Teorema lui Pitagora directă și inversă cu demonstrație. Lecția „teorema, reversul teoremei lui Pitagora”. Rezolvarea problemelor practice folosind teorema lui Pitagora
teorema lui Pitagora- una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relaţia
între laturile unui triunghi dreptunghic.
Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care poartă numele.
Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.
Teorema a fost formulată inițial după cum urmează:
Într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,
construit pe catetere.
Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Adică indicând lungimea ipotenuzei triunghiului prin c, iar lungimile picioarelor prin AȘi b:
Ambele formulări teoremele lui pitagora sunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu
necesită conceptul de zonă. Adică a doua afirmație poate fi verificată fără să știe nimic despre zonă și
măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.
Teorema inversă a lui Pitagora.
Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci
triunghiul este dreptunghiular.
Sau, cu alte cuvinte:
Pentru orice triplu de numere pozitive A, bȘi c, astfel încât
există triunghi dreptunghic cu picioare AȘi b si ipotenuza c.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.
Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.
Demonstrații ale teoremei lui Pitagora.
Pe acest moment 367 de dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema
Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O asemenea diversitate
poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.
Desigur, din punct de vedere conceptual, toate pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele:
dovezi metoda zonei, axiomaticȘi dovezi exotice(de exemplu,
prin intermediul ecuatii diferentiale).
1. Demonstrarea teoremei lui Pitagora în termeni de triunghiuri similare.
Următoarea demonstrație a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite
direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.
Lasa ABC există un triunghi dreptunghic C. Să desenăm o înălțime de la C si denota
întemeierea ei prin H.
Triunghi ACH asemănător unui triunghi AB C pe două colțuri. La fel, triunghiul CBH asemănătoare ABC.
Prin introducerea notației:
primim:
,
care se potrivește -
Fiind pliat A 2 și b 2, obținem:
sau , ceea ce urma să fie dovedit.
2. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda ariei.
Următoarele dovezi, în ciuda aparentei lor simplități, nu sunt deloc atât de simple. Toti
folosiți proprietățile zonei, a cărei demonstrație este mai complicată decât demonstrarea teoremei lui Pitagora în sine.
- Dovada prin echicomplementare.
Aranjați patru dreptunghiulare egale
triunghi așa cum se arată în imagine
pe dreapta.
Cadrilater cu laturi c- pătrat,
deoarece suma a două unghiuri ascuțite este de 90° și
unghiul dezvoltat este de 180°.
Zona întregii figuri este, pe de o parte,
aria unui pătrat cu latura ( a+b), iar pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și
Q.E.D.
3. Demonstrarea teoremei lui Pitagora prin metoda infinitezimală.
Având în vedere desenul prezentat în figură, și
privind schimbarea lateralăA, Putem
scrie următoarea relație pentru infinit
mic incremente lateraledinȘi A(folosind asemănarea
triunghiuri):
Folosind metoda separării variabilelor, găsim:
O expresie mai generală pentru schimbarea ipotenuzei în cazul creșterilor ambelor catete:
Integrând această ecuație și utilizând condițiile inițiale, obținem:
Astfel, ajungem la răspunsul dorit:
După cum este ușor de observat, dependența pătratică în formula finală apare datorită liniarului
proporționalitatea dintre laturile triunghiului și incrementele, în timp ce suma este raportată la independent
contribuții din creșterea diferitelor picioare.
O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că unul dintre picioare nu experimentează o creștere
(în acest caz, piciorul b). Atunci pentru constanta de integrare obținem:
Luarea în considerare a subiectelor curiculumul scolar cu ajutorul lecțiilor video este o modalitate convenabilă de a studia și asimila materialul. Videoclipul ajută la concentrarea atenției elevilor asupra principalelor puncte teoretice și să nu rateze detalii importante. Dacă este necesar, elevii pot oricând să asculte din nou lecția video sau să revină la câteva subiecte.
Această lecție video de clasa a VIII-a îi va ajuta pe elevi să învețe subiect nou prin geometrie.
În subiectul anterior, am studiat teorema lui Pitagora și am analizat demonstrația acesteia.
Există, de asemenea, o teoremă care este cunoscută sub numele de teorema lui Pitagora inversă. Să o luăm în considerare mai detaliat.
Teorema. Un triunghi este dreptunghic dacă satisface egalitatea: valoarea unei laturi a triunghiului la pătrat este aceeași cu suma celorlalte două laturi la pătrat.
Dovada. Să presupunem că ni se dă triunghiul ABC, în care egalitatea AB 2 = CA 2 + CB 2 este îndeplinită. Trebuie să demonstrăm că unghiul C este de 90 de grade. Considerăm un triunghi A 1 B 1 C 1 în care unghiul C 1 este de 90 de grade, latura C 1 A 1 este egală cu CA și latura B 1 C 1 este egală cu BC.
Aplicând teorema lui Pitagora, scriem raportul laturilor din triunghiul A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Prin înlocuirea expresiei cu laturile egale, obținem A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Din condițiile teoremei știm că AB 2 = CA 2 + CB 2 . Atunci putem scrie A 1 B 1 2 = AB 2 , ceea ce implică faptul că A 1 B 1 = AB.
Am constatat că în triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 trei laturi sunt egale: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Deci aceste triunghiuri sunt congruente. Din egalitatea triunghiurilor rezultă că unghiul C este egal cu unghiul C 1 și, în consecință, este egal cu 90 de grade. Am stabilit că triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic și unghiul său C este de 90 de grade. Am demonstrat această teoremă.
Autorul dă apoi un exemplu. Să presupunem că ni se dă un triunghi arbitrar. Dimensiunile laturilor sale sunt cunoscute: 5, 4 și 3 unități. Să verificăm afirmația din teorema inversă la teorema lui Pitagora: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Dacă afirmația este corectă, atunci triunghiul dat este un triunghi dreptunghic.
În următoarele exemple, triunghiurile vor fi, de asemenea, dreptunghiulare dacă laturile lor sunt egale:
5, 12, 13 unități; egalitatea 13 2 = 5 2 + 12 2 este adevărată;
8, 15, 17 unități; ecuația 17 2 = 8 2 + 15 2 este adevărată;
7, 24, 25 unități; ecuația 25 2 = 7 2 + 24 2 este adevărată.
Conceptul de triunghi pitagoreic este cunoscut. Este un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt numere întregi. Dacă catetele triunghiului lui Pitagora sunt notate cu a și c și ipotenuza b, atunci valorile laturilor acestui triunghi pot fi scrise folosind următoarele formule:
b \u003d k x (m 2 - n 2)
c \u003d k x (m 2 + n 2)
unde m, n, k sunt numere naturale, iar valoarea lui m este mai mare decât valoarea lui n.
Un fapt interesant: un triunghi cu laturile 5, 4 și 3 se mai numește și triunghi egiptean, un astfel de triunghi era cunoscut în Egiptul antic.
În acest tutorial video, ne-am familiarizat cu teorema, inversul teoremei lui Pitagora. Luați în considerare dovada în detaliu. Elevii au învățat și care triunghiuri se numesc triunghiuri pitagoreice.
Elevii se pot familiariza cu subiectul „Teorema, inversul teoremei lui Pitagora” singuri cu ajutorul acestei lecții video.
Este remarcabil faptul că proprietatea indicată în teorema lui Pitagora este o proprietate caracteristică unui triunghi dreptunghic. Aceasta rezultă dintr-o teoremă inversă la teorema lui Pitagora.
Teoremă: Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este un triunghi dreptunghic.
Formula lui Heron
Obținem o formulă care exprimă planul unui triunghi în funcție de lungimile laturilor sale. Această formulă este asociată cu numele de Heron din Alexandria, un matematician și mecanic grec antic care a trăit probabil în secolul I d.Hr. Heron a acordat multă atenție aplicațiilor practice ale geometriei.
Teorema. Aria S a unui triunghi ale cărui laturi sunt a, b, c se calculează prin formula S=, unde p este semiperimetrul triunghiului.
Dovada.
Dat: ?ABC, AB=c, BC=a, AC=b. Unghiurile A si B sunt acute. CH - înălțime.
Dovedi:
Dovada:
Să considerăm un triunghi ABC în care AB=c , BC=a, AC=b. Fiecare triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite. Fie A și B colțuri ascuțite triunghiul ABC. Atunci baza H a înălțimii CH a triunghiului se află pe latura AB. Să introducem notația: CH = h, AH=y, HB=x. conform teoremei lui Pitagora a 2 - x 2 \u003d h 2 \u003d b 2 -y 2, de unde
Y 2 - x 2 \u003d b 2 - a 2, sau (y - x) (y + x) \u003d b 2 - a 2, și deoarece y + x \u003d c, atunci y- x \u003d (b2 - a2).
Adunând ultimele două egalități, obținem:
2y = +c, de unde
y \u003d și, prin urmare, h 2 \u003d b 2 -y 2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d
Prin urmare, h = .
Potrivit lui van der Waerden, este foarte probabil ca raportul în formă generală să fi fost deja cunoscut în Babilon în jurul secolului al XVIII-lea î.Hr. e.
Aproximativ 400 î.Hr. e., conform lui Proclu, Platon a dat o metodă de găsire a triplelor pitagoreice, combinând algebra și geometria. În jurul anului 300 î.Hr. e. în „Elementele” lui Euclid a apărut cea mai veche demonstrație axiomatică a teoremei lui Pitagora.
Cuvântare
Formularea principală conține operații algebrice - într-un triunghi dreptunghic, ale căror lungimi ale catetelor sunt egale a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b), iar lungimea ipotenuzei este c (\displaystyle c), relația este îndeplinită:
.Este posibilă și o formulare geometrică echivalentă, recurgând la conceptul de zonă figura: într-un triunghi dreptunghic, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete. În această formă, teorema este formulată în Principia lui Euclid.
Teorema inversă a lui Pitagora- afirmația despre dreptunghiularea oricărui triunghi, ale cărui lungimi ale laturilor sunt legate prin relație a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). În consecință, pentru orice triplu de numere pozitive a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c), astfel încât a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), există un triunghi dreptunghic cu catete a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c).
Dovezi
În literatura științifică au fost înregistrate cel puțin 400 de dovezi ale teoremei lui Pitagora, ceea ce se explică atât prin valoarea fundamentală pentru geometrie, cât și prin elementaritatea rezultatului. Principalele direcții ale demonstrațiilor sunt: utilizarea algebrică a rapoartelor elementelor triunghi (cum ar fi, de exemplu, metoda similară populară), metoda zonei, există și diverse dovezi exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).
Prin triunghiuri asemănătoare
Demonstrația clasică a lui Euclid urmărește să stabilească egalitatea ariilor dintre dreptunghiuri formate prin disecția unui pătrat peste o ipotenuză cu o înălțime de unghi drept cu pătrate peste picioare.
Construcția folosită pentru demonstrație este următoarea: pentru un triunghi dreptunghic cu unghi drept C (\displaystyle C), pătrate peste catete și și pătrate peste ipotenuză A B I K (\displaystyle ABIK) se construiește înălțimea CH H (\displaystyle CH)şi fasciculul care o continuă s (\displaystyle s), împărțind pătratul de deasupra ipotenuzei în două dreptunghiuri și . Dovada are ca scop stabilirea egalității ariilor dreptunghiului A H J K (\displaystyle AHJK) cu un pătrat peste picior A C (\displaystyle AC); egalitatea ariilor celui de-al doilea dreptunghi, care este un patrat deasupra ipotenuzei, si dreptunghiul de deasupra celuilalt catet se stabileste in mod similar.
Egalitatea ariilor unui dreptunghi A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED) stabilit prin congruenţa triunghiurilor △ A C K (\displaystyle \triangle ACK)Și △ A B D (\displaystyle \triunghi ABD), a căror suprafață este egală cu jumătate din suprafața pătratelor A H J K (\displaystyle AHJK)Și A C E D (\displaystyle ACED) respectiv, în legătură cu următoarea proprietate: aria unui triunghi este egală cu jumătate din aria unui dreptunghi dacă figurile au o latură comună, iar înălțimea triunghiului față de latura comună este cealaltă latură a dreptunghiul. Congruența triunghiurilor rezultă din egalitatea a două laturi (laturile pătratelor) și unghiul dintre ele (compus dintr-un unghi drept și un unghi la A (\displaystyle A).
Astfel, demonstrația stabilește că aria pătratului de deasupra ipotenuzei, compusă din dreptunghiuri A H J K (\displaystyle AHJK)Și B H J I (\displaystyle BHJI), este egal cu suma ariilor pătratelor de deasupra catetelor.
Dovada lui Leonardo da Vinci
Metoda zonei include și dovada găsită de Leonardo da Vinci. Să fie un triunghi dreptunghic △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC) unghi drept C (\displaystyle C)și pătrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Și A B H J (\displaystyle ABHJ)(Vezi poza). În această dovadă în lateral H J (\displaystyle HJ) acesta din urmă, se construiește un triunghi spre exterior, congruent △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)în plus, reflectată atât în raport cu ipotenuză, cât și în raport cu înălțimea acesteia (adică J I = B C (\displaystyle JI=BC)Și H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Drept C I (\displaystyle CI)împarte pătratul construit pe ipotenuză în două părți egale, deoarece triunghiuri △ A B C (\displaystyle \triunghi ABC)Și △ J H I (\displaystyle \triunghi JHI) sunt egale în construcție. Demonstrarea stabilește congruența patrulaterelor C A J I (\displaystyle CAJI)Și D A B G (\displaystyle DABG), aria fiecăruia dintre ele, pe de o parte, este egală cu suma a jumătate din ariile pătratelor de pe picioare și aria triunghiului inițial, pe de altă parte, cu jumătate din suprafața pătratul ipotenuzei plus aria triunghiului inițial. În total, jumătate din suma ariilor pătratelor peste catete este egală cu jumătate din aria pătratului peste ipotenuză, ceea ce este echivalent cu formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.
Dovada prin metoda infinitezimală
Există mai multe dovezi folosind tehnica ecuațiilor diferențiale. În special, lui Hardy i se atribuie o dovadă folosind incremente infinitezimale ale piciorului a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c), și păstrând asemănarea cu dreptunghiul inițial, adică asigurând îndeplinirea următoarelor relații diferențiale:
d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Prin metoda separării variabilelor, se derivă din ele ecuație diferențială c d c = a re a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), a cărui integrare dă relaţia c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicarea condițiilor inițiale a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definește o constantă ca 0, ceea ce are ca rezultat afirmarea teoremei.
Dependența pătratică în formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și incremente, în timp ce suma se datorează contribuțiilor independente din incrementul diferitelor catete.
Variații și generalizări
Forme geometrice similare pe trei laturi
O generalizare geometrică importantă a teoremei lui Pitagora a fost dată de Euclid în Elemente, trecând de la ariile pătratelor de pe laturi la ariile de similare arbitrare. forme geometrice: suma ariilor unor astfel de figuri construite pe picioare va fi egală cu aria unei figuri asemănătoare acestora, construită pe ipotenuză.
Ideea principală a acestei generalizări este că aria unei astfel de figuri geometrice este proporțională cu pătratul oricăreia dintre dimensiunile sale liniare și, în special, cu pătratul lungimii oricărei laturi. Prin urmare, pentru cifre similare cu zone A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Și C (\displaystyle C) construit pe picioare cu lungimi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) si ipotenuza c (\displaystyle c)în consecință, există o relație:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Întrucât conform teoremei lui Pitagora a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), atunci este gata.
În plus, dacă este posibil să se demonstreze fără a recurge la teorema lui Pitagora că pentru ariile a trei figuri geometrice asemănătoare de pe laturile unui triunghi dreptunghic, relația A + B = C (\displaystyle A+B=C), apoi folosind reversul dovezii generalizării lui Euclid, putem deriva demonstrația teoremei lui Pitagora. De exemplu, dacă pe ipotenuză construim un triunghi dreptunghic congruent cu cel inițial cu aria C (\displaystyle C), iar pe picioare - două triunghiuri dreptunghiulare similare cu zone A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B), atunci se dovedește că triunghiurile de pe picioare sunt formate ca urmare a împărțirii triunghiului inițial la înălțimea sa, adică suma a două suprafețe mai mici ale triunghiurilor este egală cu aria celui de-al treilea, astfel A + B = C (\displaystyle A+B=C)și, aplicând relația pentru figuri similare, se derivă teorema lui Pitagora.
Teorema cosinusului
Teorema lui Pitagora este un caz special al teoremei cosinusului mai generală care relaționează lungimile laturilor dintr-un triunghi arbitrar:
a 2 + b 2 - 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),unde este unghiul dintre laturi a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b). Dacă unghiul este de 90°, atunci cos θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), iar formula se simplifică la teorema obișnuită a lui Pitagora.
Triunghi arbitrar
Există o generalizare a teoremei lui Pitagora la un triunghi arbitrar, care operează numai pe raportul lungimilor laturilor, se crede că a fost stabilită pentru prima dată de astronomul sabian Sabit ibn Kurra. În el, pentru un triunghi arbitrar cu laturi, un triunghi isoscel cu o bază pe latură c (\displaystyle c), vârful care coincide cu vârful triunghiului original, opus laturii c (\displaystyle c) iar unghiurile de la bază egale cu unghiul θ (\displaystyle \theta ) partea opusă c (\displaystyle c). Ca urmare, se formează două triunghiuri asemănătoare cu cel original: primul cu laturi a (\displaystyle a), latura laterală a triunghiului isoscel înscris departe de acesta și r (\displaystyle r)- părți laterale c (\displaystyle c); al doilea este simetric cu acesta din lateral b (\displaystyle b) cu o petrecere s (\displaystyle s)- partea relevantă a laturii c (\displaystyle c). Ca urmare, relația este îndeplinită:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),care degenerează în teorema lui Pitagora la θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Raportul este o consecință a asemănării triunghiurilor formate:
ca = ar , cb = bs ⇒ cr + cs = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Teorema zonei Pappus
Geometrie non-euclidiană
Teorema lui Pitagora este derivată din axiomele geometriei euclidiene și este invalidă pentru geometria non-euclidiană - îndeplinirea teoremei lui Pitagora este echivalentă cu postulatul paralelismului euclidian.
În geometria non-euclidiană, relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic va fi în mod necesar într-o formă diferită de teorema lui Pitagora. De exemplu, în geometria sferică, toate cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic, care delimitează octantul sferei unității, au lungime π / 2 (\displaystyle \pi /2), care contrazice teorema lui Pitagora.
Mai mult, teorema lui Pitagora este valabilă în geometria hiperbolică și eliptică, dacă cerința ca triunghiul să fie dreptunghiular este înlocuită cu condiția ca suma celor două unghiuri ale triunghiului să fie egală cu al treilea.
geometrie sferică
Pentru orice triunghi dreptunghic pe o sferă cu rază R (\displaystyle R)(de exemplu, dacă unghiul din triunghi este drept) cu laturile a , b , c (\displaystyle a,b,c) relația dintre părți este:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\dreapta)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\dreapta)).Această egalitate poate fi derivată ca un caz special teorema cosinusului sferic, care este valabilă pentru toate triunghiurile sferice:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + sin (a R) ⋅ sin (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),Unde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- cosinus hiperbolic. Această formulă este un caz special al teoremei cosinusului hiperbolic, care este valabilă pentru toate triunghiurile:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),Unde γ (\displaystyle \gamma )- un unghi al cărui vârf este opus unei laturi c (\displaystyle c).
Folosind seria Taylor pentru cosinusul hiperbolic ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\aprox 1+x^(2)/2)) se poate arăta că dacă triunghiul hiperbolic scade (adică când a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Și c (\displaystyle c) tind spre zero), atunci relațiile hiperbolice dintr-un triunghi dreptunghic se apropie de relația teoremei lui Pitagora clasice.
Aplicație
Distanța în sisteme dreptunghiulare bidimensionale
Cea mai importantă aplicație a teoremei lui Pitagora este de a determina distanța dintre două puncte dintr-un sistem de coordonate dreptunghiulare: distanța s (\displaystyle s)între punctele cu coordonate (a, b) (\displaystyle (a,b))Și (c, d) (\displaystyle (c,d)) este egal cu:
s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).Pentru numere complexe teorema lui Pitagora oferă o formulă naturală pentru găsirea numărului complex modul - pt. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) este egal cu lungimea
Obiectivele lecției:
Educativ: formulați și demonstrați teorema lui Pitagora și inversul teoremei lui Pitagora. Arătați semnificația lor istorică și practică.
Dezvoltare: dezvoltarea atenției, a memoriei, gandire logica elevilor, capacitatea de a raționa, compara, trage concluzii.
Educativ: pentru a cultiva interesul și dragostea pentru subiect, acuratețea, capacitatea de a asculta camarazi și profesori.
Dotare: Portretul lui Pitagora, postere cu sarcini de consolidare, manual „Geometrie” clasele 7-9 (I.F. Sharygin).
Planul lecției:
eu. Organizarea timpului- 1 minut.
II. Verificarea temelor - 7 min.
III. introducere profesori, istoric - 4-5 min.
IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora - 7 min.
V. Formularea și demonstrarea teoremei inverse la teorema lui Pitagora - 5 min.
Fixarea materialului nou:
a) orală - 5-6 minute.
b) scris - 7-10 min.
VII. Teme pentru acasă- 1 minut.
VIII. Rezumatul lecției - 3 min.
În timpul orelor
I. Moment organizatoric.
II. Verificarea temelor.
p.7.1, Nr.3 (la tabla conform desenului finit).
Condiție: Înălțimea unui triunghi dreptunghic împarte ipotenuza în segmente de lungime 1 și 2. Aflați catetele acestui triunghi.
BC = a; CA=b; BA=c; BD = a 1 ; DA = b 1 ; CD = hC
Întrebare suplimentară: notează rapoartele într-un triunghi dreptunghic.
elementul 7.1, nr. 5. Tăiați triunghiul dreptunghic în trei triunghiuri asemănătoare unul cu celălalt.
Explica.
ASN ~ ABC ~ SVN
(atrageți atenția elevilor asupra înregistrării corecte a vârfurilor corespunzătoare ale triunghiurilor similare)
III. Discurs introductiv al profesorului, context istoric.
Adevărul va rămâne etern, de îndată ce o persoană slabă îl va ști!
Și acum teorema lui Pitagora este adevărată, ca în epoca lui îndepărtată.
Nu întâmplător mi-am început lecția cu cuvintele romancierului german Chamisso. Lecția noastră de astăzi este despre teorema lui Pitagora. Să scriem subiectul lecției.
În fața ta este un portret al marelui Pitagora. Născut în 576 î.Hr. După ce a trăit 80 de ani, a murit în 496 î.Hr. Cunoscut ca filozof și profesor grec antic. Era fiul negustorului Mnesarchus, care îl ducea adesea în călătorii, datorită cărora băiatul a dezvoltat curiozitatea și dorința de a învăța lucruri noi. Pitagora este o poreclă dată lui pentru elocvența sa („Pythagoras” înseamnă „vorbire persuasivă”). El însuși nu a scris nimic. Toate gândurile lui au fost înregistrate de elevii săi. Ca urmare a primei prelegeri pe care a susținut-o, Pitagora a dobândit 2.000 de elevi, care, împreună cu soțiile și copiii lor, au format o școală uriașă și au creat un stat numit „Marea Grecie”, care se bazează pe legile și regulile lui Pitagora, venerat. ca porunci divine. El a fost primul care a numit raționamentul său despre sensul vieții filozofie (filosofie). Era predispus la mistificare și comportament demonstrativ. Odată, Pitagora s-a ascuns în subteran și a aflat despre tot ce se întâmpla de la mama lui. Apoi, ofilit ca un schelet, el a declarat în adunarea populară că a fost în Hades și a arătat o uimitoare conștientizare a evenimentelor pământești. Pentru aceasta, locuitorii atinși l-au recunoscut drept Dumnezeu. Pitagora nu a plâns niciodată și a fost în general inaccesibil pasiunilor și entuziasmului. El credea că provine dintr-o sămânță care este mai bună în comparație cu umanul. Întreaga viață a lui Pitagora este o legendă care a ajuns până la vremea noastră și ne-a vorbit despre cel mai talentat om al lumii antice.
IV. Formularea și demonstrarea teoremei lui Pitagora.
Formularea teoremei lui Pitagora vă este cunoscută din cursul de algebră. Să ne amintim de ea.
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.
Cu toate acestea, această teoremă era cunoscută cu mulți ani înainte de Pitagora. Cu 1500 de ani înainte de Pitagora, vechii egipteni știau că un triunghi cu laturile 3, 4 și 5 este dreptunghiular și foloseau această proprietate pentru a construi unghiuri drepte atunci când planificau terenuri și construiau clădiri. În cea mai veche lucrare chineză de matematică și astronomie care a ajuns până la noi, „Zhiu-bi”, scrisă cu 600 de ani înainte de Pitagora, printre alte propoziții legate de un triunghi dreptunghic, este cuprinsă și teorema lui Pitagora. Chiar și mai devreme, această teoremă era cunoscută hindușilor. Astfel, Pitagora nu a descoperit această proprietate a unui triunghi dreptunghic; el a fost probabil primul care a generalizat-o și a dovedit-o, care a transferat-o din domeniul practicii în cel al științei.
Din cele mai vechi timpuri, matematicienii au găsit din ce în ce mai multe dovezi ale teoremei lui Pitagora. Sunt peste o sută cincizeci cunoscute. Să ne amintim demonstrația algebrică a teoremei lui Pitagora, cunoscută nouă din cursul algebrei. („Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor” G.V. Dorofeev, M., „Bubblehead”, 2000).
Invitați elevii să-și amintească dovada desenului și să o scrie pe tablă.
(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a
a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2
a 2 + b 2 = c 2 a a b
Vechii hinduși, cărora le aparține acest raționament, de obicei nu l-au notat, ci au însoțit desenul cu un singur cuvânt: „Uite”.
Să considerăm într-o prezentare modernă una dintre dovezile aparținând lui Pitagora. La începutul lecției, ne-am amintit teorema raporturilor într-un triunghi dreptunghic:
h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c
Adăugăm ultimele două egalități termen cu termen:
b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2
În ciuda simplității aparente a acestei dovezi, este departe de a fi cea mai simplă. La urma urmei, pentru aceasta a fost necesar să desenați o înălțime într-un triunghi dreptunghic și să luați în considerare triunghiuri similare. Vă rugăm să notați această dovadă în caiet.
V. Afirmația și demonstrarea teoremei inverse teoremei lui Pitagora.
Care este inversul acestei teoreme? (... dacă condiția și concluzia sunt inversate.)
Să încercăm acum să formulăm teorema, inversul teoremei lui Pitagora.
Dacă într-un triunghi cu laturile a, b și c egalitatea c 2 \u003d a 2 + b 2 este adevărată, atunci acest triunghi este dreptunghic, iar unghiul drept este opus laturii c.
(Demonstrarea teoremei inverse pe un afiș)
ABC, BC = a,
AC = b, BA = c.
a 2 + b 2 = c 2
Dovedi:
ABC - dreptunghiular,
Dovada:
Considerăm un triunghi dreptunghic A 1 B 1 C 1,
unde C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.
Apoi, conform teoremei lui Pitagora, B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.
Adică B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC pe trei laturi ale lui ABC - dreptunghiular
C = 90°, ceea ce trebuia demonstrat.
VI. Consolidarea materialului studiat (oral).
1. Conform afișului cu desene gata făcute.
|
|
|
Fig.1: găsiți AD dacă BD = 8, BDA = 30°.
Fig. 2: găsiți CD dacă BE = 5, BAE = 45°.
Fig. 3: găsiți BD dacă BC = 17, AD = 16.
2. Este un triunghi dreptunghic dacă laturile sale sunt exprimate prin numere:
5 2 + 6 2 ? 7 2 (nu) |
9 2 + 12 2 = 15 2 (da) |
15 2 + 20 2 = 25 2 (da) |
Cum se numesc triplele numerelor din ultimele două cazuri? (Pitagorean).
VI. Rezolvarea problemelor (în scris).
Nr. 9. Latura unui triunghi echilateral este egală cu a. Aflați înălțimea acestui triunghi, raza cercului circumscris, raza cercului înscris.
№ 14. Demonstrați că într-un triunghi dreptunghic raza cercului circumscris este egală cu mediana trasată la ipotenuză și egală cu jumătate din ipotenuză.
VII. Teme pentru acasă.
Punctul 7.1, pp. 175-177, analiza Teorema 7.4 (teorema lui Pitagora generalizată), nr. 1 (oral), nr. 2, nr. 4.
VIII. Rezultatele lecției.
Ce nou ai învățat la lecția de astăzi? …………
Pitagora a fost în primul rând un filozof. Acum vreau să vă citesc câteva dintre spusele lui, care sunt relevante în timpul nostru pentru tine și pentru mine.
- Nu ridicați praf pe calea vieții.
- Fă doar ceea ce în viitor nu te va supăra și nu te va forța să te pocăiești.
- Nu face niciodată ceea ce nu știi, ci învață tot ce trebuie să știi și atunci vei duce o viață liniștită.
- Nu închide ochii când vrei să dormi fără să înțelegi toate acțiunile tale din ziua precedentă.
- Învață să trăiești simplu și fără lux.
