Fundamentele modelelor matematice. Ce este un model matematic? Ce modele matematice sunt cele mai simple

Este posibil să urmăriți dinamica dezvoltării unui obiect, esența internă a rapoartelor elementelor sale și diferitele stări în procesul de proiectare numai cu ajutorul modelelor care utilizează principiul analogiei dinamice, adică cu ajutorul matematicii. modele.

Model matematic este un sistem de relații matematice care descriu procesul sau fenomenul studiat. Pentru a compila un model matematic, puteți utiliza orice mijloace matematice - teoria mulțimilor, logica matematică, limbajul ecuațiilor diferențiale sau integrale. Procesul de elaborare a unui model matematic se numește modelare matematică. Ca și alte tipuri de modele, un model matematic prezintă o sarcină într-o formă simplificată și descrie numai proprietățile și modelele care sunt cele mai importante pentru un obiect sau proces dat. Modelul matematic permite analiza cantitativă multilaterală. Prin modificarea datelor inițiale, criteriilor, restricțiilor, de fiecare dată este posibil să se obțină soluția optimă pentru condițiile date și să se determine direcția ulterioară a căutării.

Crearea modelelor matematice necesită de la dezvoltatorii acestora, pe lângă cunoașterea metodelor logice formale, o analiză amănunțită a obiectului studiat pentru a formula cu rigurozitate ideile și regulile principale, precum și pentru a identifica o cantitate suficientă de fapte fiabile, date statistice şi normative.

Trebuie remarcat faptul că toate modelele matematice utilizate în prezent se referă la prescriptiv. Scopul dezvoltării modelelor prescriptive este de a indica direcția căutării unei soluții, în timp ce scopul dezvoltării descriind modele - o reflectare a proceselor reale ale gândirii umane.

Există un punct de vedere destul de răspândit conform căruia cu ajutorul matematicii se pot obține doar câteva date numerice asupra obiectului sau procesului studiat. „Desigur, multe discipline matematice au ca scop obținerea rezultatului numeric final. Dar a reduce metodele matematice doar la problema obținerii unui număr înseamnă a sărăci infinit matematica, a sărăci posibilitatea acelei arme puternice care se află astăzi în mâinile cercetătorilor...

Un model matematic scris într-o anumită limbă (de exemplu, ecuații diferențiale) reflectă anumite proprietăți ale proceselor fizice reale. În urma analizei modelelor matematice, obținem, în primul rând, idei calitative despre trăsăturile proceselor studiate, stabilim tipare care determină seria dinamică a stărilor succesive, obținem posibilitatea de a prezice cursul procesului și determina caracteristicile sale cantitative.

Modelele matematice sunt folosite în multe metode cunoscute modelare. Printre acestea se numără dezvoltarea de modele care descriu starea statică și dinamică a obiectului, modele de optimizare.

Un exemplu de modele matematice care descriu starea statică și dinamică a unui obiect pot fi diferite metode de calcule structurale tradiționale. Procesul de calcul, prezentat ca o succesiune de operații matematice (algoritm), ne permite să spunem că a fost alcătuit un model matematic pentru a calcula un anumit design.

ÎN optimizare Modelele au trei elemente:

Funcția țintă care reflectă criteriul de calitate acceptat;

Parametri reglabili;

Restricții impuse.

Toate aceste elemente trebuie descrise matematic sub formă de ecuații, condiții logice etc. Rezolvarea problemei de optimizare este procesul de găsire a valorii minime (maxime) a funcției obiectiv, supusă constrângerilor specificate. Rezultatul soluției este considerat optim dacă funcția obiectiv atinge valoarea sa extremă.

Un exemplu de model de optimizare este o descriere matematică a criteriului „lungimea legăturii” în metoda de proiectare a variantelor clădirilor industriale.

Funcția obiectiv reflectă lungimea totală ponderată a tuturor relațiilor funcționale, care ar trebui să tindă la minimum:

unde este valoarea ponderii conexiunii elementului cu ;

– lungimea conexiunii dintre și elemente;

– numărul total elementele plasate.

Deoarece suprafețele elementelor amplasate ale incintei în toate variantele soluției de proiectare sunt egale, variantele diferă una de cealaltă numai prin distanțe diferite între elemente și amplasarea lor una față de alta. Prin urmare, parametrii controlați sunt în acest caz coordonatele elementelor plasate pe planurile de etaj.

Restricții impuse asupra amplasării elementelor (într-un loc prefixat al planului, la perimetrul exterior, unul deasupra celuilalt etc.) și asupra lungimii legăturilor (lungimile legăturilor dintre și ale elementelor sunt stabilite rigid, limitele minime sau maxime ale valorilor sunt stabilite, limitele de modificare sunt valori stabilite) sunt scrise formal.

O variantă este considerată optimă (după acest criteriu) dacă valoarea funcției obiectiv calculată pentru această variantă este minimă.

O varietate de modele matematice - model economic si matematic- este un model al relaţiei dintre caracteristicile economice şi parametrii sistemului.

Un exemplu de modele economico-matematice este descrierea matematică a criteriilor de cost în metoda susmenționată de variantă de proiectare a clădirilor industriale. Modelele matematice obținute pe baza utilizării metodelor de statistică matematică reflectă dependența costului cadrului, fundațiilor, terasamentelor clădirilor industriale cu un etaj și mai multe etaje și înălțimea, deschiderea și pasul acestora a structurilor de susținere.

Conform metodei de luare în considerare a influenței factorilor aleatori asupra luării deciziilor, modelele matematice se împart în deterministe și probabiliste. determinat modelul nu ține cont de influența factorilor aleatori în procesul de funcționare a sistemului și se bazează pe o reprezentare analitică a tiparelor de funcționare. Probabilistic (stochastic) modelul ține cont de influența factorilor aleatori în procesul de funcționare a sistemului și se bazează pe statistici, i.e. evaluarea cantitativă a fenomenelor de masă, permițând luarea în considerare a neliniarității acestora, a dinamicii, a perturbațiilor aleatorii descrise de diferite legi de distribuție.

Folosind exemplele de mai sus, putem spune că modelul matematic care descrie criteriul „lungimea conexiunilor” este determinist, iar modelele matematice care descriu grupul de criterii „costuri” sunt modele probabiliste.

Modele lingvistice, semantice și informaționale

Modelele matematice au avantaje evidente, deoarece evaluarea cantitativă a aspectelor sarcinii oferă o idee clară a priorităților obiectivelor. Este important ca un specialist să poată justifica întotdeauna adoptarea unei decizii prin prezentarea datelor numerice relevante. Cu toate acestea, descrierea matematică completă activitati ale proiectului imposibil, prin urmare, majoritatea sarcinilor rezolvate în stadiul inițial de proiectare arhitecturală și de construcții se referă la semi-structurat.

Una dintre caracteristicile sarcinilor semistructurate este descrierea verbală a criteriilor folosite în ele. Introducerea criteriilor descrise în limbaj natural (astfel de criterii se numesc lingvistic), vă permite să utilizați metode mai puțin complexe pentru a găsi soluții optime de proiectare. În prezența unor astfel de criterii, designerul ia o decizie pe baza unor expresii familiare, incontestabile ale obiectivelor.

O descriere semnificativă a tuturor aspectelor problemei introduce sistematizarea în procesul de rezolvare a acesteia, pe de o parte, iar pe de altă parte, facilitează foarte mult munca specialiștilor care, fără a studia secțiunile relevante ale matematicii, își pot rezolva mai rațional. probleme profesionale. Pe fig. 5.2 este dat model lingvistic, care descrie posibilitățile de creare a condițiilor de ventilație naturală în diverse opțiuni de planificare a soluțiilor pentru o brutărie.

Alte beneficii ale descrierilor semnificative ale problemelor includ:

Abilitatea de a descrie toate criteriile care determină eficacitatea soluției de proiectare. Totodată, este important ca în descriere să poată fi introduse concepte complexe, iar alături de factorii cantitativi, măsurabili, și cei calitativi, nemăsurabile, vor intra în câmpul de vedere al unui specialist alături de factorii cantitativi, măsurabili. Astfel, la momentul deciziei se vor folosi toate informațiile subiective și obiective;

Orez. 5.2 Descrierea conținutului criteriului „ventilație” sub forma unui model lingvistic

Posibilitatea unei evaluări neechivoce a gradului de atingere a obiectivului în opțiunile pentru această caracteristică pe baza formulării adoptate de experți, care asigură fiabilitatea informațiilor primite;

Capacitatea de a ține cont de incertitudinea asociată cunoașterii incomplete a tuturor consecințelor deciziilor luate, precum și de informații cu caracter predictiv.

Modelele semantice aparțin și modelelor care folosesc limbajul natural pentru a descrie obiectul de studiu.

Model semantic- exista o astfel de reprezentare a obiectului, care reflecta gradul de interconectare (proximitate) intre diversele componente, aspecte, proprietati ale obiectului. Prin interconectare se înțelege nu o locație spațială relativă, ci o conexiune în sens.

Deci, în sens semantic, relația dintre coeficientul de iluminare naturală și zona de lumină a gardurilor transparente va fi prezentată ca fiind mai strânsă decât relația dintre deschiderile ferestrelor și secțiunile oarbe ale peretelui adiacent acestora.

Setul de relații de conexiune arată ce reprezintă fiecare element distins în obiect și obiectul în ansamblu. Totodată, modelul semantic reflectă, pe lângă gradul de conectare a diverselor aspecte din obiect, și conținutul conceptelor. modele elementare sunt concepte exprimate în limbaj natural.

Construirea modelelor semantice se bazează pe principii, conform cărora conceptele și relațiile nu se modifică pe toată perioada de utilizare a modelului; conținutul unui concept nu trece în altul; legăturile dintre două concepte au o interacţiune egală şi neorientată faţă de acestea.

Fiecare analiză a modelului are ca scop selectarea elementelor modelului care au o anumită calitate comună. Acest lucru oferă motive pentru construirea unui algoritm care ia în considerare doar conexiunile directe. Conversia unui model într-un grafic nedirecționat caută o cale între două elemente care urmărește mișcarea de la un element la altul, folosind fiecare element o singură dată. Ordinea elementelor se numește succesiunea acestor două elemente. Secvențele pot avea lungimi diferite. Cele mai scurte dintre acestea se numesc rapoarte ale elementelor. O succesiune de două elemente există și dacă există o legătură directă între ele, dar în acest caz nu există nicio relație.

Ca exemplu de model semantic, vom descrie aspectul unui apartament împreună cu legăturile de comunicare. Conceptul este sediul apartamentului. Conectarea directă înseamnă conectarea funcțională a două încăperi, de exemplu, cu o ușă (vezi Tabelul 5.1).

Convertirea modelului în forma unui grafic nedirecționat vă permite să obțineți o secvență de elemente (Fig. 5.3).

Exemple de secvență formată între elementul 2 (baie) și elementul 6 (cămară) sunt prezentate în tabel. 5.2. După cum se poate observa din tabel, secvența 3 reprezintă raportul dintre aceste două elemente.

Tabelul 5.1

Descrierea amenajării apartamentului

Orez. 5.3 Descrierea deciziei de planificare sub forma unui grafic nedirecționat

Potrivit manualului lui Sovetov și Yakovlev: „un model (lat. modul - măsură) este un obiect-substitut al obiectului original, care oferă studiul unor proprietăți ale originalului”. (p. 6) „Înlocuirea unui obiect cu altul pentru a obține informații despre cele mai importante proprietăți ale obiectului original folosind obiectul model se numește modelare.” (p. 6) „În modelarea matematică vom înțelege procesul de stabilire a corespondenței unui obiect real dat a unui obiect matematic, numit model matematic, și studiul acestui model, care permite obținerea caracteristicilor obiectului real luat în considerare. . Tipul de model matematic depinde atât de natura obiectului real, cât și de sarcinile de studiu ale obiectului, precum și de fiabilitatea și acuratețea necesară pentru rezolvarea acestei probleme.”

În cele din urmă, cea mai concisă definiție a unui model matematic: „O ecuație care exprimă o idee."

Clasificarea modelului

Clasificarea formală a modelelor

Clasificarea formală a modelelor se bazează pe clasificarea instrumentelor matematice utilizate. Adesea construită sub formă de dihotomii. De exemplu, unul dintre seturile populare de dihotomii este:

etc. Fiecare model construit este liniar sau neliniar, determinist sau stocastic,... Desigur, sunt posibile și tipuri mixte: concentrate într-o privință (din punct de vedere al parametrilor), modele distribuite în alta etc.

Clasificarea după modul în care este reprezentat obiectul

Alături de clasificarea formală, modelele diferă prin modul în care reprezintă obiectul:

• Modele structurale sau funcționale

Modelele structurale reprezintă un obiect ca sistem cu propriul dispozitiv și mecanism de funcționare. Modelele funcționale nu folosesc astfel de reprezentări și reflectă doar comportamentul (funcționarea) perceput extern al obiectului. În expresia lor extremă, ele sunt numite și modele „cutie neagră” Sunt posibile și tipuri combinate de modele, care sunt uneori numite modele „cutie gri”.

Conținut și modele formale

Aproape toți autorii care descriu procesul de modelare matematică indică faptul că mai întâi se construiește o construcție ideală specială, model de conținut. Nu există o terminologie stabilită aici, iar alți autori numesc acest obiect ideal model conceptual , model speculativ sau premodel. În acest caz, se numește construcția matematică finală model formal sau doar un model matematic obţinut ca urmare a formalizării acestui model de conţinut (pre-model). Construcția unui model semnificativ se poate face folosind un set de idealizări gata făcute, ca în mecanică, unde arcuri ideale, corpuri rigide, penduluri ideale, medii elastice etc. oferă elemente structurale gata făcute pentru modelarea semnificativă. Cu toate acestea, în domeniile de cunoaștere în care nu există teorii formalizate complet finalizate (de vârf în fizică, biologie, economie, sociologie, psihologie și majoritatea altor domenii), crearea de modele semnificative este dramatic mai complicată.

Clasificarea semnificativă a modelelor

Nicio ipoteză în știință nu poate fi dovedită o dată pentru totdeauna. Richard Feynman a spus foarte clar:

„Avem întotdeauna capacitatea de a infirma o teorie, dar rețineți că nu putem dovedi niciodată că este corectă. Să presupunem că ați înaintat o ipoteză de succes, ați calculat unde duce și ați constatat că toate consecințele ei sunt confirmate experimental. Înseamnă asta că teoria ta este corectă? Nu, înseamnă pur și simplu că nu ai reușit să o infirmi.

Dacă se construiește un model de primul tip, atunci aceasta înseamnă că este recunoscut temporar ca adevărat și se poate concentra asupra altor probleme. Totuși, acesta nu poate fi un punct în cercetare, ci doar o pauză temporară: statutul modelului de primul tip nu poate fi decât temporar.

Tip 2: Model fenomenologic (se comportă de parcă…)

Modelul fenomenologic conține un mecanism de descriere a fenomenului. Cu toate acestea, acest mecanism nu este suficient de convingător, nu poate fi suficient confirmat de datele disponibile sau nu este de acord cu teoriile disponibile și cunoștințele acumulate despre obiect. Prin urmare, modelele fenomenologice au statut de soluții temporare. Se crede că răspunsul este încă necunoscut și este necesar să se continue căutarea „mecanismelor adevărate”. Peierls se referă, de exemplu, modelul caloric și modelul cuarc al particulelor elementare la al doilea tip.

Rolul modelului în cercetare se poate schimba în timp, se poate întâmpla ca noi date și teorii să confirme modelele fenomenologice și să fie promovate la statutul de ipoteză. De asemenea, noile cunoștințe pot intra treptat în conflict cu modelele-ipoteze de primul tip și pot fi transferate la al doilea. Astfel, modelul cuarcilor trece treptat în categoria ipotezelor; atomismul în fizică a apărut ca o soluție temporară, dar odată cu cursul istoriei a trecut în primul tip. Dar modelele eterice au trecut de la tipul 1 la tipul 2, iar acum sunt în afara științei.

Ideea simplificării este foarte populară atunci când construiești modele. Dar simplificarea este diferită. Peierls distinge trei tipuri de simplificări în modelare.

Tip 3: Apropiere (ceva este considerat foarte mare sau foarte mic)

Dacă este posibil să se construiască ecuații care să descrie sistemul studiat, aceasta nu înseamnă că acestea pot fi rezolvate chiar și cu ajutorul unui calculator. O tehnică comună în acest caz este utilizarea aproximărilor (modele de tip 3). Printre ei modele de răspuns liniar. Ecuațiile sunt înlocuite cu unele liniare. Exemplul standard este legea lui Ohm.

Și aici este tipul 8, care este utilizat pe scară largă în modelele matematice ale sistemelor biologice.

Tip 8: Demonstrație de posibilitate (principalul lucru este de a arăta consistența internă a posibilității)

Acestea sunt, de asemenea, experimente gândite cu entități imaginare, care demonstrează asta presupus fenomenîn concordanță cu principiile de bază și consecventă intern. Aceasta este principala diferență față de modelele de tip 7, care dezvăluie contradicții ascunse.

Unul dintre cele mai faimoase dintre aceste experimente este geometria lui Lobachevsky (Lobachevsky a numit-o „geometrie imaginară”). Un alt exemplu este producția în masă de modele formal cinetice de oscilații chimice și biologice, unde auto, etc. Paradoxul Einstein-Podolsky-Rosen a fost conceput ca un model de tip 7 pentru a demonstra inconsecvența mecanicii cuantice. Într-un mod complet neplanificat, s-a transformat în cele din urmă într-un model de tip 8 - o demonstrație a posibilității de teleportare cuantică a informațiilor.

Exemplu

Să considerăm un sistem mecanic format dintr-un arc fixat la un capăt și o sarcină de masă m atașat la capătul liber al arcului. Vom presupune că sarcina se poate deplasa numai în direcția axei arcului (de exemplu, mișcarea are loc de-a lungul tijei). Să construim un model matematic al acestui sistem. Vom descrie starea sistemului prin distanță X de la centrul sarcinii până la poziția sa de echilibru. Să descriem interacțiunea dintre un arc și o sarcină folosind legea lui Hooke (F = − kX ) după care folosim a doua lege a lui Newton pentru a o exprima sub forma unei ecuații diferențiale:

unde înseamnă derivata a doua a X cu timpul: .

Ecuația rezultată descrie modelul matematic al sistemului fizic considerat. Acest model este numit „oscilator armonic”.

Conform clasificării formale, acest model este liniar, determinist, dinamic, concentrat, continuu. În procesul de construire a acestuia, am făcut multe ipoteze (despre absența forțelor externe, absența frecării, micimea abaterilor etc.), care în realitate ar putea să nu fie îndeplinite.

În raport cu realitatea, acesta este cel mai adesea un model de tip 4. simplificare(„omitem unele detalii pentru claritate”), deoarece unele caracteristici universale esențiale (de exemplu, disiparea) sunt omise. Într-o anumită aproximare (să zicem, atâta timp cât abaterea sarcinii de la echilibru este mică, cu frecare mică, pentru un timp nu prea lung și supus unor alte condiții), un astfel de model descrie destul de bine un sistem mecanic real, deoarece factorii aruncați au un efect neglijabil asupra comportamentului său . Cu toate acestea, modelul poate fi rafinat luând în considerare unii dintre acești factori. Acest lucru va duce la un nou model, cu un domeniu de aplicare mai larg (deși din nou limitat).

Cu toate acestea, atunci când modelul este rafinat, complexitatea studiului său matematic poate crește semnificativ și poate face modelul practic inutil. Adesea, un model mai simplu vă permite să explorați mai bine și mai profund sistemul real decât unul mai complex (și, formal, „mai corect”).

Dacă aplicăm modelul oscilatorului armonic la obiecte care sunt departe de fizică, statutul său semnificativ poate fi diferit. De exemplu, atunci când se aplică acest model populațiilor biologice, cel mai probabil ar trebui să fie atribuit tipului 6 analogie(„Să luăm în considerare doar câteva caracteristici”).

Modele dure și moi

Oscilatorul armonic este un exemplu de așa-numit model „hard”. Se obține ca urmare a unei puternice idealizări a unui sistem fizic real. Pentru a rezolva problema aplicabilității sale, este necesar să înțelegem cât de importanți sunt factorii pe care i-am neglijat. Cu alte cuvinte, este necesar să se investigheze modelul „moale”, care se obține printr-o mică perturbare a celui „dur”. Poate fi dat, de exemplu, de următoarea ecuație:

Aici - o funcție, care poate lua în considerare forța de frecare sau dependența coeficientului de rigiditate al arcului de gradul de întindere a acestuia - un parametru mic. Forma explicită a unei funcții f noi in acest moment nu sunt interesat. Dacă demonstrăm că comportamentul unui model soft nu diferă fundamental de cel al unui model hard (indiferent de forma explicită a factorilor perturbatori, dacă aceștia sunt suficient de mici), problema se va reduce la studierea modelului hard. În caz contrar, aplicarea rezultatelor obținute în studiul modelului rigid va necesita cercetări suplimentare. De exemplu, soluția ecuației unui oscilator armonic sunt funcții de forma , adică oscilații cu o amplitudine constantă. Rezultă de aici că un oscilator real va oscila la nesfârșit cu o amplitudine constantă? Nu, pentru că luând în considerare un sistem cu o frecare arbitrar mică (prezentă întotdeauna într-un sistem real), obținem oscilații amortizate. Comportamentul sistemului s-a schimbat calitativ.

Dacă un sistem își păstrează comportamentul calitativ sub o mică perturbare, se spune că este stabil din punct de vedere structural. Oscilatorul armonic este un exemplu de sistem instabil din punct de vedere structural (negru). Cu toate acestea, acest model poate fi folosit pentru a studia procese pe intervale de timp limitate.

Universalitatea modelelor

Cele mai importante modele matematice au de obicei proprietatea importantă universalitate: fenomene reale fundamental diferite pot fi descrise de același model matematic. De exemplu, un oscilator armonic descrie nu numai comportamentul unei sarcini pe un arc, ci și alte procese oscilatorii, adesea de o natură complet diferită: mici oscilații ale unui pendul, fluctuații ale nivelului lichidului în U-vas în formă sau o modificare a puterii curentului în circuitul oscilator. Astfel, studiind un model matematic, studiem deodată o întreagă clasă de fenomene descrise de acesta. Este acest izomorfism al legilor exprimat prin modele matematice în diferite segmente cunoștințe științifice, isprava lui Ludwig von Bertalanffy de a crea „Teoria generală a sistemelor”.

Probleme directe și inverse de modelare matematică

Există multe probleme asociate modelării matematice. În primul rând, este necesar să se vină cu schema de bază a obiectului modelat, să o reproducă în cadrul idealizărilor acestei științe. Deci, un vagon se transformă într-un sistem de plăci și corpuri mai complexe din materiale diferite, fiecare material este specificat ca idealizare mecanică standard (densitate, module elastice, caracteristici standard de rezistență), după care se întocmesc ecuații, pe parcurs se aruncă unele detalii ca nesemnificative, se fac calcule, se compară cu măsurători, se perfecționează modelul, și așa mai departe. Cu toate acestea, pentru dezvoltarea tehnologiilor de modelare matematică, este utilă dezasamblarea acestui proces în principalele sale elemente constitutive.

În mod tradițional, există două clase principale de probleme asociate modelelor matematice: directe și inverse.

Problemă directă: structura modelului și toți parametrii acestuia sunt considerați cunoscuți, sarcina principală este studierea modelului pentru a extrage cunoștințe utile despre obiect. Ce sarcină statică poate rezista podul? Cum va reacționa la o sarcină dinamică (de exemplu, la marșul unei companii de soldați sau la trecerea unui tren cu viteze diferite), cum va depăși avionul bariera sonoră, se va desprinde de flutter - aici exemple tipice sarcină directă. Stabilirea corectă a problemei directe (a pune întrebarea corectă) necesită abilități speciale. Dacă nu se pun întrebările potrivite, podul se poate prăbuși, chiar dacă s-a construit un model bun pentru comportamentul său. Deci, în 1879, în Anglia, un pod metalic peste râul Tey s-a prăbușit, ai cărui proiectanți au construit un model al podului, l-au calculat pentru o marjă de siguranță de 20 de ori pentru sarcina utilă, dar au uitat de vânturile care suflau constant în acelea. locuri. Și după un an și jumătate s-a prăbușit.

În cel mai simplu caz (ecuația unui oscilator, de exemplu), problema directă este foarte simplă și se reduce la o soluție explicită a acestei ecuații.

Problemă inversă: sunt cunoscute multe modele posibile, este necesar să alegeți un model anume pe baza unor date suplimentare despre obiect. Cel mai adesea, structura modelului este cunoscută și trebuie determinați niște parametri necunoscuți. Informațiile suplimentare pot consta în date empirice suplimentare sau în cerințele pentru obiect ( sarcina de proiectare). Date suplimentare pot veni indiferent de procesul de rezolvare a problemei inverse ( observație pasivă) sau să fie rezultatul unui experiment special planificat în cursul rezolvării ( supraveghere activă).

Unul dintre primele exemple de soluție virtuoasă a unei probleme inverse cu utilizarea cât mai deplină posibilă a datelor disponibile a fost metoda construită de I. Newton pentru reconstrucția forțelor de frecare din oscilațiile amortizate observate.

Exemple suplimentare

Unde X s- dimensiunea populației „de echilibru”, la care natalitatea este exact compensată de rata mortalității. Mărimea populației într-un astfel de model tinde spre valoarea de echilibru X s, iar acest comportament este stabil din punct de vedere structural.

Acest sistem are o stare de echilibru în care numărul de iepuri și vulpi este constant. Abaterea de la această stare duce la fluctuații ale numărului de iepuri și vulpi, similare cu fluctuațiile oscilatorului armonic. Ca și în cazul oscilatorului armonic, acest comportament nu este stabil din punct de vedere structural: o mică modificare a modelului (de exemplu, ținând cont de resursele limitate necesare iepurilor) poate duce la o schimbare calitativă a comportamentului. De exemplu, starea de echilibru poate deveni stabilă, iar fluctuațiile populației se vor estompa. Este posibilă și situația inversă, când orice mică abatere de la poziția de echilibru va duce la consecințe catastrofale, până la dispariția completă a uneia dintre specii. La întrebarea care dintre aceste scenarii se realizează, modelul Volterra-Lotka nu oferă un răspuns: aici sunt necesare cercetări suplimentare.

Note

1. „O reprezentare matematică a realității” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Despre chestiuni filozofice ale modelării cibernetice. M., Cunoașterea, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihailov A. P. Modelare matematică. Idei. Metode. Exemple. . - Ed. a II-a, Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikționar: modele matematice
7. Cliffs Note
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomenas, Springer, seria Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. „O teorie este considerată liniară sau neliniară, în funcție de ce - liniar sau neliniar - aparat matematic, ce - liniare sau neliniare - modele matematice folosește. ... fără a nega aceasta din urmă. Un fizician modern, dacă s-ar întâmpla să redefinească o entitate atât de importantă ca neliniaritate, cel mai probabil ar acționa diferit și, preferând neliniaritatea ca fiind cea mai importantă și comună dintre cele două opuse, ar defini liniaritatea ca „non-non- liniaritate”. Danilov Yu. A., Prelegeri despre dinamica neliniară. Introducere elementară. Sinergetice: de la trecut la seria viitor. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. „Sisteme dinamice modelate de un număr finit de obișnuiți ecuatii diferentiale, se numesc sisteme concentrate sau puncte. Ele sunt descrise folosind un spațiu de fază cu dimensiuni finite și sunt caracterizate de un număr finit de grade de libertate. Unul și același sistem în condiții diferite poate fi considerat fie concentrat, fie distribuit. Modelele matematice ale sistemelor distribuite sunt ecuații diferențiale parțiale, ecuații integrale sau ecuații de întârziere obișnuite. Numărul de grade de libertate ale unui sistem distribuit este infinit și este necesar un număr infinit de date pentru a determina starea acestuia. Anishchenko V.S., Sisteme dinamice, Jurnalul Educațional Soros, 1997, nr. 11, p. 77-84.
11. „În funcție de natura proceselor studiate în sistemul S, toate tipurile de modelare pot fi împărțite în deterministă și stocastică, statică și dinamică, discretă, continuă și discret-continuă. Modelarea deterministă prezintă procese deterministe, adică procese în care se presupune absența oricăror influențe aleatorii; modelarea stocastică afișează procese și evenimente probabilistice. … Modelarea statică este folosită pentru a descrie comportamentul unui obiect în orice moment în timp, în timp ce modelarea dinamică reflectă comportamentul unui obiect în timp. Modelarea discretă servește pentru a descrie procesele care se presupune că sunt discrete, respectiv, modelarea continuă vă permite să reflectați procesele continue în sisteme, iar modelarea discret-continuă este utilizată pentru cazurile în care doriți să evidențiați prezența atât a proceselor discrete, cât și a celor continue. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. De obicei, modelul matematic reflectă structura (aranjamentul) obiectului care se modelează, proprietățile și interconexiunile componentelor acestui obiect care sunt esențiale pentru scopurile studiului; un astfel de model se numește structural. Dacă modelul reflectă doar modul în care funcționează obiectul - de exemplu, cum reacționează la influențele externe - atunci se numește o cutie funcțională sau, la figurat, o cutie neagră. Sunt posibile și modele combinate. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Evident, dar important Primul stagiu construirea sau alegerea unui model matematic înseamnă a deveni cât mai clar posibil despre obiectul care se modelează și a clarifica modelul de conținut al acestuia pe baza discuțiilor informale. Timpul și eforturile nu trebuie cruțate în această etapă; succesul întregului studiu depinde în mare măsură de acesta. Nu o dată s-a întâmplat ca munca considerabilă petrecută pentru rezolvarea unei probleme matematice să se dovedească a fi ineficientă sau chiar irosită din cauza atenției insuficiente acordate acestei părți a problemei. Myshkis A.D., Elemente de teoria modelelor matematice. - Ed. a 3-a, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 cu ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Descrierea modelului conceptual al sistemului. La această sub-etapă a construirii unui model de sistem: a) modelul conceptual M este descris în termeni și concepte abstracte; b) se face o descriere a modelului folosind scheme matematice tipice; c) ipotezele și ipotezele sunt în cele din urmă acceptate; d) este fundamentată alegerea unei proceduri de aproximare a proceselor reale la construirea unui model. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelare sisteme: Proc. pentru universități - ed. a III-a, revizuită. si suplimentare - M.: Mai sus. şcoală, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
15. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matematică aplicată: Subiect, logică, trăsături ale abordărilor. Cu exemple din mecanică: Manual. - Ed. a 3-a, Rev. si suplimentare - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, capitolul 2.

Calculatoarele au intrat ferm în viața noastră și practic nu există o astfel de zonă a activității umane în care computerele să nu fie folosite. Calculatoarele sunt acum utilizate pe scară largă în procesul de creare și cercetare a noilor mașini, a noilor procese tehnologice și în căutarea opțiunilor optime ale acestora; la rezolvarea problemelor economice, la rezolvarea problemelor de planificare și conducere a producției la diferite niveluri. Crearea de obiecte mari în rachete, construcții de avioane, construcții navale, precum și proiectarea de baraje, poduri etc., este în general imposibilă fără utilizarea computerelor.

Pentru a folosi un calculator în rezolvarea problemelor aplicate, în primul rând, problema aplicată trebuie „tradusă” într-un limbaj matematic formal, adică. pentru un obiect, proces sau sistem real, acesta model matematic.

Cuvântul „Model” provine din latinescul modus (copie, imagine, contur). Modelarea este înlocuirea unui obiect A cu un alt obiect B. Obiectul înlocuit A se numește original sau obiect de modelare, iar înlocuitorul B se numește model. Cu alte cuvinte, un model este un obiect-înlocuire a obiectului original, oferind studiul unor proprietăți ale originalului.

Scopul simulării sunt primirea, prelucrarea, prezentarea și utilizarea informațiilor despre obiecte care interacționează între ele și mediul extern; iar modelul acționează aici ca un mijloc de cunoaștere a proprietăților și tiparelor comportamentului obiectului.

Modelarea este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane, în special în domeniile proiectării și managementului, unde procesele de luare a deciziilor eficiente pe baza informațiilor primite sunt deosebite.

Un model este întotdeauna construit având în vedere un scop specific, care influențează care proprietăți ale unui fenomen obiectiv sunt semnificative și care nu. Modelul este, parcă, o proiecție a realității obiective dintr-un anumit punct de vedere. Uneori, în funcție de obiective, puteți obține o serie de proiecții ale realității obiective care intră în conflict. Acest lucru este tipic, de regulă, pentru sistemele complexe, în care fiecare proiecție evidențiază ceea ce este esențial pentru un anumit scop dintr-un set de cele neesențiale.

Teoria modelării este o ramură a științei care studiază modalități de a studia proprietățile obiectelor originale pe baza înlocuirii lor cu alte obiecte model. Teoria asemănării stă la baza teoriei modelării. La modelare, asemănarea absolută nu are loc și se străduiește doar să se asigure că modelul reflectă suficient de bine partea studiată a funcționării obiectului. Asemănarea absolută poate avea loc numai atunci când un obiect este înlocuit cu altul exact la fel.

Toate modelele pot fi împărțite în două clase:

1. real,
2. ideal.

La rândul lor, modelele reale pot fi împărțite în:

1. natural,
2. fizic,
3. matematic.

Modele ideale poate fi împărțit în:

1. vizual,
2. simbolic,
3. matematic.

Modelele reale la scară reală sunt obiecte, procese și sisteme reale pe care se efectuează experimente științifice, tehnice și industriale.

Modele fizice reale- sunt modele, modele care reproduc proprietatile fizice ale originalelor (modele cinematice, dinamice, hidraulice, termice, electrice, usoare).

Modelele matematice reale sunt analogice, structurale, geometrice, grafice, digitale și cibernetice.

Modelele vizuale ideale sunt diagramele, hărțile, desenele, graficele, graficele, analogii, structurale și modele geometrice.

Modelele de semne ideale sunt simbolurile, alfabetul, limbaje de programare, notația ordonată, notația topologică, reprezentarea în rețea.

Ideal modele matematice- acestea sunt modele analitice, funcționale, de simulare, combinate.

În clasificarea de mai sus, unele modele au o interpretare dublă (de exemplu, analogică). Toate modelele, cu excepția celor la scară largă, pot fi combinate într-o singură clasă de modele mentale, deoarece ele sunt produsul gândirii abstracte a omului.

Să ne oprim asupra unuia dintre cele mai universale tipuri de modelare - matematică, care asociază procesul fizic simulat cu un sistem de relații matematice, a cărui soluție vă permite să obțineți un răspuns la întrebarea despre comportamentul unui obiect fără a crea un model fizic, care de multe ori se dovedește a fi costisitor și ineficient.

Modelare matematică este un mijloc de studiere a unui obiect, proces sau sistem real prin înlocuirea acestora model matematic, mai convenabil pentru cercetarea experimentală cu ajutorul unui computer.

Model matematic este o reprezentare aproximativă a obiectelor, proceselor sau sistemelor reale, exprimată în termeni matematici și reținând trăsăturile esențiale ale originalului. Modele matematice sub formă cantitativă, cu ajutorul construcțiilor logice și matematice, ele descriu principalele proprietăți ale unui obiect, proces sau sistem, parametrii acestuia, relațiile interne și externe.

În funcție de ce mijloace, în ce condiții și în raport cu ce obiecte ale cunoașterii, se realizează capacitatea modelelor de a reflecta realitatea, apare marea lor diversitate și, odată cu aceasta, clasificări. Prin generalizarea clasificărilor existente, evidențiază modelele de bază în funcție de aparatul matematic aplicat, pe baza cărora se elaborează modele speciale (Figura 8.1).

Figura 8.1 - Clasificarea formală a modelelor

Modelele matematice prezintă obiectele studiate (procese, sisteme) sub formă de relații funcționale explicite: egalități și inegalități algebrice, integrale și diferențiale, diferențe finite și alte expresii matematice (legea de distribuție a unei variabile aleatoare, modele de regresie etc.) , precum și relațiile logice matematice.

În funcție de cele două trăsături fundamentale ale construirii unui model matematic - tipul de descriere a relațiilor cauză-efect și modificările acestora în timp - există modele deterministe și stocastice, statice și dinamice (Figura 8.2).

Scopul diagramei prezentate în figură este de a afișa următoarele caracteristici:

1) modelele matematice pot fi atât deterministe, cât și stocastice;

2) modelele deterministe și stocastice pot fi atât statice, cât și dinamice.

Modelul matematic se numește determinist (determinist), dacă toți parametrii și variabilele săi sunt valori determinate în mod unic și este îndeplinită și condiția de certitudine completă a informațiilor. În caz contrar, în condiții de incertitudine a informațiilor, când parametrii și variabilele modelului sunt variabile aleatoare, modelul se numește stocastic (probabilistic).

Figura 8.2 - Clase de modele matematice

Modelul se numește dinamic dacă cel puțin o variabilă se modifică pe perioade de timp și static dacă se acceptă ipoteza că variabilele nu se modifică în timp.

În cel mai simplu caz modele de echilibru acționează sub forma unei ecuații de sold, în care suma oricăror încasări este situată în partea stângă, iar partea de cheltuieli este, de asemenea, sub forma unei sume în partea dreaptă. De exemplu, în această formă este prezentat bugetul anual al organizației.

Pe baza datelor statistice se pot construi nu numai modele de echilibru, ci și de corelație-regresie.

Dacă funcția Y depinde nu numai de variabilele x 1 , x 2 , ... xn , ci și de alți factori, relația dintre Y și x 1 , x 2 , ... xn este inexactă sau corelațională, spre deosebire de relația exactă sau funcțională. Corelația, de exemplu, în cele mai multe cazuri sunt conexiunile observate între parametrii de ieșire ai OPS și factorii mediului său intern și extern (a se vedea subiectul 5).

Modele de corelare-regresie obţinut în studiul influenţei unui întreg complex de factori asupra valorii unei anumite caracteristici prin utilizarea unui aparat statistic. În acest caz, sarcina este nu numai de a stabili o relație de corelare, ci și de a exprima această relație analitic, adică de a selecta ecuații care descriu această dependență de corelație (ecuația de regresie).

Pentru a afla valoarea numerică a parametrilor ecuației de regresie se utilizează metoda celor mai mici pătrate. Esența acestei metode este de a alege o astfel de dreaptă în care suma abaterilor pătrate ale ordonatelor Y ale punctelor individuale de la ea ar fi cea mai mică.

Modelele de corelație-regresie sunt adesea folosite în studiul fenomenelor atunci când devine necesară stabilirea unei relații între caracteristicile corespunzătoare din două sau mai multe serii. În acest caz, regresia liniară perechi și multiplă a formei

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

Ca urmare a aplicării metodei celor mai mici pătrate, se stabilesc valorile parametrilor a sau a 1 , a 2 , …, a n și b, apoi se efectuează estimări ale preciziei aproximării și semnificației ecuației de regresie rezultată.

Într-un grup special sunt modele grafic-analitice . Folosesc grafică diferită și, prin urmare, au o vizibilitate bună.

Teoria grafurilor este una dintre teorii matematică discretă, studiază graficele, care sunt înțelese ca un set de puncte și linii care le unesc. Un grafic este un obiect matematic independent (introdus pentru prima dată de Koenig D.). Pe baza teoriei grafurilor, modelele de tip arbore și de rețea sunt cel mai adesea construite.

Un model de arbore (arborele) este un grafic conectat nedirecționat care nu conține bucle și cicluri. Un exemplu de astfel de model este un arbore de obiective.

Modelele de rețea sunt utilizate pe scară largă în managementul muncii. Modelele de rețea (grafice) reflectă succesiunea lucrărilor și durata fiecărei lucrări (Figura 8.3).

Figura 8.3 - Modelul de rețea al performanței muncii

Fiecare linie a unei diagrame de rețea este un fel de muncă. Numărul de lângă el înseamnă durata execuției sale.

Modelele de rețea vă permit să găsiți așa-numita cale critică și să optimizați programul de timp pentru producția de muncă sub restricții asupra altor resurse.

Modelele de rețea pot fi deterministe și stocastice. În acest din urmă caz, durata muncii este dată de legile de distribuție a variabilelor aleatoare.

Modele de optimizare servesc la determinarea traiectoriei optime pentru ca sistemul să atingă scopul stabilit atunci când sunt impuse unele restricții asupra controlului comportamentului și mișcării acestuia. În acest caz, modelele de optimizare descriu diferite tipuri de probleme de găsire a extremului unei anumite funcții obiective (criteriul de optimizare).

Pentru a identifica cel mai bun mod de a atinge scopul managementului în condiții resurse limitate- tehnic, material, de munca si financiar - aplica metodele operatiilor de cercetare. Acestea includ metode de programare matematică (liniară și neliniară, întreagă, programare dinamică și stocastică), metode analitice și probabilistic-statistice, metode de rețea, metode de teorie la coadă, teoria jocurilor (teoria situațiilor conflictuale), etc.

Modelele de optimizare sunt utilizate pentru volumetrie și programare, gestionarea stocurilor, distribuția resurselor și a muncii, înlocuirea, parametrizarea și standardizarea echipamentelor, distribuția fluxurilor de aprovizionare cu mărfuri pe rețeaua de transport și alte sarcini de management.

Una dintre principalele realizări ale teoriei cercetării operaționale este tipificarea modelelor de control și a metodelor de rezolvare a problemelor. De exemplu, pentru a rezolva o problemă de transport, în funcție de dimensiunea acesteia, s-au dezvoltat metode tipice - metoda Vogel, metoda potențialului, metoda simplex. De asemenea, la rezolvarea problemei managementului stocurilor, în funcție de formularea acesteia, se pot folosi metode analitice și probabilistic-statistice, metode de programare dinamică și stocastică.

În management, o importanță deosebită se acordă metodelor de planificare în rețea. Aceste metode au făcut posibilă găsirea unui limbaj nou și foarte convenabil pentru descrierea, modelarea și analiza lucrărilor și proiectelor complexe în mai multe etape. În cercetarea operațională, un loc semnificativ este acordat îmbunătățirii controlului sistemelor complexe folosind metodele teoriei cozilor de așteptare (vezi Secțiunea 8.3) și aparatul proceselor Markov.

Modele ale proceselor stocastice Markov- un sistem de ecuații diferențiale care descriu funcționarea unui sistem sau a proceselor sale sub forma unui set de stări ordonate pe o anumită traiectorie a comportamentului sistemului. Această clasă de modele este utilizată pe scară largă în modelarea matematică a funcționării sistemelor complexe.

Modele de teoria jocurilor servesc la selectarea strategiei optime în condiții de informații aleatorii limitate sau de incertitudine completă.

Un joc este un model matematic al unei situații conflictuale reale, a cărui rezolvare se realizează conform unor reguli, algoritmi care descriu o anumită strategie pentru comportamentul unei persoane care ia o decizie în condiții de incertitudine.

Există „jocuri cu natura” și „jocuri cu inamicul”. Pe baza situaţiei se determină metode şi criterii de evaluare a procesului decizional. Deci, atunci când „te joci cu natura”, sunt folosite următoarele criterii: Laplace, maximin (criteriul Wald) și minimax, Hurwitz și Savage și o serie de alte reguli algoritmice. În „jocurile cu inamicul”, pentru luarea deciziilor se folosesc matrici de plăți, criterii maximin și minimax, precum și transformări matematice speciale datorită faptului că decidentului i se opune un adversar neprietenos.

Tipurile de modele matematice considerate nu acoperă toată diversitatea lor posibilă, ci caracterizează doar tipuri individuale în funcție de aspectul acceptat al clasificării. V.A. Kardash a încercat să creeze un sistem de clasificare a modelelor în funcție de patru aspecte ale detalierii (Figura 8.4).

A - modele fără diferențiere spațială a parametrilor;

B - modele cu diferențiere spațială a parametrilor

Figura 8.4 - Clasificarea modelelor după patru aspecte de detaliere

Odată cu dezvoltarea instrumentelor de calcul, una dintre metodele comune de luare a deciziilor este un joc de afaceri, care este un experiment numeric cu participarea activă a unei persoane. Există sute de jocuri de afaceri. Ele sunt folosite pentru a studia o serie de probleme de management, economie, teoria organizațiilor, psihologie, finanțe și comerț.

În articolul adus în atenție, vă oferim exemple de modele matematice. În plus, vom acorda atenție etapelor creării modelelor și vom analiza unele dintre problemele asociate modelării matematice.

O altă problemă a noastră este modelele matematice în economie, exemple ale cărora vom lua în considerare o definiție puțin mai târziu. Ne propunem să începem conversația cu însuși conceptul de „model”, să luăm în considerare pe scurt clasificarea acestora și să trecem la întrebările noastre principale.

Conceptul de „model”

Auzim adesea cuvântul „model”. Ce este? Acest termen are multe definiții, iată doar trei dintre ele:

• un obiect specific care este creat pentru a primi și stoca informații, reflectând unele proprietăți sau caracteristici și așa mai departe, ale originalului acestui obiect (acest obiect specific poate fi exprimat în diferite forme: mental, descriere folosind semne etc.);
• un model înseamnă, de asemenea, o afișare a oricărei situații specifice, viață sau management;
• o copie mică a unui obiect poate servi drept model (sunt create pentru un studiu și o analiză mai detaliată, deoarece modelul reflectă structura și relațiile).

Pe baza a tot ceea ce s-a spus mai devreme, putem trage o mică concluzie: modelul vă permite să studiați în detaliu sistem complex sau un obiect.

Toate modelele pot fi clasificate după mai multe criterii:

• după domeniul de utilizare (educațional, experimental, științific și tehnic, joc, simulare);
• după dinamică (statică și dinamică);
• pe ramură de cunoaștere (fizică, chimică, geografică, istorică, sociologică, economică, matematică);
• după modalitatea de prezentare (materială şi informaţională).

Modelele informaționale, la rândul lor, sunt împărțite în semne și verbale. Și iconic - pe computer și non-computer. Acum să trecem la o analiză detaliată a exemplelor unui model matematic.

Model matematic

După cum ați putea ghici, un model matematic reflectă unele caracteristici ale unui obiect sau fenomen folosind simboluri matematice speciale. Matematica este necesară pentru a modela legile lumii în limbajul său specific.

Metoda de modelare matematică a apărut cu mult timp în urmă, cu mii de ani în urmă, odată cu apariția acestei științe. Impulsul dezvoltării acestei metode de modelare a fost însă dat de apariția calculatoarelor (calculatoare electronice).

Acum să trecem la clasificare. Poate fi efectuată și după unele semne. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Ne propunem să ne oprim și să aruncăm o privire mai atentă asupra ultimei clasificări, deoarece reflectă tiparele generale de modelare și obiectivele modelelor create.

Modele descriptive

În acest capitol, ne propunem să ne oprim mai în detaliu asupra modelelor matematice descriptive. Pentru a clarifica totul, se va da un exemplu.

Pentru început, această vedere poate fi numită descriptivă. Acest lucru se datorează faptului că pur și simplu facem calcule și prognoze, dar nu putem influența în niciun fel rezultatul evenimentului.

Un exemplu izbitor de model matematic descriptiv este calculul traiectoriei de zbor, vitezei, distanței față de Pământ a unei comete care a invadat întinderile sistemului nostru solar. Acest model este descriptiv, deoarece toate rezultatele obținute nu pot decât să ne avertizeze asupra unui fel de pericol. Din păcate, nu putem influența rezultatul evenimentului. Cu toate acestea, pe baza calculelor obținute, este posibil să se ia orice măsuri pentru a conserva viața pe Pământ.

Modele de optimizare

Acum vom vorbi puțin despre modele economice și matematice, exemple ale cărora pot fi diverse situații. În acest caz, vorbim despre modele care ajută la găsirea răspunsului potrivit în anumite condiții. Trebuie să aibă niște parametri. Pentru a fi foarte clar, luați în considerare un exemplu din partea agrară.

Avem un grânar, dar boabele se strică foarte repede. În acest caz, trebuie să alegem regimul potrivit de temperatură și să optimizăm procesul de depozitare.

Astfel, putem defini conceptul de „model de optimizare”. În sens matematic, acesta este un sistem de ecuații (atât liniare, cât și nu), a cărui soluție ajută la găsirea soluției optime într-o anumită situație economică. Am luat în considerare un exemplu de model matematic (optimizare), dar aș dori să mai adaug un lucru: acest tip aparține clasei problemelor extreme, ele ajută la descrierea funcționării sistemului economic.

Mai remarcăm o nuanță: modelele pot fi de altă natură (vezi tabelul de mai jos).

Modele multicriteriale

Acum vă invităm să vorbiți puțin despre modelul matematic al optimizării multiobiective. Înainte de asta, am dat un exemplu de model matematic pentru optimizarea unui proces în funcție de orice criteriu, dar dacă există o mulțime de ele?

Un exemplu izbitor de sarcină multicriterială este organizarea unei alimentații adecvate, sănătoase și în același timp economice a unor grupuri mari de oameni. Astfel de sarcini sunt adesea întâlnite în armată, cantine școlare, tabere de vară, spitale și așa mai departe.

Ce criterii ne sunt date în această sarcină?

1. Mâncarea ar trebui să fie sănătoasă.
2. Cheltuielile cu mâncarea ar trebui să fie reduse la minimum.

După cum puteți vedea, aceste obiective nu coincid deloc. Aceasta înseamnă că la rezolvarea unei probleme este necesar să se caute soluția optimă, un echilibru între cele două criterii.

Modele de jocuri

Vorbind despre modelele de joc, este necesar să înțelegem conceptul de „teoria jocurilor”. Mai simplu spus, aceste modele reflectă modele matematice ale conflictelor reale. Merită doar să înțelegem că, spre deosebire de un conflict real, un model matematic de joc are propriile reguli specifice.

Acum voi da un minim de informații din teoria jocurilor, care vă vor ajuta să înțelegeți ce este un model de joc. Și așa, în model există neapărat petreceri (două sau mai multe), care se numesc de obicei jucători.

Toate modelele au anumite caracteristici.

Modelul de joc poate fi pereche sau multiplu. Dacă avem două subiecte, atunci conflictul este pereche, dacă mai mult - multiplu. Se poate distinge și un joc antagonist, se mai numește și joc cu sumă zero. Acesta este un model în care câștigul unuia dintre participanți este egal cu pierderea celuilalt.

modele de simulare

În această secțiune, ne vom concentra pe modele matematice de simulare. Exemple de sarcini sunt:

• modelul dinamicii numărului de microorganisme;
• modelul mișcării moleculare și așa mai departe.

În acest caz, vorbim despre modele cât mai apropiate de procesele reale. În mare, ei imită orice manifestare din natură. În primul caz, de exemplu, putem modela dinamica numărului de furnici dintr-o colonie. În acest caz, puteți observa soarta fiecărui individ. În acest caz, descrierea matematică este rar folosită, mai des există condiții scrise:

• după cinci zile, femela depune ouă;
• după douăzeci de zile furnica moare și așa mai departe.

Astfel, sunt folosite pentru a descrie un sistem mare. Concluzia matematică este prelucrarea datelor statistice primite.

Cerințe

Este foarte important de stiut ca exista cateva cerinte pentru acest tip de model, printre care se numara si cele date in tabelul de mai jos.

Versatilitate	Această proprietate vă permite să utilizați același model atunci când descrieți grupuri de obiecte de același tip. Este important de menționat că modelele matematice universale sunt complet independente de natura fizică a obiectului studiat.
Adecvarea	Este important să înțelegeți aici că proprietatea dată vă permite să reproduceți procesele reale cât mai precis posibil. În problemele de operare, această proprietate a modelării matematice este foarte importantă. Un exemplu de model este procesul de optimizare a utilizării unui sistem de gaz. În acest caz, se compară indicatorii calculați și cei efectivi, ca urmare, se verifică corectitudinea modelului compilat.
Precizie	Această cerință implică coincidența valorilor pe care le obținem la calcularea modelului matematic și a parametrilor de intrare ai obiectului nostru real.
Economie	Cerința de eficiență, impusă oricărui model matematic, se caracterizează prin costuri de implementare. Dacă lucrarea cu modelul este efectuată manual, atunci este necesar să se calculeze cât timp va dura rezolvarea unei probleme folosind acest model matematic. Dacă vorbim de proiectare asistată de computer, atunci se calculează indicatorii de timp și de memorie a computerului

Etape de modelare

În total, se obișnuiește să se distingă patru etape în modelarea matematică.

1. Formularea legilor care leagă părți ale modelului.
2. Studiul problemelor matematice.
3. Aflarea coincidentei rezultatelor practice si teoretice.
4. Analiza si modernizarea modelului.

Model economic și matematic

În această secțiune, vom evidenția pe scurt problema. Exemple de sarcini pot fi:

• formarea unui program de producție pentru producția de produse din carne, oferind profit maxim de producție;
• maximizarea profitului organizației prin calcularea numărului optim de mese și scaune care urmează să fie produse într-o fabrică de mobilă etc.

Modelul economico-matematic prezintă o abstractizare economică, care este exprimată folosind termeni și semne matematice.

Model matematic pe calculator

Exemple de model matematic pe calculator sunt:

• sarcini hidraulice folosind diagrame, diagrame, tabele și așa mai departe;
• probleme la mecanica solidă și așa mai departe.

Un model de calculator este o imagine a unui obiect sau sistem, prezentată ca:

• Mese;
• diagrame bloc;
• diagrame;
• grafică și așa mai departe.

În același timp, acest model reflectă structura și interconexiunile sistemului.

Construirea unui model economic și matematic

Am vorbit deja despre ce este un model economico-matematic. Un exemplu de rezolvare a problemei va fi luat în considerare chiar acum. Trebuie să analizăm programul de producție pentru a identifica rezerva pentru creșterea profiturilor cu o schimbare a sortimentului.

Nu vom analiza pe deplin problema, ci doar construim un model economic și matematic. Criteriul sarcinii noastre este maximizarea profitului. Atunci funcția are forma: Л=р1*х1+р2*х2… tinzând la maxim. În acest model, p este profitul pe unitate, x este numărul de unități produse. În plus, pe baza modelului construit, este necesar să se facă calcule și să rezumați.

Un exemplu de construire a unui model matematic simplu

O sarcină. Pescarul s-a întors cu următoarea captură:

• 8 pești - locuitori ai mărilor nordice;
• 20% din captură - locuitorii mărilor sudice;
• nu s-a găsit niciun pește din râul local.

Câți pești a cumpărat de la magazin?

Deci, un exemplu de construire a unui model matematic al acestei probleme este următorul. Notăm numărul total de pești cu x. După condiție, 0,2x este numărul de pești care trăiesc latitudinile sudice. Acum combinăm toate informațiile disponibile și obținem un model matematic al problemei: x=0,2x+8. Rezolvăm ecuația și obținem răspunsul la întrebarea principală: a cumpărat 10 pești din magazin.