
dovada de necesitate. Dat: vectori ; și coliniare. Este necesar să se demonstreze că coordonatele lor sunt proporționale.
Întrucât , presupunând , obținem , i.e.
Dovada de suficiență. Date: coordonatele vectorilor
proporţional. Este necesar să se demonstreze că acești vectori sunt coliniari.
Lăsa ; adică , sau , și, prin urmare, vectorii și sunt coliniari.
Teorema 5. Pentru doi vectori și , dat de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din plan
sau relativ la un sistem de coordonate carteziene comun în spațiu
sunt coliniare, este necesar și suficient ca
(în cazul unui avion),
(în cazul spațiului).
Să demonstrăm teorema pentru cazul în care vectorii și sunt dați de coordonatele lor în raport cu sistemul general de coordonate carteziene din spațiu.
dovada de necesitate. Dat: vectori și sunt coliniari. Se cere să se demonstreze că relaţiile
Dacă vectorii sunt atât nenuli, cât și coliniari, atunci coordonatele lor sunt proporționale și, prin urmare, aceste egalități sunt îndeplinite (determinantul în care două rânduri sunt proporționale este egal cu zero). Dacă sau (sau ==0), atunci această egalitate este evidentă.
Dovada de suficiență. Este dat că aceste relaţii sunt satisfăcute. Este necesar să se demonstreze că vectorii și sunt coliniari.
Dacă (adică =0), atunci vectorii și sunt coliniari (deoarece vectorul zero este coliniar cu orice vector). Fie ca cel puțin unul dintre numere să fie diferit de zero, de exemplu. Lăsa ; atunci și din relația sau (extinderea determinantului) , aflăm, , dat de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu, aparțin unei drepte dacă și numai dacă relațiile sunt satisfăcute
Consecința 3. Punctele , , , , date de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu, aparțin aceluiași plan dacă și numai dacă vectorii ; ; coplanare, adică dacă și numai dacă .
