Coordonate și vectori. Un ghid exhaustiv (2020). Vector. Ce este un vector? Se numește un vector a cărui lungime este 1

Pagina 1 din 2

Intrebarea 1. Ce este un vector? Cum sunt definiți vectorii?
Răspuns. Vom numi un segment dirijat un vector (Fig. 211). Direcția unui vector este determinată prin specificarea începutului și sfârșitului acestuia. În desen, direcția vectorului este marcată cu o săgeată. Pentru a desemna vectorii, vom folosi literele latine mici a, b, c, ... . De asemenea, puteți desemna un vector specificând începutul și sfârșitul acestuia. În acest caz, începutul vectorului este plasat pe primul loc. În loc de cuvântul „vector”, o săgeată sau o liniuță este uneori plasată deasupra desemnării literei vectorului. Vectorul din figura 211 poate fi notat astfel:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) sau \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Intrebarea 2. Ce vectori sunt numiți egal direcționați (direcționați opus)?
Răspuns. Se spune că vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egal direcționați dacă semiliniile AB și CD sunt egal direcționate.
Vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) se numesc direcționați opus dacă semidreptele AB și CD sunt direcționate opus.
În Figura 212, vectorii \(\overline(a)\) și \(\overline(b)\) au aceeași direcție, în timp ce vectorii \(\overline(a)\) și \(\overline(c) \) au direcții opuse.

Întrebarea 3. Care este valoarea absolută a unui vector?
Răspuns. Valoarea absolută (sau modulul) unui vector este lungimea segmentului care reprezintă vectorul. Valoarea absolută a vectorului \(\overline(a)\) se notează cu |\(\overline(a)\)|.

Întrebarea 4. Ce este un vector nul?
Răspuns.Începutul unui vector poate coincide cu sfârșitul acestuia. Un astfel de vector va fi numit vector zero. Vectorul zero este notat cu zero cu o liniuță (\(\overline(0)\)). Nimeni nu vorbește despre direcția vectorului zero. Valoarea absolută a vectorului zero este considerată egală cu zero.

Întrebarea 5. Ce vectori se numesc egali?
Răspuns. Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt combinați printr-o translație paralelă. Aceasta înseamnă că există o translație paralelă care traduce începutul și sfârșitul unui vector la începutul și, respectiv, sfârșitul altui vector.

Întrebarea 6. Demonstrați că vectorii egali au aceeași direcție și sunt egali în valoare absolută. Și invers: vectorii egal direcționați care sunt egali în valoare absolută sunt egali.
Răspuns. Cu translația paralelă, vectorul își păstrează direcția, precum și valoarea sa absolută. Aceasta înseamnă că vectorii egali au aceeași direcție și sunt egali în valoare absolută.
Fie \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) să fie vectori egal direcționați egali în valoare absolută (Fig. 213). O translație paralelă care duce punctul C la punctul A combină semi-linia CD cu semi-linia AB, deoarece acestea sunt în mod egal direcționate. Și întrucât segmentele AB și CD sunt egale, atunci punctul D coincide cu punctul B, adică. translația paralelă traduce vectorul \(\overline(CD)\) în vectorul \(\overline(AB)\). Prin urmare, vectorii \(\overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egali, după cum este necesar.

Întrebarea 7. Demonstrați că din orice punct se poate desena un vector egal cu vectorul dat și numai unul.
Răspuns. Fie CD o linie și vectorul \(\overline(CD)\) să fie o parte a liniei CD. Fie AB linia în care intră linia CD în timpul translației paralele, \(\overline(AB)\) să fie vectorul în care intră vectorul \(\overline(CD)\) în timpul translației paralele și, prin urmare, vectorii \(\ overline(AB)\) și \(\overline(CD)\) sunt egale, iar liniile AB și CD sunt paralele (vezi Fig. 213). După cum știm, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se deseneze pe plan cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată (axioma dreptelor paralele). Prin urmare, prin punctul A se poate trasa o dreaptă paralelă cu dreapta CD. Deoarece vectorul \(\overline(AB)\) face parte din dreapta AB, este posibil să se deseneze un vector \(\overline(AB)\) prin punctul A, care este egal cu vectorul \(\overline (CD)\).

Întrebarea 8. Ce sunt coordonatele vectoriale? Care este valoarea absolută a vectorului cu coordonatele a 1 , a 2 ?
Răspuns. Fie vectorul \(\overline(a)\) să înceapă în punctul A 1 (x 1 ; y 1) și se termină în punctul A 2 (x 2 ; y 2). Coordonatele vectorului \(\overline(a)\) vor fi numerele a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Vom pune coordonatele vectorului lângă desemnarea literei vectorului, în acest caz \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) sau doar \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Coordonatele vectorului zero sunt egale cu zero.
Din formula care exprimă distanța dintre două puncte în funcție de coordonatele lor, rezultă că valoarea absolută a vectorului cu coordonatele a 1 , a 2 este \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).

Întrebarea 9. Demonstrați că vectorii egali au coordonate egale, iar vectorii cu coordonate egale sunt egali.
Răspuns. Fie A 1 (x 1 ; y 1) și A 2 (x 2 ; y 2) începutul și sfârșitul vectorului \(\overline(a)\). Deoarece vectorul \(\overline(a")\) egal cu acesta se obține din vectorul \(\overline(a)\) prin translație paralelă, atunci începutul și sfârșitul acestuia vor fi respectiv A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​​​+ d). Aceasta arată că ambii vectori \(\overline(a)\) și \(\overline(a")\) au aceleași coordonate: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Să demonstrăm acum afirmația inversă. Fie coordonatele corespunzătoare ale vectorilor \(\overline(A 1 A 2 )\) și \(\overline(A" 1 A" 2 )\) să fie egale. Demonstrăm că vectorii sunt egali.
Fie x" 1 și y" 1 coordonatele punctului A" 1 și x" 2, y" 2 coordonatele punctului A" 2. Prin condiția teoremei x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Prin urmare, x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Translația paralelă dată de formule

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

transferă punctul A 1 în punctul A" 1 , iar punctul A 2 în punctul A" 2 , adică. vectorii \(\overline(A 1 A 2 )\) și \(\overline(A" 1 A" 2 )\) sunt egali, după cum este necesar.

Întrebarea 10. Definiți suma vectorilor.
Răspuns. Suma vectorilor \(\overline(a)\) și \(\overline(b)\) cu coordonatele a 1 , a 2 și b 1 , b 2 este vectorul \(\overline(c)\) cu coordonatele a 1 + b 1 , a 2 + ba 2 , adică.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

VECTOR
În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe mărimi importante care sunt vectori, cum ar fi forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, câmpurile electrice și magnetice. Ele pot fi contrastate cu alte cantități, cum ar fi masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise printr-un număr obișnuit și sunt numite „scalari”. Notația vectorială este utilizată atunci când se lucrează cu cantități care nu pot fi specificate complet folosind numere obișnuite. De exemplu, dorim să descriem poziția unui obiect relativ la un anumit punct. Putem spune câți kilometri de la un punct la un obiect, dar nu putem determina complet locația acestuia până când nu cunoaștem direcția în care se află. Astfel, locația unui obiect se caracterizează printr-o valoare numerică (distanța în kilometri) și o direcție. Grafic, vectorii sunt reprezentați ca segmente direcționate ale unei linii drepte de o anumită lungime, ca în Fig. 1. De exemplu, pentru a reprezenta grafic o forță de cinci kilograme, trebuie să desenați un segment de linie dreaptă lungă de cinci unități în direcția forței. Săgeata indică faptul că forța acționează de la A la B; dacă forța a acționat de la B la A, atunci am scrie sau Pentru comoditate, vectorii sunt de obicei notați cu aldine litere mari(A, B, C și așa mai departe); vectorii A și -A au valori numerice egale, dar de sens opus. Valoarea numerică a vectorului A se numește modul sau lungime și se notează cu A sau |A|. Această cantitate este, desigur, un scalar. Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește vector nul și se notează O.

Doi vectori sunt numiți egali (sau liberi) dacă modulele și direcțiile lor sunt aceleași. În mecanică și fizică, totuși, această definiție trebuie utilizată cu prudență, deoarece două forțe egale aplicate în puncte diferite ale corpului vor duce, în general, la rezultate diferite. În acest sens, vectorii sunt împărțiți în „legați” sau „alunecare”, după cum urmează: Vectorii legați au puncte fixe de aplicare. De exemplu, vectorul rază indică poziția unui punct în raport cu o origine fixă. Vectorii înrudiți sunt considerați egali dacă nu numai că au aceleași module și direcții, dar au și aceleași punct comun aplicatii. Vectorii de alunecare sunt vectori egali situati pe aceeasi linie dreapta.
Adăugarea vectorilor. Ideea adunării vectoriale vine din faptul că putem găsi un singur vector care are același efect ca alți doi vectori împreună. Dacă, pentru a ajunge la un punct, trebuie să mergem mai întâi A kilometri într-o direcție și apoi B kilometri în cealaltă direcție, atunci am putea ajunge la punctul nostru final mergând C kilometri într-o a treia direcție (Fig. 2). În acest sens, se poate spune că

A+B=C.
Vectorul C se numește „vector de rezultat” al lui A și B și este dat de construcția prezentată în figură; pe vectorii A și B se construiește un paralelogram ca pe laturi, iar C este o diagonală care leagă începutul lui A și sfârșitul lui B. Din fig. 2 se poate observa că adăugarea vectorilor este „comutativă”, adică. A + B = B + A. În mod similar, puteți adăuga mai mulți vectori conectându-i în serie într-un „lanț continuu”, așa cum se arată în fig. 3 pentru trei vectori D, E și F. Din fig. 3 mai arată că

(D + E) + F = D + (E + F), adică. adăugarea vectorilor este asociativă. Orice număr de vectori poate fi însumat, iar vectorii nu trebuie să se afle în același plan. Scăderea vectorilor este reprezentată ca adăugare la un vector negativ. De exemplu, A - B = A + (-B), unde, așa cum a fost definit anterior, -B este un vector egal cu B în valoare absolută, dar opusă în direcție. Această regulă de adunare poate fi acum folosită ca un criteriu real pentru a verifica dacă o cantitate este un vector sau nu. Mișcările sunt de obicei supuse termenilor acestei reguli; același lucru se poate spune despre viteze; forțele se adună în același mod cum se poate vedea din „triunghiul forțelor”. Cu toate acestea, unele cantități care au atât valori numerice, cât și direcții nu respectă această regulă și, prin urmare, nu pot fi considerate vectori. Un exemplu sunt rotațiile finite.
Înmulțirea unui vector cu un scalar. Produsul mA sau Am, unde m (m # 0) este un scalar și A este un vector diferit de zero, este definit ca un alt vector care este de m ori mai lung decât A și are aceeași direcție ca A dacă m este pozitiv și opusul dacă m negativ, așa cum se arată în fig. 4, unde m este 2 și, respectiv, -1/2. În plus, 1A = A, adică atunci când este înmulțit cu 1, vectorul nu se modifică. Valoarea -1A este un vector de lungime egală cu A, dar opusă ca direcție, scris de obicei ca -A. Dacă A este un vector zero și (sau) m = 0, atunci mA este un vector zero. Înmulțirea este distributivă, adică.

Putem adăuga orice număr de vectori, iar ordinea termenilor nu afectează rezultatul. Este adevărat și invers: orice vector este descompus în două sau mai multe „componente”, adică. în doi sau mai mulți vectori care, atunci când sunt adunați împreună, vor da ca rezultat vectorul original. De exemplu, în fig. 2, A și B sunt componente ale lui C. Multe operații matematice cu vectori sunt simplificate dacă vectorul este descompus în trei componente în trei direcții reciproc perpendiculare. Să alegem sistemul potrivit coordonate carteziene cu topoarele Ox, Oy și Oz așa cum se arată în fig. 5. Prin sistem de coordonate drept, înțelegem că axele x, y și z sunt poziționate așa cum degetul mare, arătător și, respectiv, mijlociu ale mâinii drepte pot fi poziționați. Dintr-un sistem de coordonate drept, este întotdeauna posibil să se obțină un alt sistem de coordonate drept printr-o rotație adecvată. Pe fig. 5 arată descompunerea vectorului A în trei componente și Ele se adună la vectorul A , deoarece

Prin urmare,

De asemenea, s-ar putea adăuga mai întâi și obține și apoi adăuga la. Proiecțiile vectorului A pe cele trei axe de coordonate, notate Ax, Ay și Az sunt numite „componentele scalare” ale vectorului A:

unde a, b și g sunt unghiurile dintre A și cele trei axe de coordonate. Acum introducem trei vectori de lungime unitară i, j și k (orți) având aceeași direcție cu axele x, y și z corespunzătoare. Atunci, dacă Ax este înmulțit cu i, atunci produsul rezultat este un vector egal cu și

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă componentele lor scalare corespunzătoare sunt egale. Astfel, A = B dacă și numai dacă Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Doi vectori pot fi adăugați prin adăugarea componentelor lor:

În plus, conform teoremei lui Pitagora:

Funcții liniare. Expresia aA + bB, unde a și b sunt scalari, se numește funcție liniară a vectorilor A și B. Acesta este un vector care se află în același plan cu A și B; dacă A și B nu sunt paralele, atunci când a și b se schimbă, vectorul aA + bB se va deplasa pe întregul plan (Fig. 6). Dacă A, B și C nu se află toate în același plan, atunci vectorul aA + bB + cC (a, b și c se schimbă) se mișcă în spațiu. Să presupunem că A, B și C sunt vectori unitari i, j și k. Vectorul ai se află pe axa x; vectorul ai + bj se poate deplasa de-a lungul întregului plan xy; vectorul ai + bj + ck se poate mișca în spațiu.

S-ar putea alege patru vectori reciproc perpendiculari i, j, k și l și s-ar putea defini un vector cu patru dimensiuni ca mărime A = Axi + Ayj + Azk + Awl
cu lungimea

Și se poate merge până la cinci, șase sau orice număr de dimensiuni. Deși este imposibil să se reprezinte vizual un astfel de vector, aici nu există dificultăți matematice. O astfel de notație este adesea utilă; de exemplu, starea unei particule în mișcare este descrisă de un vector cu șase dimensiuni P (x, y, z, px, py, pz), ale cărui componente sunt poziția sa în spațiu (x, y, z) și impulsul (px). , py, pz). Un astfel de spațiu se numește „spațiu de fază”; dacă luăm în considerare două particule, atunci spațiul fazelor este de 12 dimensiuni, dacă trei, atunci 18 și așa mai departe. Numărul de dimensiuni poate fi mărit la nesfârșit; totuși, cantitățile cu care ne vom ocupa se comportă aproape în același mod ca cele pe care le vom lua în considerare în restul acestui articol, și anume vectorii tridimensionali.
Înmulțirea a doi vectori. Regula de adunare vectorială a fost obținută prin studierea comportamentului cantităților reprezentate de vectori. Nu sunt motive vizibile, prin care doi vectori nu au putut fi înmulțiți în niciun fel, dar această înmulțire va avea sens doar dacă se poate demonstra că este consecventă din punct de vedere matematic; în plus, este de dorit ca produsul să aibă o anumită semnificație fizică. Există două moduri de a multiplica vectorii care îndeplinesc aceste condiții. Rezultatul unuia dintre ei este un scalar, un astfel de produs se numește „produs scalar” sau „produs interior” a doi vectori și se scrie ACHB sau (A, B). Rezultatul unei alte înmulțiri este un vector numit „produs încrucișat” sau „produs exterior” și se scrie A*B sau []. Produsele punctuale au semnificație fizică pentru una, două sau trei dimensiuni, în timp ce produsele vectoriale sunt definite doar pentru trei dimensiuni.
Produse scalare. Dacă sub acțiunea unei forțe F, punctul în care se aplică se deplasează pe o distanță r, atunci munca efectuată este egală cu produsul lui r și componenta F pe direcția r. Această componentă este egală cu F cos bF, rc, unde bF, rc este unghiul dintre F și r, adică. Lucrul efectuat = Fr cos bF, rc. Acesta este un exemplu de justificare fizică a produsului scalar definit pentru oricare doi vectori A, B prin intermediul formulei
A*B = AB cos bA, Bs.
Deoarece toate mărimile din partea dreaptă a ecuației sunt scalare, atunci A*B = B*A; prin urmare, înmulțirea scalară este comutativă. Înmulțirea scalară are și proprietatea distributivă: A*(B + C) = A*B + A*C. Dacă vectorii A și B sunt perpendiculari, atunci cos bA, Bc este egal cu zero și, prin urmare, A*B = 0, chiar dacă nici A și nici B nu sunt egali cu zero. De aceea nu putem împărți la un vector. Să presupunem că am împărțit ambele părți ale ecuației A*B = A*C la A. Acest lucru ar da B = C, iar dacă s-ar putea face împărțirea, atunci această egalitate ar fi singurul rezultat posibil. Totuși, dacă rescriem ecuația A*B = A*C ca A*(B - C) = 0 și ne amintim că (B - C) este un vector, atunci este clar că (B - C) nu este neapărat zero și, prin urmare, B nu trebuie să fie egal cu C. Aceste rezultate contradictorii arată că diviziunea vectorială este imposibilă. Produsul scalar oferă o altă modalitate de a scrie valoarea numerică (modulul) vectorului: A*A = AA*cos 0° = A2;
de aceea

Produsul scalar poate fi scris și în alt mod. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că: A = Ax i + Ayj + Azk. observa asta

Apoi,

Deoarece ultima ecuație conține x, y și z ca indice, ecuația ar părea să depindă de sistemul de coordonate ales. Totuși, nu este cazul, așa cum se vede din definiție, care nu depinde de axele de coordonate alese.
Opera de artă vectorială. Un vector sau produs extern al vectorilor este un vector al cărui modul este egal cu produsul dintre modulele lor și sinusul unghiului perpendicular pe vectorii inițiali și împreună cu ei formează triplul drept. Acest produs este cel mai ușor de introdus luând în considerare relația dintre viteză și viteza unghiulară. Primul este un vector; vom arăta acum că acesta din urmă poate fi interpretat și ca vector. Viteza unghiulară a unui corp în rotație se determină astfel: alegeți orice punct de pe corp și trageți o perpendiculară din acest punct pe axa de rotație. Atunci viteza unghiulară a corpului este numărul de radiani pe care această linie i-a rotit pe unitatea de timp. Dacă viteza unghiulară este un vector, aceasta trebuie să aibă o valoare numerică și o direcție. Valoarea numerică este exprimată în radiani pe secundă, direcția poate fi aleasă de-a lungul axei de rotație, poate fi determinată prin direcționarea vectorului în direcția în care s-ar mișca șurubul dreptaci la rotirea cu corpul. Luați în considerare rotația unui corp în jurul unei axe fixe. Dacă instalăm această axă în interiorul unui inel, care la rândul său este fixat pe o axă introdusă în interiorul altui inel, putem da rotație corpului din interiorul primului inel cu o viteză unghiulară w1 și apoi facem ca inelul interior (și corpul) să se rotească cu o viteză unghiulară w2. Figura 7 explică esența problemei; săgețile circulare arată direcția de rotație. Acest corp este o sferă solidă cu centrul O și raza r.

Orez. 7. O SFERĂ CU CENTRU O, se rotește cu o viteză unghiulară w1 în interiorul inelului BC, care, la rândul său, se rotește în interiorul inelului DE cu o viteză unghiulară w2. Sfera se rotește cu o viteză unghiulară egală cu suma vitezelor unghiulare și toate punctele de pe linia POP" sunt în stare de repaus instantaneu.

Să dăm acestui corp o mișcare care este suma a două viteze unghiulare diferite. Această mișcare este destul de dificil de vizualizat, dar este destul de evident că corpul nu se mai rotește în jurul unei axe fixe. Cu toate acestea, puteți spune în continuare că se rotește. Pentru a arăta acest lucru, alegem un punct P de pe suprafața corpului, care în momentul de timp pe care îl considerăm este situat pe un cerc mare care leagă punctele în care două axe intersectează suprafața sferei. Să lăsăm perpendicularele de la P la axă. Aceste perpendiculare devin razele PJ și PK ale cercurilor PQRS și, respectiv, PTUW. Să desenăm o linie POPў care trece prin centrul sferei. Acum punctul P, în momentul de timp considerat, se mișcă simultan de-a lungul cercurilor care se ating de punctul P. Pentru un interval de timp mic Dt, P se deplasează la o distanță

Această distanță este zero dacă

În acest caz, punctul P se află într-o stare de repaus instantaneu și, la fel, toate punctele de pe linia POP.axa de rotație a sferei, la fel cum o roată care rulează pe un drum în fiecare moment de timp se rotește în jurul celui mai jos. punct Care este viteza unghiulară a sferei? , se mișcă în timp Dt la o distanță

Pe un cerc cu raza r sin w1. Prin definiție, viteza unghiulară

Din această formulă și relație (1) obținem

Cu alte cuvinte, dacă notați o valoare numerică și alegeți direcția vitezei unghiulare așa cum este descris mai sus, atunci aceste cantități se adună ca vectori și pot fi considerate ca atare. Acum poți intra produs vectorial; considerăm un corp care se rotește cu o viteză unghiulară w. Alegem orice punct P de pe corp și orice origine O, care se află pe axa de rotație. Fie r un vector îndreptat de la O la P. Punctul P se deplasează de-a lungul unui cerc cu viteza V = w r sin (w, r). Vectorul viteză V este tangent la cerc și indică în direcția prezentată în fig. 8.

Această ecuație dă dependența vitezei V a unui punct de combinația a doi vectori w și r. Folosim această relație pentru a defini un nou tip de produs și scriem: V = w * r. Deoarece rezultatul unei astfel de înmulțiri este un vector, acest produs se numește produs vectorial. Pentru oricare doi vectori A și B, dacă A * B = C, atunci C = AB sin bA, Bc și direcția vectorului C este astfel încât este perpendicular pe planul care trece prin A și B și punctează în același direcție ca direcție de mișcare a șurubului dextrogiro dacă este paralel cu C și se rotește de la A la B. Cu alte cuvinte, putem spune că A, B și C, în această ordine, formează setul potrivit de axe de coordonate. Produsul vectorial este anticomutativ; vectorul B * A are același modul ca A * B, dar este direcționat către partea opusă: A * B = -B * A. Acest produs este distributiv dar nu asociativ; se poate dovedi că

Să vedem cum este scris produsul vectorial în termeni de componente și vectori unitari. În primul rând, pentru orice vector A, A * A = AA sin 0 = 0.
Prin urmare, în cazul vectorilor unitari, i * i = j * j = k * k = 0 și i * j = k, j * k = i, k * i = j. Apoi,

Această egalitate poate fi scrisă și ca determinant:

Dacă A * B = 0, atunci fie A sau B este 0, fie A și B sunt coliniari. Astfel, ca și în cazul produsului scalar, împărțirea cu un vector nu este posibilă. Valoarea lui A * B este egală cu aria unui paralelogram cu laturile A și B. Acest lucru este ușor de văzut, deoarece B sin bA, Bc este înălțimea sa și A este baza sa. Există multe altele mărimi fizice, care sunt produse vectoriale. Unul dintre cele mai importante produse vectoriale apare în teoria electromagnetismului și se numește vectorul Poynting P. Acest vector este dat astfel: P = E * H, unde E și H sunt vectorii câmpului electric și respectiv magnetic. Vectorul P poate fi considerat ca un flux de energie dat în wați pe metru pătrat în orice punct. Iată încă câteva exemple: momentul forței F (cuplul) relativ la origine, care acționează asupra unui punct al cărui vector rază este r, este definit ca r * F; o particulă situată în punctul r, cu masa m și viteza V, are un moment unghiular mr * V față de origine; forța care acționează asupra unei particule care poartă o sarcină electrică q printr-un câmp magnetic B cu o viteză V este qV * B.
Lucrări triple. Din trei vectori, putem forma următoarele produse triple: vector (A*B) * C; vector(A*B)*C; scalar (A * B)*C. Primul tip este produsul dintre un vector C și un scalar A*B; despre astfel de lucrări am vorbit deja. Al doilea tip se numește produs dublu încrucișat; vectorul A * B este perpendicular pe planul în care se află A și B și, prin urmare, (A * B) * C este un vector situat în planul A și B și perpendicular pe C. Prin urmare, în general, (A * B) * C nu este egal cu A * (B * C). Scriind A, B și C în funcție de coordonatele lor x, y și z (componentele) și înmulțind, putem arăta că A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* B). Al treilea tip de produs care apare în calculele rețelei din fizică corp solid, este numeric egal cu volumul paralelipipedului cu muchiile A, B, C. Deoarece (A * B) * C = A * (B * C), semnele înmulțirilor scalare și vectoriale pot fi interschimbate, iar produsul este scris adesea ca (ABC). Acest produs este egal cu determinantul

Rețineți că (A B C) = 0 dacă toți cei trei vectori se află în același plan sau dacă A = 0 sau (și) B = 0 sau (și) C = 0.
DIFERENȚARE VECTORALĂ
Să presupunem că vectorul U este o funcție a unei variabile scalare t. De exemplu, U ar putea fi vectorul rază desenat de la origine până la punctul de mișcare, iar t ar putea fi timpul. Fie că t se schimbă cu o cantitate mică Dt, care va schimba U cu DU. Acest lucru este prezentat în fig. 9. Raportul DU/Dt este un vector îndreptat în aceeași direcție cu DU. Putem defini derivata lui U în raport cu t as

cu condiția să existe o astfel de limită. Pe de altă parte, se poate reprezenta U ca sumă a componentelor de-a lungul celor trei axe și se poate scrie

Dacă U este vectorul rază r, atunci dr/dt este viteza punctului, exprimată în funcție de timp. Diferențiând din nou în funcție de timp, obținem accelerația. Să presupunem că punctul se mișcă de-a lungul curbei prezentate în fig. 10. Fie s distanța parcursă de punctul de-a lungul curbei. Pe parcursul unui interval de timp mic Dt, punctul va trece de distanța Ds de-a lungul curbei; poziția vectorului rază se va schimba în Dr. Prin urmare, Dr/Ds este un vector direcționat ca Dr. Mai departe

Dr vector - schimbare rază-vector.

este un vector unitar tangent la curbă. Acest lucru poate fi văzut din faptul că, pe măsură ce punctul Q se apropie de punctul P, PQ se apropie de tangentă și Dr se apropie de Ds. Formulele de diferențiere a unui produs sunt similare cu formulele de diferențiere a unui produs de funcții scalare; totuși, deoarece produsul încrucișat este anticomutativ, ordinea înmulțirii trebuie păstrată. De aceea,

Astfel, vedem că dacă vectorul este o funcție a unei variabile scalare, atunci putem reprezenta derivata în același mod ca și în cazul unei funcții scalare.
Câmpuri vectoriale și scalare. Gradient.În fizică, de multe ori trebuie să se ocupe de mărimi vectoriale sau scalare care se modifică de la un punct la altul într-o zonă dată. Astfel de zone sunt numite „câmpuri”. De exemplu, un scalar poate fi temperatura sau presiunea; vectorul poate fi viteza unui fluid în mișcare sau câmpul electrostatic al unui sistem de sarcini. Dacă am ales un sistem de coordonate, atunci orice punct P (x, y, z) din zona dată corespunde unui vector cu rază r (= xi + yj + zk) și, de asemenea, valorii mărimii vectoriale U (r) sau scalarul f (r) asociat acestuia. Să presupunem că U și f sunt definite în mod unic în domeniu; acestea. fiecărui punct îi corespunde una și o singură valoare U sau f, deși puncte diferite pot avea, desigur, valori diferite. Să presupunem că vrem să descriem viteza cu care U și f se schimbă pe măsură ce ne deplasăm prin această zonă. Derivatele parțiale simple, cum ar fi dU / dx și df / dy, nu ne potrivesc, deoarece depind de axele de coordonate alese în mod specific. Cu toate acestea, este posibil să se introducă un operator diferenţial vectorial independent de alegerea axelor de coordonate; acest operator se numește „gradient”. Să ne ocupăm de un câmp scalar f. În primul rând, ca exemplu, luați în considerare hartă de contur regiuni ale tarii. În acest caz, f este înălțimea deasupra nivelului mării; liniile de contur conectează puncte cu aceeași valoare f. Când se deplasează pe oricare dintre aceste linii, f nu se schimbă; dacă ne deplasăm perpendicular pe aceste drepte, atunci viteza de modificare a lui f va fi maximă. Putem asocia fiecare punct cu un vector care indică mărimea și direcția variației maxime a vitezei f; o astfel de hartă și unii dintre acești vectori sunt prezentate în Fig. 11. Dacă facem acest lucru pentru fiecare punct al câmpului, obținem un câmp vectorial asociat câmpului scalar f. Acesta este câmpul unui vector numit „gradient” f, care este scris ca grad f sau Cf (simbolul C se mai numește și „nabla”).

În cazul celor trei dimensiuni, liniile de contur devin suprafețe. O mică schimbare Dr (= iDx + jDy + kDz) duce la o schimbare în f, care se scrie ca

unde punctele denotă termeni de ordin superior. Această expresie poate fi scrisă ca un produs punctual

Împărțiți părțile din dreapta și din stânga acestei egalități cu Ds și lăsați Ds să tindă spre zero; apoi

unde dr/ds este vectorul unitar în direcția aleasă. Expresia din paranteze este un vector în funcție de punctul selectat. Deci df/ds are valoare maximă când dr/ds indică în aceeași direcție, expresia între paranteze este gradientul. În acest fel,

- un vector egal ca mărime și care coincide în direcție cu viteza maximă de modificare a lui f în raport cu coordonatele. Gradientul f este adesea scris ca

Aceasta înseamnă că operatorul C există de la sine. În multe cazuri se comportă ca un vector și este de fapt un „operator diferențial vectorial” – unul dintre cei mai importanți operatori diferențiali din fizică. În ciuda faptului că C conține vectori unitari i, j și k, semnificația sa fizică nu depinde de sistemul de coordonate ales. Care este relația dintre Cf și f? În primul rând, să presupunem că f definește potențialul în orice punct. Pentru orice deplasare mică Dr, valoarea lui f se va schimba cu

Dacă q este o mărime (de exemplu, masă, sarcină) mutată de Dr, atunci munca efectuată atunci când se deplasează q de către Dr este egală cu

Deoarece Dr este deplasarea, qСf este forța; -Cf este tensiunea (forța pe unitate de cantitate) asociată cu f. De exemplu, fie U potențialul electrostatic; atunci E este intensitatea câmpului electric, dată de formula E = -СU. Să presupunem că U este creat prin punct incarcare electricaîn q coulombi plasați la origine. Valoarea lui U în punctul P (x, y, z) cu vectorul rază r este dată de formula

Unde e0 este constanta dielectrică a spațiului liber. De aceea

de unde rezultă că E acţionează în direcţia r şi mărimea lui este egală cu q/(4pe0r3). Cunoscând un câmp scalar, se poate determina câmpul vectorial asociat. Este posibil și opusul. Din punctul de vedere al prelucrării matematice, câmpurile scalare sunt mai ușor de operat decât câmpurile vectoriale, deoarece sunt date de o funcție de coordonate, în timp ce un câmp vectorial necesită trei funcții corespunzătoare componentelor vectoriale în trei direcții. Astfel, se pune întrebarea: având în vedere un câmp vectorial, putem scrie câmpul scalar asociat cu acesta?
Divergenta si rotorul. Am văzut rezultatul lui C care acționează asupra unei funcții scalare. Ce se întâmplă dacă C este aplicat unui vector? Există două posibilități: fie U (x, y, z) un vector; apoi putem forma un produs încrucișat și punctual după cum urmează:

Prima dintre aceste expresii este un scalar numit divergența lui U (notat divU); al doilea este un vector numit rotorul U (notat rotU). Aceste funcții diferențiale, divergența și curl, sunt utilizate pe scară largă în fizica matematică. Imaginați-vă că U este un vector și că acesta și primele sale derivate sunt continue într-un anumit domeniu. Fie P un punct din această regiune înconjurat de o mică suprafață închisă S care mărginește volumul DV. Fie n un vector unitar perpendicular pe această suprafață în fiecare punct (n își schimbă direcția pe măsură ce se mișcă în jurul suprafeței, dar are întotdeauna lungimea unitară); lasă n arăta spre exterior. Să arătăm asta

Aici S indică faptul că aceste integrale sunt preluate pe întreaga suprafață, da este un element al suprafeței lui S. Pentru simplitate, vom alege forma convenabilă a lui S sub forma unui mic paralelipiped (așa cum se arată în Fig. 12) cu laturile Dx, Dy si Dz; punctul P este centrul paralelipipedului. Calculăm integrala din ecuația (4) mai întâi pe o față a paralelipipedului. Pentru fața frontală n = i (vectorul unitar este paralel cu axa x); Da = DyDz. Contribuția la integrală din fața frontală este egală cu

Pe fata opusă n = -i; această faţă contribuie la integrală

Folosind teorema Taylor, obținem contribuția totală a celor două fețe

Rețineți că DxDyDz = DV. În mod similar, contribuția celorlalte două perechi de fețe poate fi calculată. Integrala completă este egală cu

iar dacă setăm DV (r) 0, atunci termenii de ordin superior dispar. Conform formulei (2), expresia dintre paranteze este divU, ceea ce demonstrează egalitatea (4). Egalitatea (5) poate fi demonstrată în același mod. Să folosim Fig. 12; atunci contribuţia de la faţa frontală la integrală va fi egală cu

Și, folosind teorema Taylor, obținem că contribuția totală la integrală de la două fețe are forma

acestea. aceștia sunt doi termeni din expresia pentru rotU din ecuația (3). Ceilalți patru termeni se vor obține după luarea în considerare a contribuțiilor celorlalte patru fețe. Ce înseamnă de fapt aceste rapoarte? Luați în considerare egalitatea (4). Să presupunem că U este viteza (a unui lichid, de exemplu). Atunci nЧU da = Un da, unde Un este componenta normală a vectorului U la suprafață. Prin urmare, Un da ​​este volumul de fluid care curge prin da pe unitatea de timp și este volumul de fluid care curge prin S pe unitatea de timp. Prin urmare,

Viteza de expansiune a unei unități de volum în jurul punctului P. De aici își trage numele divergența; arată viteza cu care fluidul se extinde din (adică diverge de la) P. Pentru a explica semnificația fizică a rotorului U, luăm în considerare o altă integrală de suprafață pe un volum cilindric mic de înălțime h care înconjoară P; suprafețele plan-paralele pot fi orientate în orice direcție pe care o alegem. Fie k vectorul unitar perpendicular pe fiecare suprafață și fie aria fiecărei suprafețe DA; apoi volumul total DV = hDA (Fig. 13). Luați în considerare acum integrala

Un astfel de concept ca vector este considerat în aproape toate științele naturale și poate avea un complet sens diferit, deci este imposibil să se ofere o definiție unică a vectorului pentru toate zonele. Dar să încercăm să ne dăm seama. Deci, vector - ce este?

Conceptul de vector în geometria clasică

Un vector în geometrie este un segment pentru care se indică care dintre punctele sale este începutul și care este sfârșitul. Adică, pentru a spune simplu, un segment direcționat se numește vector.

În consecință, este indicat un vector (ce este - discutat mai sus), precum și un segment, adică două majuscule ale alfabetului latin cu adăugarea unei linii sau a unei săgeți îndreptate spre dreapta sus. De asemenea, poate fi semnat cu o literă mică (mică) din alfabetul latin cu o liniuță sau o săgeată. Săgeata indică întotdeauna spre dreapta și nu se modifică în funcție de poziția vectorului.

Deci un vector are o direcție și o lungime.

Desemnarea unui vector conține și direcția acestuia. Aceasta este exprimată așa cum se arată în figura de mai jos.

Schimbarea direcției inversează valoarea vectorului.

Lungimea unui vector este lungimea segmentului din care este format. Este desemnat ca un modul dintr-un vector. Acest lucru este prezentat în figura de mai jos.

În consecință, zero este un vector a cărui lungime este egală cu zero. De aici rezultă că vectorul zero este un punct, în plus, punctele de început și de sfârșit coincid în el.

Lungimea unui vector este întotdeauna o valoare nenegativă. Cu alte cuvinte, dacă există un segment, atunci acesta are în mod necesar o anumită lungime sau este un punct, atunci lungimea lui este zero.

Însuși conceptul de punct este de bază și nu are definiție.

Adăugarea vectorului

Există formule și reguli speciale pentru vectori care pot fi utilizate pentru a efectua adunări.

Regula triunghiului. Pentru a adăuga vectori conform acestei reguli, este suficient să combinați sfârșitul primului vector și începutul celui de-al doilea, folosind translația paralelă, și să le conectați. Al treilea vector rezultat va fi egal cu adăugarea celorlalți doi.

regula paralelogramului. Pentru a adăuga conform acestei reguli, trebuie să desenați ambii vectori dintr-un punct și apoi să desenați un alt vector de la sfârșitul fiecăruia dintre ei. Adică al doilea va fi extras din primul, iar primul din al doilea. Rezultatul va fi punct nou se intersectează și formează un paralelogram. Dacă combinăm punctul de intersecție al începuturilor și sfârșitului vectorilor, atunci vectorul rezultat va fi rezultatul adunării.

În mod similar, este posibil să se efectueze scăderea.

Diferența de vector

Similar cu adăugarea vectorilor, este posibil să se efectueze scăderea acestora. Se bazează pe principiul prezentat în figura de mai jos.

Adică este suficient să reprezinte vectorul care trebuie scăzut ca un vector opus acestuia și să se calculeze după principiile adunării.

De asemenea, absolut orice vector diferit de zero poate fi înmulțit cu orice număr k, acest lucru își va schimba lungimea de k ori.

Pe lângă acestea, există și alte formule vectoriale (de exemplu, pentru a exprima lungimea unui vector în funcție de coordonatele acestuia).

Localizarea vectorilor

Cu siguranță mulți au dat peste un astfel de concept ca un vector coliniar. Ce este coliniaritatea?

Coliniaritatea vectorilor este echivalentul paralelismului dreptelor. Dacă doi vectori se află pe drepte paralele între ele sau pe aceeași linie, atunci astfel de vectori se numesc coliniari.

Direcţie. Relativ unul față de celălalt, vectorii coliniari pot fi co-direcționați sau direcționați opus, acest lucru este determinat de direcția vectorilor. În consecință, dacă un vector este co-direcționat cu altul, atunci vectorul opus acestuia este direcționat opus.

Prima figură prezintă doi vectori direcționați opus și un al treilea care nu este coliniar cu ei.

După introducerea proprietăților de mai sus, este posibil să se definească și vectori egali - aceștia sunt vectori care sunt direcționați în aceeași direcție și au aceeași lungime a segmentelor din care sunt formați.

În multe științe, este folosit și conceptul de vector cu rază. Un astfel de vector descrie poziția unui punct al planului față de un alt punct fix (de multe ori aceasta este originea).

Vectori în fizică

Să presupunem că la rezolvarea problemei a apărut o condiție: corpul se mișcă cu o viteză de 3 m/s. Aceasta înseamnă că corpul se mișcă într-o direcție specifică într-o linie dreaptă, deci această variabilă va fi o mărime vectorială. Pentru a o rezolva, este important să se cunoască atât valoarea, cât și direcția, deoarece în funcție de considerent, viteza poate fi fie de 3 m/s, fie de -3 m/s.

În general, vectorul în fizică este folosit pentru a indica direcția forței care acționează asupra corpului și pentru a determina rezultanta.

Când aceste forțe sunt indicate în figură, ele sunt indicate prin săgeți cu o etichetă vectorială deasupra acesteia. În mod clasic, lungimea săgeții este la fel de importantă, cu ajutorul acesteia indică ce forță este mai puternică, dar această proprietate este secundară, nu ar trebui să te bazezi pe ea.

Vector în algebră liniară și calcul

Elementele spațiilor liniare sunt numite și vectori, dar în acest caz sunt un sistem ordonat de numere care descriu unele dintre elemente. Prin urmare, direcția în acest caz nu mai este importantă. Definiția unui vector în geometria clasică și în analiza matematică sunt foarte diferite.

Proiecție vectorială

Vector proiectat - ce este?

Destul de des, pentru un calcul corect și convenabil, este necesară descompunerea unui vector situat în spațiu bidimensional sau tridimensional de-a lungul axelor de coordonate. Această operație este necesară, de exemplu, în mecanică la calcularea forțelor care acționează asupra corpului. Vectorul în fizică este folosit destul de des.

Pentru a efectua proiecția este suficient să coborâți perpendicularele de la începutul și sfârșitul vectorului la fiecare dintre axele de coordonate, segmentele obținute pe acestea se vor numi proiecția vectorului pe axă.

Pentru a calcula lungimea proiecției, este suficient să-i înmulțiți lungimea inițială cu un anumit functie trigonometrica, care se obține prin rezolvarea mini-problemei. De fapt, există un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este vectorul original, unul dintre catete este proiecția, iar celălalt catete este perpendiculara căzută.

DEFINIȚIE

Vector(din lat. " vector"-" rulment") - un segment direcționat al unei linii drepte în spațiu sau pe un plan.

Grafic, un vector este reprezentat ca un segment de linie dreaptă direcționată de o anumită lungime. Vectorul al cărui început este în punct și sfârșit în punct este notat ca (Fig. 1). De asemenea, un vector poate fi notat cu o singură literă mică, de exemplu, .

Dacă un sistem de coordonate este dat în spațiu, atunci vectorul poate fi specificat în mod unic printr-un set de coordonate ale acestuia. Adică, un vector este înțeles ca un obiect care are o valoare (lungime), direcție și punct de aplicare (începutul vectorului).

Începuturile calculului vectorial au apărut în lucrările din 1831 în lucrările matematicianului, mecanicului, fizicianului, astronomului și topografului german Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Lucrări despre operații cu vectori au fost publicate de matematicianul, mecanicul și fizicianul teoretician irlandez, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ca parte a calculului său cuaternion. Omul de știință a propus termenul de „vector” și a descris câteva operații pe vectori. Calculul vectorial a fost dezvoltat în continuare datorită lucrării asupra electromagnetismului a fizicianului, matematicianului și mecanicului britanic James Clerk Maxwell (1831-1879). În anii 1880 a fost publicată cartea „Elementele de analiză vectorială” a fizicianului, fizicochimistului, matematicianului și mecanicului american Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Analiza vectorială modernă a fost descrisă în 1903 de omul de știință, inginer, matematician și fizician englez autodidact Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINIȚIE

Lungime sau modul vectorial este lungimea segmentului direcționat care definește vectorul. Desemnat ca .

Tipuri de bază de vectori

Vector zero se numeşte vector al cărui punct de plecare şi punctul final Meci. Lungimea vectorului nul este zero.

Se numesc vectori care sunt paraleli cu aceeași linie sau care se află pe aceeași linie coliniare(Fig. 2).

co-directional dacă direcţiile lor sunt aceleaşi.

În figura 2, aceștia sunt vectorii și . Co-direcția vectorilor se notează astfel: .

Se numesc doi vectori coliniari directii opuse dacă direcţiile lor sunt opuse.

În figura 3, aceștia sunt vectorii și . Denumire: .