Teoria mecanicii tehnice. Statica este o ramură a mecanicii teoretice. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Lista întrebărilor de la examen

1. Mecanica tehnică, definiția ei. Mișcarea mecanică și interacțiunea mecanică. Punct material, sistem mecanic, corp absolut rigid.

Mecanica tehnica – știința mișcării mecanice și a interacțiunii corpuri materiale.

Mecanica este una dintre cele mai vechi științe. Termenul „Mecanică” a fost introdus de remarcabilul filozof al antichității Aristotel.

Realizările oamenilor de știință în domeniul mecanicii fac posibilă rezolvarea unor probleme practice complexe în domeniul tehnologiei și, în esență, niciun fenomen al naturii nu poate fi înțeles fără a-l înțelege din partea mecanică. Și nici o singură creație a tehnologiei nu poate fi creată fără a ține cont de anumite legi mecanice.

mișcare mecanică - aceasta este o schimbare în timp a poziției relative în spațiu a corpurilor materiale sau a poziției relative a părților unui corp dat.

Interacțiune mecanică - acestea sunt acțiunile corpurilor materiale unul asupra celuilalt, în urma cărora are loc o modificare a mișcării acestor corpuri sau o modificare a formei lor (deformare).

Noțiuni de bază:

Punct material este un corp ale cărui dimensiuni în condiții date pot fi neglijate. Are masă și capacitatea de a interacționa cu alte corpuri.

sistem mecanic este un set de puncte materiale, poziția și mișcarea fiecăruia dintre ele depind de poziția și mișcarea altor puncte din sistem.

Corp absolut rigid (ATT) este un corp, a cărui distanță dintre oricare două puncte rămâne întotdeauna neschimbată.

1. Mecanica teoretică și secțiunile ei. Probleme de mecanică teoretică.

Mecanica teoretică este o ramură a mecanicii care studiază legile mișcării corpurilor și proprietăți generale aceste mișcări.

Mecanica teoretică este formată din trei secțiuni: statica, cinematica si dinamica.

Statică consideră echilibrul corpurilor și sistemelor lor sub acțiunea forțelor.

Cinematică are în vedere proprietățile geometrice generale ale mișcării corpurilor.

Dinamica studiază mișcarea corpurilor sub acțiunea forțelor.

Sarcini statice:

1. Transformarea sistemelor de forțe care acționează asupra ATT în sisteme echivalente cu acestea, i.e. reducerea acestui sistem de forțe la cea mai simplă formă.

2. Determinarea condiţiilor de echilibru pentru sistemul de forţe care acţionează asupra ATT.

Pentru rezolvarea acestor probleme se folosesc două metode: grafică și analitică.

1. Echilibru. Forță, sistem de forțe. Forța rezultată, forța concentrată și forțele distribuite.

Echilibru este starea de repaus a unui corp în raport cu alte corpuri.

Putere - aceasta este principala măsură a interacțiunii mecanice a corpurilor materiale. Este o mărime vectorială, adică Forța este caracterizată de trei elemente:

punct de aplicare;

Linie de acțiune (direcție);

Modul (valoare numerică).

Sistemul de forță este totalitatea tuturor forțelor care acționează asupra corpului considerat absolut rigid (ATT)

Sistemul de forțe se numește convergente dacă liniile de acţiune ale tuturor forţelor se intersectează într-un punct.

Sistemul este numit apartament , dacă liniile de acțiune ale tuturor forțelor se află în același plan, în caz contrar spațial.

Sistemul de forțe se numește paralel dacă liniile de acţiune ale tuturor forţelor sunt paralele între ele.

Cele două sisteme de forțe se numesc echivalent , dacă un sistem de forțe care acționează asupra unui corp absolut rigid poate fi înlocuit cu un alt sistem de forțe fără a modifica starea de repaus sau de mișcare a corpului.

Echilibrat sau echivalent cu zero numit un sistem de forţe sub acţiunea căruia un ATT liber poate fi în repaus.

rezultanta forța este o forță a cărei acțiune asupra unui corp sau punct material este echivalentă cu acțiunea unui sistem de forțe asupra aceluiași corp.

Forțele exterioare

Se numește forța aplicată corpului în orice punct concentrat .

Se numesc forte care actioneaza asupra tuturor punctelor unui anumit volum sau suprafata distribuite .

Un corp care nu este împiedicat să se miște în nicio direcție de niciun alt corp se numește corp liber.

1. Forțe externe și interne. Corp liber și neliber. Principiul eliberării din obligațiuni.

Forțele exterioare numite forţele cu care părţile unui corp dat acţionează unele asupra altora.

Atunci când se rezolvă majoritatea problemelor de statică, este necesar să se reprezinte un corp neliber ca unul liber, ceea ce se face folosind principiul eliberării corpului, care este formulat după cum urmează:

orice corp neliber poate fi considerat ca fiind liber, dacă aruncăm conexiunile, înlocuindu-le cu reacții.

Ca urmare a aplicării acestui principiu, se obține un corp care este liber de legături și se află sub acțiunea unui anumit sistem de forțe active și reactive.

1. Axiomele staticii.

Condiții în care un corp poate fi egal Vesii, sunt derivate din mai multe prevederi de bază, acceptate fără dovezi, dar confirmate prin experimente , și a sunat axiome ale staticii. Axiomele de bază ale staticii au fost formulate de omul de știință englez Newton (1642-1727) și, prin urmare, sunt numite după el.

Axioma I (axioma inerției sau prima lege a lui Newton).

Orice corp își păstrează starea de repaus sau de mișcare uniformă rectilinie, atâta timp cât unii Forțe nu-l va scoate din această stare.

Se numește capacitatea unui corp de a-și menține starea de repaus sau de mișcare uniformă rectilinie inerţie. Pe baza acestei axiome, considerăm că starea de echilibru este o astfel de stare atunci când corpul este în repaus sau se mișcă în linie dreaptă și uniform (adică PO de inerție).

Axioma II (axioma interacțiunii sau a treia lege a lui Newton).

Dacă un corp acționează asupra celui de-al doilea cu o anumită forță, atunci al doilea corp acționează simultan asupra primului cu o forță egală ca mărime cu direcția opusă.

Se numește totalitatea forțelor aplicate unui corp (sau sistem de corpuri) dat sistem de forță. Forța de acțiune a unui corp asupra unui corp dat și forța de reacție a unui corp dat nu reprezintă un sistem de forțe, deoarece acestea sunt aplicate unor corpuri diferite.

Dacă un sistem de forțe are o astfel de proprietate încât, după ce a fost aplicat unui corp liber, nu își schimbă starea de echilibru, atunci un astfel de sistem de forțe se numește echilibrat.

Axioma III (condiția echilibrului a două forțe).

Pentru echilibrul liber corp solid, care se află sub acțiunea a două forțe, este necesar și suficient ca aceste forțe să fie egale în valoare absolută și să acționeze într-o linie dreaptă în părți opuse.

necesar pentru a echilibra cele două forțe. Aceasta înseamnă că, dacă sistemul a două forțe este în echilibru, atunci aceste forțe trebuie să fie egale în valoare absolută și să acționeze într-o linie dreaptă în direcții opuse.

Condiția formulată în această axiomă este suficient pentru a echilibra cele două forțe. Aceasta înseamnă că formularea inversă a axiomei este adevărată, și anume: dacă două forțe sunt egale în valoare absolută și acționează în aceeași linie dreaptă în direcții opuse, atunci un astfel de sistem de forțe este în mod necesar în echilibru.

În cele ce urmează, ne vom familiariza cu condiția de echilibru, care va fi necesară, dar nu suficientă pentru echilibru.

Axioma IV.

Echilibrul unui corp rigid nu va fi perturbat dacă îi este aplicat sau îndepărtat un sistem de forțe echilibrate.

Consecință din axiome IIIȘi IV.

Echilibrul unui corp rigid nu este perturbat de transferul unei forțe de-a lungul liniei sale de acțiune.

Axioma paralelogramului. Această axiomă este formulată după cum urmează:

Rezultanta a două forțe aplicate la corp într-un punct, este egal în valoare absolută și coincide în direcție cu diagonala paralelogramului construit pe aceste forțe și se aplică în același punct.

1. Conexiuni, reacții ale conexiunilor. Exemple de conexiuni.

conexiuni se numesc corpuri care limitează mişcarea unui corp dat în spaţiu. Se numește forța cu care corpul acționează asupra legăturii presiune; se numeste forta cu care actioneaza o legatura asupra unui corp reacţie. Conform axiomei interacțiunii, modul de reacție și presiune egalși acționează în aceeași linie dreaptă în direcții opuse. Reacția și presiunea sunt aplicate unor corpuri diferite. Forțele externe care acționează asupra corpului sunt împărțite în activȘi reactiv. Forțele active tind să miște corpul căruia sunt aplicate, iar forțele reactive, prin legături, împiedică această mișcare. Diferența fundamentală dintre forțele active și forțele reactive este că mărimea forțelor reactive, în general vorbind, depinde de mărimea forțelor active, dar nu invers. Forțele active sunt adesea numite

Direcția reacțiilor este determinată de direcția în care această legătură împiedică corpul să se miște. Regula pentru determinarea direcției reacțiilor poate fi formulată după cum urmează:

direcția de reacție a conexiunii este opusă direcției de deplasare distrusă de această legătură.

1. Plan perfect neted

În acest caz, reacția Rîndreptată perpendicular pe planul de referinţă spre corp.

2. Suprafata ideala neteda (Fig. 16).

În acest caz, reacția R este direcționată perpendicular pe planul tangent t - t, adică de-a lungul normalei la suprafața de sprijin spre corp.

3. Punct fix sau marginea colțului (Fig. 17, marginea B).

În acest caz, reacția R înîndreptată de-a lungul normalului către suprafața unui corp ideal neted către corp.

4. Conexiune flexibilă (Fig. 17).

Reacția T a unei legături flexibile este direcționată de-a lungul c la i s şi. Din fig. 17 se poate observa ca legatura flexibila, aruncata peste bloc, schimba directia fortei transmise.

5. În mod ideal, balamaua cilindrică netedă (Fig. 17, balama DAR; orez. 18, rulment D).

În acest caz, se știe doar în prealabil că reacția R trece prin axa balamalei și este perpendiculară pe această axă.

6. Rulment axial perfect neted (Fig. 18, rulment axial DAR).

Rulmentul axial poate fi considerat ca o combinație între o balama cilindrică și un plan de rulment. Prin urmare, vom face

7. Rotulă perfect netedă (Fig. 19).

În acest caz, se știe doar dinainte că reacția R trece prin centrul balamalei.

8. O tijă fixată la ambele capete în balamale ideal netede și încărcată doar la capete (Fig. 18, tijă BC).

În acest caz, reacția tijei este îndreptată de-a lungul tijei, deoarece, conform axiomei III, reacțiile balamalelor B și Cîn echilibru, tija poate fi îndreptată numai de-a lungul liniei soare, adică de-a lungul tijei.

1. Sistem de forțe convergente. Adunarea forțelor aplicate la un moment dat.

convergente numite forţe ale căror linii de acţiune se intersectează într-un punct.

Acest capitol tratează sisteme de forțe convergente ale căror linii de acțiune se află în același plan (sisteme plate).

Imaginează-ți că asupra corpului acționează un sistem plat de cinci forțe, ale cărui linii de acțiune se intersectează în punctul O (Fig. 10, a). În § 2 s-a stabilit că forța- vector de alunecare. Prin urmare, toate forțele pot fi transferate din punctele de aplicare a acestora în punctul O de intersecție a liniilor de acțiune a acestora (Fig. 10, b).

În acest fel, orice sistem de forțe convergente aplicate în diferite puncte ale corpului poate fi înlocuit cu un sistem echivalent de forțe aplicate într-un punct. Acest sistem de forțe este adesea numit mănunchi de forțe.

Cinematica punctuală.

1. Subiectul mecanicii teoretice. Abstracții de bază.

Mecanica teoreticăeste o știință în care se studiază legile generale mișcare mecanicăși interacțiunea mecanică a corpurilor materiale

Mișcare mecanicănumită mișcarea unui corp în raport cu un alt corp, care are loc în spațiu și timp.

Interacțiune mecanică se numește o astfel de interacțiune a corpurilor materiale, care schimbă natura mișcării lor mecanice.

Statică - Aceasta este o ramură a mecanicii teoretice, care studiază metodele de transformare a sistemelor de forțe în sisteme echivalente și stabilește condițiile pentru echilibrul forțelor aplicate unui corp solid.

Cinematică - este ramura mecanicii teoretice care se ocupă de mişcarea corpurilor materiale în spaţiu din punct de vedere geometric, indiferent de forţele care acţionează asupra lor.

Dinamica - Aceasta este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor materiale în spațiu, în funcție de forțele care acționează asupra lor.

Obiecte de studiu în mecanica teoretică:

punct material,

sistem de puncte materiale,

Corp absolut rigid.

Spațiul absolut și timpul absolut sunt independente unul de celălalt. Spațiu absolut - spatiu euclidian tridimensional, omogen, nemiscat. Timp absolut - curge din trecut in viitor continuu, este omogen, acelasi in toate punctele spatiului si nu depinde de miscarea materiei.

2. Subiectul cinematicii.

cinematica - aceasta este o ramură a mecanicii care studiază proprietățile geometrice ale mișcării corpurilor fără a lua în considerare inerția lor (adică masa) și forțele care acționează asupra lor.

Pentru a determina poziția unui corp (sau punct) în mișcare cu corpul în raport cu care se studiază mișcarea acestui corp, în mod rigid, se conectează un sistem de coordonate, care împreună cu corpul formează sistem de referință.

Sarcina principală a cinematicii este de a, cunoscând legea mișcării unui corp (punct) dat, să determine toate mărimile cinematice care caracterizează mișcarea acestuia (viteza și accelerația).

3. Metode de precizare a mișcării unui punct

· mod natural

Ar trebui cunoscut:

Traiectoria mișcării punctului;

Începutul și direcția numărării;

Legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date în forma (1.1)

· Metoda coordonatelor

Ecuațiile (1.2) sunt ecuațiile de mișcare ale punctului M.

Ecuația pentru traiectoria punctului M poate fi obținută prin eliminarea parametrului timp « t » din ecuațiile (1.2)

· Mod vectorial

(1.3) Relația dintre metodele de coordonate și vectoriale pentru specificarea mișcării unui punct (1.4)

Legătura dintre coordonate și modalitățile naturale de specificare a mișcării unui punct

Determinați traiectoria punctului, excluzând timpul din ecuațiile (1.2);

-- găsiți legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii (utilizați expresia pentru diferența de arc)

După integrare, obținem legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date:

Legătura dintre metodele coordonate și vectoriale de specificare a mișcării unui punct este determinată de ecuația (1.4)

4. Determinarea vitezei unui punct cu metoda vectoriala de precizare a miscarii.

Lasă pe momenttpozitia punctului este determinata de vectorul raza , iar in momentul de timpt 1 – rază-vector , apoi pentru o perioadă de timp punctul se va muta.

(1.5) viteza medie punctuala, direcția vectorului este aceeași cu a vectorului

Viteza punctată înăuntru acest moment timp

Pentru a obține viteza unui punct la un moment dat de timp, este necesar să faceți o trecere până la limită

(1.6)

(1.7)

Vectorul viteză al unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a razei-vector în raport cu timpul și este direcționată tangențial la traiectoria într-un punct dat.

(unitate¾ m/s, km/h)

Vector accelerație medie are aceeași direcție ca vectorulΔ v , adică îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

Vector de accelerație al unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a vectorului viteză sau cu derivata a doua a vectorului raza punctului în raport cu timpul.

(unitate - )

Cum este localizat vectorul în raport cu traiectoria punctului?

La mișcare rectilinie vectorul este îndreptat de-a lungul dreptei de-a lungul căreia se mișcă punctul. Dacă traiectoria punctului este o curbă plată, atunci vectorul accelerație , precum și vectorul cp, se află în planul acestei curbe și este îndreptat către concavitatea acesteia. Dacă traiectoria nu este o curbă plană, atunci vectorul cp va fi îndreptat către concavitatea traiectoriei și se va afla în planul care trece prin tangenta la traiectorie în punctulM și o dreaptă paralelă cu tangenta într-un punct adiacentM 1 . ÎN limită atunci când punctulM 1 tinde să M acest plan ocupă poziţia aşa-numitului plan contiguu. Prin urmare, în cazul general, vectorul accelerație se află în planul contiguu și este îndreptat spre concavitatea curbei.

Conţinut

Cinematică

Cinematica unui punct material

Determinarea vitezei și accelerației unui punct în funcție de ecuațiile date ale mișcării sale

Dat: Ecuațiile mișcării unui punct: x = 12 sin(πt/6), cm; y= 6 cos 2 (πt/6), cm.

Setați tipul traiectoriei sale și pentru momentul de timp t = 1 s găsiți poziția unui punct pe traiectorie, viteza acestuia, accelerațiile complete, tangențiale și normale, precum și raza de curbură a traiectoriei.

Mișcarea de translație și rotație a unui corp rigid

Dat:
t = 2 s; r1 = 2 cm, R1 = 4 cm; r2 = 6 cm, R2 = 8 cm; r 3 \u003d 12 cm, R 3 \u003d 16 cm; s 5 \u003d t 3 - 6t (cm).

Să se determine la momentul t = 2 vitezele punctelor A, C; accelerația unghiulară a roții 3; accelerația punctului B și accelerația rack 4.

Analiza cinematică a unui mecanism plat

Dat:
R1, R2, L, AB, w1.
Găsiți: ω 2 .

Mecanismul plat este format din tijele 1, 2, 3, 4 si cursorul E. Tijele sunt conectate prin intermediul unor balamale cilindrice. Punctul D este situat în mijlocul barei AB.
Dat: ω 1 , ε 1 .
Aflați: viteze V A , V B , V D și V E ; viteze unghiulare ω 2 , ω 3 şi ω 4 ; accelerația a B ; accelerația unghiulară ε AB a verigii AB; poziţiile centrelor instantanee ale vitezelor P 2 şi P 3 ale legăturilor 2 şi 3 ale mecanismului.

Determinarea vitezei absolute și a accelerației absolute a unui punct

O placă dreptunghiulară se rotește în jurul unei axe fixe conform legii φ = 6 t 2 - 3 t 3. Direcția pozitivă de citire a unghiului φ este prezentată în figuri printr-o săgeată arc. Axa de rotație OO 1 se află în planul plăcii (placa se rotește în spațiu).

Punctul M se deplasează de-a lungul liniei drepte BD de-a lungul plăcii. Este dată legea mișcării sale relative, adică dependența s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40(s - în centimetri, t - în secunde). Distanța b = 20 cm. În figură, punctul M este prezentat în poziția în care s = AM > 0 (pentru s< 0 punctul M este de cealaltă parte a punctului A).

Aflați viteza absolută și accelerația absolută a punctului M la momentul t 1 = 1 s.

Dinamica

Integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material sub acțiunea forțelor variabile

Sarcina D cu masa m, primită în punctul A viteza initiala V 0 se deplasează într-o țeavă curbă ABC situată într-un plan vertical. Pe secțiunea AB, a cărei lungime este l, sarcina este afectată de o forță constantă T (direcția acesteia este prezentată în figură) și de forța R a rezistenței mediului (modulul acestei forțe este R = μV). 2, vectorul R este îndreptat opus vitezei V a sarcinii).

Sarcina, după ce și-a încheiat mișcarea în secțiunea AB, în punctul B al țevii, fără a modifica valoarea modulului său de viteză, trece în secțiunea BC. Pe secțiunea BC, asupra sarcinii acționează o forță variabilă F, a cărei proiecție F x pe axa x este dată.

Considerând sarcina ca punct material, găsiți legea mișcării sale pe secțiunea BC, adică. x = f(t), unde x = BD. Ignorați frecarea sarcinii pe conductă.

Descărcați soluția

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Sistemul mecanic este format din greutăți 1 și 2, o rolă cilindrică 3, scripete în două trepte 4 și 5. Corpurile sistemului sunt legate prin fire înfășurate pe scripete; secțiunile de fire sunt paralele cu planurile corespunzătoare. Rola (cilindrul solid omogen) se rostogolește de-a lungul planului de referință fără alunecare. Razele treptelor scripetelor 4 și 5 sunt respectiv R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Masa fiecărui scripete este considerată uniform distribuită de-a lungul marginii sale exterioare. . Planurile de sprijin ale greutăților 1 și 2 sunt brute, coeficientul de frecare de alunecare pentru fiecare greutate este f = 0,1.

Sub acțiunea forței F, al cărei modul se modifică conform legii F = F(s), unde s este deplasarea punctului de aplicare a acesteia, sistemul începe să se miște din starea de repaus. Când sistemul se mișcă, asupra scripetelui 5 acționează forțe de rezistență, al cărui moment față de axa de rotație este constant și egal cu M5.

Să se determine valoarea vitezei unghiulare a scripetelui 4 în momentul în care deplasarea s a punctului de aplicare a forței F devine egală cu s 1 = 1,2 m.

Descărcați soluția

Aplicarea ecuației generale a dinamicii la studiul mișcării unui sistem mecanic

Pentru un sistem mecanic, determinați accelerația liniară a 1 . Luați în considerare că pentru blocuri și role masele sunt distribuite de-a lungul razei exterioare. Cablurile și curelele sunt considerate lipsite de greutate și inextensibile; nu există alunecare. Ignorați frecarea de rulare și alunecare.

Descărcați soluția

Aplicarea principiului d'Alembert la determinarea reacţiilor suporturilor unui corp rotativ

Un arbore vertical AK care se rotește uniform cu o viteză unghiulară ω = 10 s -1 este fixat cu un lagăr axial în punctul A și un lagăr cilindric în punctul D.

O tijă fără greutate 1 cu lungimea de l 1 = 0,3 m este atașată rigid de arbore, la capătul liber al căruia se află o sarcină cu masa m 1 = 4 kg și o tijă omogenă 2 cu lungimea de l 2 = 0,6 m, având masa de m 2 = 8 kg. Ambele tije se află în același plan vertical. Punctele de atașare a tijelor la arbore, precum și unghiurile α și β sunt indicate în tabel. Dimensiuni AB=BD=DE=EK=b, unde b = 0,4 m. Luați sarcina ca punct material.

Neglijând masa arborelui, determinați reacțiile lagărului axial și ale rulmentului.

Statica este o ramură a mecanicii teoretice care studiază condițiile de echilibru pentru corpurile materiale sub acțiunea forțelor, precum și metodele de transformare a forțelor în sisteme echivalente.

În starea de echilibru, în statică, se înțelege starea în care toate părțile sistemului mecanic sunt în repaus în raport cu un sistem de coordonate inerțial. Unul dintre obiectele de bază ale staticii sunt forțele și punctele de aplicare a acestora.

Forța care acționează asupra unui punct material cu un vector rază din alte puncte este o măsură a influenței altor puncte asupra punctului considerat, în urma căreia primește accelerație față de cadrul de referință inerțial. Valoare putere este determinată de formula:
,
unde m este masa punctului - o valoare care depinde de proprietățile punctului însuși. Această formulă se numește a doua lege a lui Newton.

Aplicarea staticii în dinamică

O caracteristică importantă a ecuațiilor de mișcare a unui corp absolut rigid este că forțele pot fi convertite în sisteme echivalente. Cu o astfel de transformare, ecuațiile mișcării își păstrează forma, dar sistemul de forțe care acționează asupra corpului poate fi transformat într-un sistem mai simplu. Astfel, punctul de aplicare a forței poate fi deplasat de-a lungul liniei de acțiune a acesteia; forțele pot fi extinse conform regulii paralelogramului; forțele aplicate într-un punct pot fi înlocuite cu suma lor geometrică.

Un exemplu de astfel de transformări este gravitația. Acționează în toate punctele unui corp rigid. Dar legea mișcării corpului nu se va schimba dacă forța gravitațională distribuită peste toate punctele este înlocuită cu un singur vector aplicat la centrul de masă al corpului.

Rezultă că dacă la sistemul principal de forțe care acționează asupra corpului adăugăm un sistem echivalent, în care direcțiile forțelor sunt inversate, atunci corpul, sub acțiunea acestor sisteme, va fi în echilibru. Astfel, sarcina de a determina sisteme echivalente de forțe se reduce la problema echilibrului, adică la problema staticii.

Sarcina principală a staticii este stabilirea legilor pentru transformarea unui sistem de forţe în sisteme echivalente. Astfel, metodele staticii sunt folosite nu numai în studiul corpurilor aflate în echilibru, ci și în dinamica unui corp rigid, în transformarea forțelor în sisteme echivalente mai simple.

Statica punctului material

Luați în considerare un punct material care este în echilibru. Și să acționeze n forțe asupra ei, k = 1, 2, ..., n.

Dacă punctul material este în echilibru, atunci suma vectorială a forțelor care acționează asupra acestuia este egală cu zero:
(1) .

In balanta suma geometrică fortele care actioneaza asupra unui punct sunt zero.

Interpretare geometrică. Dacă începutul celui de-al doilea vector este plasat la sfârșitul primului vector, iar începutul celui de-al treilea este plasat la sfârșitul celui de-al doilea vector și apoi acest proces este continuat, atunci sfârșitul ultimului, al n-lea vector va fi combinat cu începutul primului vector. Adică, obținem o figură geometrică închisă, ale cărei lungimi ale laturilor sunt egale cu modulele vectorilor. Dacă toți vectorii se află în același plan, atunci obținem un poligon închis.

Este adesea convenabil să alegeți sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz. Atunci sumele proiecțiilor tuturor vectorilor de forță de pe axele de coordonate sunt egale cu zero:

Dacă alegeți orice direcție definită de un vector, atunci suma proiecțiilor vectorilor de forță pe această direcție este egală cu zero:
.
Înmulțim scalar ecuația (1) cu vectorul:
.
Iată produsul scalar al vectorilor și .
Rețineți că proiecția unui vector pe direcția vectorului este determinată de formula:
.

Statica corpului rigid

Moment de forță în jurul unui punct

Determinarea momentului de forta

Moment de forță, aplicat corpului în punctul A, relativ la centrul fix O, se numește vector egal cu produsul vectorial al vectorilor și:
(2) .

Interpretare geometrică

Momentul forței este egal cu produsul dintre forța F și brațul OH.

Fie vectorii și să fie localizați în planul figurii. După proprietate produs vectorial, vectorul este perpendicular pe vectori și , adică este perpendicular pe planul figurii. Direcția sa este determinată de regula corectă a șurubului. În figură, vectorul moment este îndreptat către noi. Valoarea absolută a momentului:
.
De atunci
(3) .

Folosind geometria, se poate da o altă interpretare a momentului de forță. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă AH prin vectorul forță . Din centrul O coborâm perpendiculara OH pe această dreaptă. Lungimea acestei perpendiculare se numește umărul puterii. Apoi
(4) .
Deoarece , formulele (3) și (4) sunt echivalente.

În acest fel, valoarea absolută a momentului de forță relativ la centrul O este produs al forței asupra umărului această forţă relativă la centrul ales O .

Când se calculează momentul, este adesea convenabil să se descompună forța în două componente:
,
Unde . Forța trece prin punctul O. Prin urmare, impulsul său este zero. Apoi
.
Valoarea absolută a momentului:
.

Componentele momentului în coordonate dreptunghiulare

Dacă alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz centrat în punctul O, atunci momentul forței va avea următoarele componente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Iată coordonatele punctului A din sistemul de coordonate selectat:
.
Componentele sunt valorile momentului de forță în jurul axelor, respectiv.

Proprietățile momentului de forță despre centru

Momentul în jurul centrului O, din forța care trece prin acest centru, este egal cu zero.

Dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul unei linii care trece prin vectorul forță, atunci momentul, în timpul unei astfel de mișcări, nu se va schimba.

Momentul din suma vectorială a forțelor aplicate unui punct al corpului este egal cu suma vectorială a momentelor din fiecare dintre forțele aplicate în același punct:
.

Același lucru se aplică forțelor ale căror linii de prelungire se intersectează într-un punct.

Dacă suma vectorială a forțelor este zero:
,
atunci suma momentelor din aceste forțe nu depinde de poziția centrului, raportat la care se calculează momentele:
.

Cuplu de putere

Cuplu de putere- sunt două forțe egale în valoare absolută și având direcții opuse, aplicate în puncte diferite ale corpului.

O pereche de forțe se caracterizează prin momentul în care se creează. Deoarece suma vectorială a forțelor incluse în pereche este zero, momentul creat de cuplu nu depinde de punctul relativ la care se calculează momentul. Din punctul de vedere al echilibrului static, natura forțelor din pereche este irelevantă. O pereche de forțe este folosită pentru a indica faptul că un moment de forțe acționează asupra corpului, având o anumită valoare.

Moment de forță în jurul unei axe date

Adesea există cazuri când nu trebuie să cunoaștem toate componentele momentului de forță despre un punct selectat, ci trebuie doar să cunoaștem momentul de forță despre o axă selectată.

Momentul de forță în jurul axei care trece prin punctul O este proiecția vectorului momentului de forță, în jurul punctului O, pe direcția axei.

Proprietățile momentului de forță în jurul unei axe

Momentul în jurul axei de la forța care trece prin această axă este egal cu zero.

Momentul în jurul unei axe dintr-o forță paralelă cu această axă este zero.

Calculul momentului de forță în jurul unei axe

Fie ca o forță să acționeze asupra corpului în punctul A. Să găsim momentul acestei forțe în raport cu axa O′O′′.

Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular. Lasă axa Oz să coincidă cu O′O′′ . Din punctul A aruncăm perpendiculara OH pe O′O′′ . Prin punctele O și A trasăm axa Ox. Desenăm axa Oy perpendiculară pe Ox și Oz. Descompunem forța în componente de-a lungul axelor sistemului de coordonate:
.
Forța traversează axa O′O′′. Prin urmare, impulsul său este zero. Forța este paralelă cu axa O′O′′. Prin urmare, și momentul său este zero. Prin formula (5.3) găsim:
.

Rețineți că componenta este direcționată tangențial la cercul al cărui centru este punctul O . Direcția vectorului este determinată de regula șurubului drept.

Condiții de echilibru pentru un corp rigid

În echilibru, suma vectorială a tuturor forțelor care acționează asupra corpului este egală cu zero, iar suma vectorială a momentelor acestor forțe relativ la un centru fix arbitrar este egală cu zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Subliniem că centrul O , raportat la care se calculează momentele forțelor, poate fi ales arbitrar. Punctul O poate aparține corpului sau poate fi în afara acestuia. De obicei, centrul O este ales pentru a ușura calculele.

Condițiile de echilibru pot fi formulate în alt mod.

În echilibru, suma proiecțiilor forțelor pe orice direcție dată de un vector arbitrar este egală cu zero:
.
Suma momentelor forțelor în jurul unei axe arbitrare O′O′′ este, de asemenea, egală cu zero:
.

Uneori, aceste condiții sunt mai convenabile. Sunt momente când, prin alegerea axelor, calculele pot fi simplificate.

Centrul de greutate al corpului

Luați în considerare una dintre cele mai importante forțe - gravitația. Aici, forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe volumul acestuia. Pentru fiecare parte a corpului cu un volum infinitezimal ∆V, forța gravitațională acționează. Aici ρ este densitatea substanței corpului, este accelerația căderii libere.

Fie masa unei părți infinit de mică a corpului. Și să fie punctul A k definește poziția acestei secțiuni. Să găsim mărimile legate de forța gravitațională, care sunt incluse în ecuațiile de echilibru (6).

Să aflăm suma forțelor gravitaționale formate de toate părțile corpului:
,
unde este masa corpului. Astfel, suma forțelor gravitaționale ale părților infinitezimale individuale ale corpului poate fi înlocuită cu un vector gravitațional al întregului corp:
.

Să aflăm în mod arbitrar suma momentelor forțelor gravitaționale, raportate la centrul ales O:

.
Aici am introdus punctul C care se numește centrul de greutate corp. Poziția centrului de greutate, într-un sistem de coordonate centrat în punctul O, este determinată de formula:
(7) .

Deci, atunci când se determină echilibrul static, suma forțelor gravitaționale ale secțiunilor individuale ale corpului poate fi înlocuită cu rezultanta
,
aplicat pe centrul de masă al corpului C , a cărui poziţie este determinată de formula (7).

Poziția centrului de greutate pentru diverse forme geometrice pot fi găsite în ghidurile relevante. Dacă corpul are o axă sau un plan de simetrie, atunci centrul de greutate este situat pe această axă sau plan. Deci, centrele de greutate ale unei sfere, cerc sau cerc sunt situate în centrele cercurilor acestor figuri. Centrele de greutate cuboid, dreptunghi sau pătrat sunt de asemenea situate în centrele lor - la punctele de intersecție ale diagonalelor.

Sarcina distribuită uniform (A) și liniar (B).

Există și cazuri similare cu forța gravitațională, când forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe suprafața sau volumul acestuia. Se numesc astfel de forțe forțe distribuite sau .

(Figura A). De asemenea, ca și în cazul gravitației, aceasta poate fi înlocuită cu forța rezultantă a mărimii , aplicată la centrul de greutate al diagramei. Deoarece diagrama din figura A este un dreptunghi, centrul de greutate al diagramei este în centrul său - punctul C: | AC | = | CB |.

(poza B). Poate fi înlocuit și cu rezultatul. Valoarea rezultantei este egală cu aria diagramei:
.
Punctul de aplicare este în centrul de greutate al diagramei. Centrul de greutate al unui triunghi, înălțimea h, se află la o distanță de bază. De aceea .

Forțele de frecare

Frecare de alunecare. Lăsați corpul să fie pe o suprafață plană. Și să fie o forță perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului (forța de presiune). Apoi forța de frecare de alunecare este paralelă cu suprafața și direcționată în lateral, împiedicând mișcarea corpului. Valoarea sa cea mai mare este:
,
unde f este coeficientul de frecare. Coeficientul de frecare este o mărime adimensională.

frecare de rulare. Lăsați corpul rotunjit să se rostogolească sau se poate rula pe suprafață. Și să fie forța de presiune perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului. Apoi asupra corpului, in punctul de contact cu suprafata, actioneaza momentul fortelor de frecare, care impiedica miscarea corpului. Cea mai mare valoare a momentului de frecare este:
,
unde δ este coeficientul de frecare la rulare. Are dimensiunea lungimii.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt mecanica teoretica, liceu", 2010.

Cursul tratează: cinematica unui punct și a unui corp rigid (și din diferite puncte de vedere se propune să se ia în considerare problema orientării unui corp rigid), probleme clasice de dinamică a sistemelor mecanice și dinamica unui rigid. corp, elemente mecanica cerească, mișcarea sistemelor de compoziție variabilă, teoria impactului, ecuatii diferentiale dinamica analitica.

Cursul acoperă toate secțiunile tradiționale ale mecanicii teoretice, dar o atenție deosebită se acordă celor mai semnificative și valoroase secțiuni de teorie și aplicații ale dinamicii și metodelor mecanicii analitice; statica este studiată ca secțiune de dinamică, iar la secțiunea de cinematică sunt introduse în detaliu conceptele necesare secțiunii de dinamică și aparatul matematic.

Resurse informaționale

Gantmakher F.R. Prelegeri de mecanică analitică. - Ed. a 3-a. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Fundamentele mecanicii teoretice. - Ed. a 2-a. - M.: Fizmatlit, 2001; a 3-a ed. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Mecanica teoretică. - Moscova - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2007.

Cerințe

Cursul este conceput pentru studenții care dețin aparatul de geometrie analitică și algebră liniară în cadrul programului de anul I al unei universități tehnice.

Programul cursului

1. Cinematica unui punct
1.1. Probleme de cinematică. Sistemul de coordonate carteziene. Descompunerea unui vector pe bază ortonormală. Coordonatele vectoriale și punctului de rază. Viteza punctuala si acceleratia. Traiectoria mișcării.
1.2. Triunghiular natural. Expansiunea vitezei și a accelerației în axele unui triedru natural (teorema lui Huygens).
1.3. Coordonatele punctului curbiliniu, exemple: polare, cilindrice și sistem sferic coordonate. Componentele vitezei și proiecțiile accelerației pe axele unui sistem de coordonate curbiliniu.

2. Metode de precizare a orientării unui corp rigid
2.1. Solid. Sisteme de coordonate fixe și legate de corp.
2.2. Matrice de rotație ortogonală și proprietățile lor. Teorema turei finite a lui Euler.
2.3. Puncte de vedere active și pasive asupra transformării ortogonale. Adăugarea de ture.
2.4. Unghiuri finite de rotație: unghiuri Euler și unghiuri „avion”. Exprimarea unei matrice ortogonale în termeni de unghiuri finite de rotație.

3. Mișcarea spațială a unui corp rigid
3.1. Translațional și mișcare de rotație corp solid. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară.
3.2. Distribuția vitezelor (formula lui Euler) și a accelerațiilor (formula rivalilor) punctelor unui corp rigid.
3.3. Invarianții cinematici. Surub cinematic. Ax cu șuruburi instantanee.

4. Mișcare plan-paralelă
4.1. Conceptul de mișcare plan-paralelă a corpului. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară în cazul mișcării plan-paralele. Centru de viteză instantaneu.

5. Mișcarea complexă a unui punct și a unui corp rigid
5.1. Sisteme de coordonate fixe și mobile. Mișcarea absolută, relativă și figurativă a unui punct.
5.2. Teorema adunării vitezelor în cazul unei mișcări complexe a unui punct, viteze relative și figurative ale unui punct. Teorema Coriolis privind adăugarea accelerațiilor pentru o mișcare complexă a unui punct, accelerațiile relative, de translație și Coriolis ale unui punct.
5.3. Viteza unghiulară absolută, relativă și portabilă și accelerația unghiulară a unui corp.

6. Mișcarea unui corp rigid cu un punct fix (prezentare cuaternion)
6.1. Conceptul de numere complexe și hipercomplexe. Algebra cuaterniilor. Produs cuaternion. Conjugat și cuaternion invers, normă și modul.
6.2. Reprezentarea trigonometrică a cuaternionului unitar. Metoda cuaterniilor de specificare a rotației corpului. Teorema turei finite a lui Euler.
6.3. Relația dintre componentele cuaternionului în diferite baze. Adăugarea de ture. Parametrii Rodrigues-Hamilton.

7. Lucrări de examen

8. Concepte de bază ale dinamicii.
8.1 Moment, moment unghiular (moment cinetic), energie cinetică.
8.2 Puterea forțelor, munca forțelor, energia potențială și totală.
8.3 Centrul de masă (centrul de inerție) al sistemului. Momentul de inerție al sistemului față de axă.
8.4 Momente de inerție față de axele paralele; teorema Huygens-Steiner.
8.5 Tensorul și elipsoidul de inerție. Axele principale de inerție. Proprietăți ale momentelor axiale de inerție.
8.6 Calculul momentului unghiular și al energiei cinetice a corpului folosind tensorul de inerție.

9. Teoreme de bază ale dinamicii în cadre de referință inerțiale și neinerțiale.
9.1 Teoremă privind modificarea impulsului sistemului într-un cadru de referință inerțial. Teorema asupra mișcării centrului de masă.
9.2 Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului într-un cadru de referință inerțial.
9.3 Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului într-un cadru de referință inerțial.
9.4 Forțe potențiale, giroscopice și disipative.
9.5 Teoreme de bază ale dinamicii în cadre de referință neinerțiale.

10. Mișcarea unui corp rigid cu punct fix prin inerție.
10.1 Ecuații dinamice lui Euler.
10.2 Cazul Euler, primele integrale ale ecuațiilor dinamice; rotatii permanente.
10.3 Interpretări ale lui Poinsot și Macculag.
10.4 Precesia regulată în cazul simetriei dinamice a corpului.

11. Mișcarea unui corp rigid greu cu punct fix.
11.1 Formularea generală a problemei mișcării unui corp greu și rigid în jur.
punct fix. Ecuații dinamice Euler și primele lor integrale.
11.2 Analiza calitativă a mișcării unui corp rigid în cazul lui Lagrange.
11.3 Precesia regulată forțată a unui corp rigid simetric dinamic.
11.4 Formula de bază a giroscopiei.
11.5 Conceptul teoriei elementare a giroscoapelor.

12. Dinamica unui punct din câmpul central.
12.1 Ecuația lui Binet.
12.2 Ecuația orbitei. legile lui Kepler.
12.3 Problema împrăștierii.
12.4 Problema a două corpuri. Ecuații de mișcare. Integrală zonă, integrală energetică, integrală Laplace.

13. Dinamica sistemelor de compoziție variabilă.
13.1 Concepte de bază și teoreme privind modificarea mărimilor dinamice de bază în sisteme de compoziție variabilă.
13.2 Mișcarea unui punct material de masă variabilă.
13.3 Ecuațiile mișcării unui corp de compoziție variabilă.

14. Teoria mișcărilor impulsive.
14.1 Concepte și axiome de bază ale teoriei mișcărilor impulsive.
14.2 Teoreme despre modificarea mărimilor dinamice de bază în timpul mișcării impulsive.
14.3 Mișcarea impulsivă a unui corp rigid.
14.4 Ciocnirea a două corpuri rigide.
14.5 Teoremele lui Carnot.

15. Test

Rezultatele învăţării

Ca urmare a stăpânirii disciplinei, studentul trebuie:

• Știi:
  • concepte și teoreme de bază ale mecanicii și metodele de studiu a mișcării sistemelor mecanice care decurg din acestea;
• A fi capabil să:
  • formula corect probleme din punct de vedere al mecanicii teoretice;
  • elaborează modele mecanice și matematice care să reflecte în mod adecvat principalele proprietăți ale fenomenelor luate în considerare;
  • să aplice cunoștințele dobândite pentru a rezolva probleme specifice relevante;
• Deține:
  • abilități în rezolvarea problemelor clasice de mecanică teoretică și matematică;
  • abilitățile de a studia problemele de mecanică și de a construi modele mecanice și matematice care descriu în mod adecvat o varietate de fenomene mecanice;
  • aptitudini uz practic metode și principii de mecanică teoretică în rezolvarea problemelor: calculul forțelor, determinarea caracteristicilor cinematice ale corpurilor cu diverse metode de punere în mișcare, determinarea legii de mișcare a corpurilor materiale și a sistemelor mecanice sub acțiunea forțelor;
  • abilități de a stăpâni independent noi informații în procesul de producție și activitate științifică utilizarea tehnologiilor educaționale și informaționale moderne;